Analízis 3 epizód tartalma:
Szuper-érthető példákon keresztül megnézzük, hhogy mi a Stokes-tétel és hogyan kell használni. A dolog úgy áll, hogy az első Green-tétel térbeli megfelelője a Stokes-tétel, és azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is, ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját. Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen. Példák Stokes-tételre, Stokes-tételes feladatok megoldással.
A Stokes-tétel
Az első Green-tétel térbeli megfelelője azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…
ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját.
Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen.
Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.
Itt S egyszeresen összefüggő
sima felület, határgörbéje r(t),
melynek irányítása a felület
normálvektoraival jobbrendszert alkot.
Nézzünk erre egy példát.
Itt van ez a vektormező:
És ez a zárt görbe, ami egyébként egy körvonal.
Integráljuk a vektormezőt ezen a görbén.
Ja és ezen a kúpfelületen pedig integráljuk a vektormező rotációját.
Vagy épp ezen…
A Stokes-tétel szerint a két integrálásnak meg kell egyeznie.
Kezdjük a görbementi integrállal.
Most nézzük, hogy tényleg ugyanez jön-e ki a Stokes-tétellel is.
A felület egy forgáskúp.
Lássuk csak, hogyan is kell paraméterezni egy forgáskúpot.
Hát ezt a forgáskúpot így.
De ez még nem az igazi…
Meg kell fordítani…
és feljeb tolni 1-gyel.
Hát ezt tudja a Stokes-tétel.
A görbementi integrálást egy felületi integrálra cseréli.
Így nem egy rémes integrálást kell elvégeznünk…
hanem egy borzalmasat.