A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.

Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…

a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.

Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.

Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.

Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.

És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.

Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:

A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:

Most pedig lássuk az integrálás határait.

A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...

A teljes gömbön integrálunk, így befutja a teljes kört…

És pedig…

Nos csak egy félkört.

Most szerint integrálunk.

Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen ezért ez szempontjából konstansnak számít.

Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.

Nézzük meg ezt is.

Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:

Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…

Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:

És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.

Ez itt például egy gömb.

Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.

Na a másik az már érdekesebb…

Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.

Az egyik a forgásparaboloid…

a másik pedig a forgáskúp.

A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.

Sőt, mindjárt kettővel.

Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.

Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:

Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.

És a teljes körön.

A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.

És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.

Nos, itt is vannak.

Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.

Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.

A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.

Nos, ha még emlékszünk rá:

A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:

Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.

Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.

És most lássuk a mellékszereplőket.

Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.

Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.

y szerint integrálunk,

és x három szektorban lehet.

És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.

Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…

De most sokkal rosszabb lesz.

Mindig a zöld tartományon integrálunk.

Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,

akkor mindig a nullát integráljuk.

Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:

Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.

Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.

Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.

Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.

Először x szerint deriválunk…

aztán y szerint.