Barion Pixel A kettős integrál kiszámolása | mateking
 

Analízis 3 epizód tartalma:

Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük neked, hogy mi az a kettősintegrál. Kétváltozós függvények integrálása, A grafikon alatti térfogat, Integrálás téglalap alakú tartományon, Integrálás normáltartományon, A határok felcserélhetősége, A kettősintegrál kiszámolása, Kettősintegrál feladatok megoldással.

A képsor tartalma

Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.

A függvény grafikonja egy vonal.

Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.

Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.

Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,

vagy fordítva.

Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál

ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.

Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.

Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.

Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…

és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.

A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.

Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.

x-et integráljuk, pedig csak konstans szorzónak számít.

És is konstans szorzónak számít.

Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.

De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.

Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.

Ezúttal y szerint.

Végül behelyettesítünk.

y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.

Hát ez kész.

Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.

Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…

de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.

Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.

x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.

Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…

Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.

A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .

És most kezdjünk el integrálni.

A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.

Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,

x meg olyan, mintha konstans lenne.

Aztán y helyére behelyettesítünk.

És ezt integráljuk x szerint.

A folytatás még izgalmasabb lesz…

BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez