Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.

A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le. A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.

Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.

Ha az előző példánkban szereplő függvény az akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.

Lássunk erre egy példát.

Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.

Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.

Érdemes megjegyezni, hogy

De azért akadnak izgalmasabb alakzatok is.

Próbáljuk meg például kiszámolni ennek a hengernek a térfogatát.

Az alapkörének egyenlete:

Az ismeretlent tartalmazó határokat belülre tesszük…

Na és itt kezdődnek a bonyodalmak.

Ezt az integrálást ugyanis meglehetősen kellemetlen lenne kiszámolni. Pont ezért vezettük be korábban a polárkoordinátákat.

Itt az ideje, hogy megint használjuk őket. Csak éppen ezúttal már három dimenzióban.

És van még egy harmadik koordináta is, ami marad z.

Ezeket a koordinátákat henger-koordinátáknak nevezzük.

…és ne felejtsük el r-el szorozni.

Ez csodás. Most pedig számoljunk ki valami bonyolultabbat. Integráljunk ezen a hengeren valamilyen függvényt.