Analízis 3 epizód tartalma:
A homogén fokszám, Homogén fokszámú polinomok, Homogén fokszámú differenciálegyenletek, Helyettesítés, A differenciálegyenlet megoldása, Általános megoldás, Partikuláris megoldás, Differenciálegyenlet feladatok megoldással.
1.A Homogén fokszámú differenciálegyenlet
Kezdjük azzal, hogy tisztázzuk, mit is jelent a homogén fokszám.
Van itt egy ilyen
nos ez egy polinom, de nem ez az érdekes.
Ha ebben elvégezzük az helyettesítést,
akkor voila, miden tagban megjelenik .
Na ezt a remek adottságot nevezzük homogenitásnak.
Ez a polinom például nem homogén fokszámú:
Ha ugyanis akkor x-nek miden tagban más-más kitevője van.
Hát ennyit a homogén fokszámról és akkor lássuk, hogyan hasznosíthatnánk ezen ismereteinket a differenciálegyenletek megoldásánál.
Oldjuk meg ezt.
Az egyenlet nem szeparábilis, ha ugyanis leosztanánk -el…
akkor oldalán biztosan marad -es tag.
Ez pedig ártalmas a megoldás szempontjából.
Ha viszont nem osztunk le, akkor pedig oldalán marad y.
Szerencsére viszont a fokszám homogén.
A -es résznél is a fokszám kettő…
és a -os résznél is.
helyettesítés, röviden
Ez az egyenlet már szeparábilis, úgyhogy most jöhet a szétválasztás.
Megoldjuk a szeparábilis egyenletet, ahol y helyett most u-ra hajtunk.
És amikor u már megvan, visszacsináljuk y-ra.
Nézzünk meg egy másikat is.
Van egy ilyen, hogy így aztán pápá tangens.
Végülis miért ne néznénk meg még egy homogén fokszámú egyenletet.
Az egyenlet nem szeparábilis, viszont a fokszám homogén.
Úgy tűnik a fokszám 4.
Ez jó jel, jöhet a szokásos helyettesítés.
Most pedig megszabadulunk a logaritmusoktól.