Ezt a felbontást hívjuk QR-felbontásnak.

És most itt jön egy újabb módszer, amivel a QR-felbontást meg tudjuk csinálni.

A módszer lényege, hogy addig-addig szorozgatjuk az A mátrixot Givens forgatások mátrixaival, amíg felső háromszögmátrixot nem kapunk.

Mindenekelőtt persze tisztázzuk, hogy mi is az a Givens forgatás.

Már jön is.

Most pedig készítsük el ennek a mátrixnak a QR-felbontását Givens forgatások segítségével.

Először ezt fogjuk kinullázni.

És ennek az szögnek azt kell tudnia, hogy…

Akkor készen is van a kinullázás.

De ezzel még nincs vége…

Most egy második Givens forgatással ezt is kinullázzuk.

A módszer ugyanaz lesz, mint az előbb.

Kiválasztjuk ezt a vektort…

Hopp, ez nem lesz jó…
Hiszen ennek a vektornak az egyik koordinátája már eleve nulla.

Kénytelenek leszünk ezt választani.

Ennek a második Givens forgatásnak a síkja tehát a jelek szerint az első és a harmadik koordinátatengelyek által kifeszített sík lesz.

A második Givens forgatás mátrixa pedig…

És most már komolyabb rajzolgatás nélkül...

Hogyha pedig még emlékszünk rá, kell ide egy transzponálás is.

Mindezt általánosítva:

Az a Givens forgatás, ami b-t inullázza…

QR-felbontás Givens forgatásokkal:

Annak a Givens forgatásnak a mátrixa, ami b-t lenullázza:

Próbáljuk is ki a legújabb képletünket.

Folytatjuk a kinullázást ezzel.

Ebben a síkban fogunk forgatni…

És a képlet szerint…

El is készült a felső háromszögmátrix.

Ezek itt mind ortogonális mátrixok…
És a szorzatuk is ortogonális mátrix lesz.

Meg is van a QR-felbontás.

Nem kell mást tennünk, mint az egészet beszorozni a G mátrix inverzével.

Hatalmas szerencse, hogy G ortogonális mátrix, így az inverze megegyezik a transzponáltjával.