Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is, hogyan tudjuk egy mátrix QR-felbontását elkészíteni Givens-forgatások segítségével. A Givens-forgatások olyan síkbeli forgatások, amelyek mátrixai ortogonállis mátrixok. Ezeknek a Givens-forgatásoknak az egymás után alkalmazásával képsek vagyunk egy mátrixot felső háromszögmátrixszá alakítani. A felbontásban ez a felső háromszögmátrix lesz az R mátrix, míg a Givens-forgatások inverz mátrixainak szorzata a Q mátrix.

A képsor tartalma

Ezt a felbontást hívjuk QR-felbontásnak.


És most itt jön egy újabb módszer, amivel a QR-felbontást meg tudjuk csinálni.

A módszer lényege, hogy addig-addig szorozgatjuk az A mátrixot Givens forgatások mátrixaival, amíg felső háromszögmátrixot nem kapunk.

Mindenekelőtt persze tisztázzuk, hogy mi is az a Givens forgatás.

Már jön is.


Most pedig készítsük el ennek a mátrixnak a QR-felbontását Givens forgatások segítségével.


Először ezt fogjuk kinullázni.


És ennek az szögnek azt kell tudnia, hogy…

Akkor készen is van a kinullázás.

De ezzel még nincs vége…

Most egy második Givens forgatással ezt is kinullázzuk.

A módszer ugyanaz lesz, mint az előbb.

Kiválasztjuk ezt a vektort…

Hopp, ez nem lesz jó…
Hiszen ennek a vektornak az egyik koordinátája már eleve nulla.

Kénytelenek leszünk ezt választani.

Ennek a második Givens forgatásnak a síkja tehát a jelek szerint az első és a harmadik koordinátatengelyek által kifeszített sík lesz.

A második Givens forgatás mátrixa pedig…


És most már komolyabb rajzolgatás nélkül...


Hogyha pedig még emlékszünk rá, kell ide egy transzponálás is.

Mindezt általánosítva:


Az a Givens forgatás, ami b-t inullázza…



QR-felbontás Givens forgatásokkal:

Annak a Givens forgatásnak a mátrixa, ami b-t lenullázza:


Próbáljuk is ki a legújabb képletünket.

Folytatjuk a kinullázást ezzel.


Ebben a síkban fogunk forgatni…

És a képlet szerint…

El is készült a felső háromszögmátrix.


Ezek itt mind ortogonális mátrixok
És a szorzatuk is ortogonális mátrix lesz.


Meg is van a QR-felbontás.

Nem kell mást tennünk, mint az egészet beszorozni a G mátrix inverzével.

Hatalmas szerencse, hogy G ortogonális mátrix, így az inverze megegyezik a transzponáltjával.

 

QR-felbontás Givens-forgatásokkal

07
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Már mutatjuk is, hogyan tudjuk egy mátrix QR-felbontását elkészíteni Givens-forgatások segítségével. A Givens-forgatások olyan síkbeli forgatások, amelyek mátrixai ortogonállis mátrixok. Ezeknek a Givens-forgatásoknak az egymás után alkalmazásával képsek vagyunk egy mátrixot felső háromszögmátrixszá alakítani. A felbontásban ez a felső háromszögmátrix lesz az R mátrix, míg a Givens-forgatások inverz mátrixainak szorzata a Q mátrix.

Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?
Ugrás az
összeshez