Analízis 3 epizód tartalma:
Másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet megoldása, A karakterisztikus egyenlet, A karakterisztikus egyenlet megoldása, A homogén differenciálegyenlet megoldása, A zavaró függvény, Az inhomogén rész megoldása, Partikuláris megoldás, A próbafüggvény módszer, A zavaró függvény megtalálása próbafüggvény módszerrel, Az általános megoldás.
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
Íme itt van ez az egyenlet.
Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.
Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.
Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.
De szerencsére ez a típus kivétel.
Lássuk mit kell tenni vele.
Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami
Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.
Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.
A differenciálegyenlet megoldása:
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van
És most lássuk a megoldást.
A karakterisztikus egyenlet:
Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.
Itt jön a karakterisztikus egyenlet:
Hát ez se volt túl nehéz.
Végül nézzük meg a harmadik típust.
Nos itt van egy kis gond.
Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.
Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy
Most pedig lássuk a megoldást.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.
Lássuk, mi történik olyankor.
A homogén egyenlet és megoldása:
Ha két valós megoldása van:
Ha egy valós megoldása van:
Ha két komplex megoldása van:
Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)
Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.
Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,
utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos
karakterisztikus egyenletet.
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.
Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.
De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,
vagy éppen trigonometrikus.
A partikuláris megoldás
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És az általános megoldás:
Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.
Van azonban itt még egy kis bökkenő.
Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.
A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.
Most tehát nincs rezonancia,
de a következő képsorban lesz…
A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.
Van itt ez az egyenlet:
A homogén egyenlet megoldása:
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.
A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.
A konstans szorzó ilyenkor nem számít.
És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.
Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.
Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.
Megjelent a rezonancia.
Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.
Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…
így aztán kell még egy x-es szorzó.
Ezt hívjuk kettős rezonanciának.
A megoldás innentől a szokásos.
Szokásosan unalmas.
Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.
Van itt ez a két egyenlet:
A karakterisztikus egyenletek:
A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy
Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha
És ilyenkor a próbafüggvény: