Analízis 3 epizód tartalma:
Ki fog derülni, hogy a vektormező rotációja egy hihetetlenül egyszerű fogalom, amit bárki egyből meg tud érteni. Szuper-egyszerű példákon keresztül megnézzük síkbeli vektormezők rotációját, majd áttérünk a térbeli esetre. A divergencia és a rotáció vizsgálata, a rotáció képlete síkban és térben. Kiderül, hogyan kell kiszámolni a rotációt síkban és térben, megnézzük mi az a Nabla-operátor és jön sok-sok példa vektormezők rotációjára. Példák vektormező rotációjára. Feladatok vektormezők rotációjával kapcsolatban.
Íme, itt egy vektormező.
A vektormező divergenciáját már megnéztük.
Ezzel a képlettel számolható ki.
Vagy ha egy vektormezővel van dolgunk, akkor:
Most viszont itt jön valami még izgalmasabb.
A vektormező örvénylését fogjuk megpróbálni valahogyan leírni.
Itt egy vektormező:
A vektormező divergenciája:
Ez a vektormező itt az óramutató járásával megegyező irányba örvénylik.
Ezt hívjuk negatív iránynak.
És itt pedig pozitív irányba örvénylik.
A vektormező örvénylését a rotáció írja le.
Épp itt is jön:
Azokban a pontokban, ahol x=y a rotáció éppen nulla.
Itt nincsen örvénylés.
Ha x>y akkor a rotáció pozitív.
És, ha x<y akkor negatív.
A rotációt úgy érdemes elképzelni, mintha pici kis korongokat tennénk a síkra…
és ezeket a korongokat az áramló levegő megforgatja.
A korong forgástengelye merőleges a síkra.
A forgatás erősségét és irányát pedig a rotáció adja meg.
Ez a korong például áll.
Ha a vektormező minden pontjában megnézzük a kis korongok forgási irányát és a forgás erősségét, akkor megkapjuk a vektormező rotációját.
Hát így néz ki a rotáció az vektormezőknél.
A térbeli örvénylést már egy fokkal nehezebb elképzelni.
Sőt, két fokkal…
Térben nem kis korongok, hanem kis gömbök vannak.
A gömbök forgástengelye pedig minden pontban más és más irányba mutat.
A forgástengely irányát maga a rotáció adja meg.
Mond még valamit az, hogy ?
Ezek a tér bázisvektorai.
Na, és a rotáció…
Itt egy vektormező:
Ennek a vektormezőnek a rotációja:
Mielőtt teljesen kétségbe esnénk, itt jön két dolog.
Az egyik, hogy ez tehát egy ártatlan kis vektor, ami a gömb forgástengelyének irányát adja meg.
A vektor hossza pedig azt mondja meg, hogy milyen gyorsan forog a gömb.
A másik jó hír csak azoknak szól, akik tudják, hogy mi az a determináns:
Ha kifejtjük az első sora szerint…
És voila, íme, itt a rotáció képlete.
Ezeket írjuk föl magunknak.
A vektormező rotációja:
A rotáció képlete megjegyezhető formában:
És jegyezzük meg, hogy az eset így olvasható le.
Most pedig lássunk valami izgalmasat…