Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Lineáris algebra

Kategóriák
  • Mátrixok és vektorok
  • Egy kis geometria
  • Vektorterek, független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
  • Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
  • Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás
  • Lineáris leképezések
  • Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
  • Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz
  • Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
  • Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása
  • Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Interpolációs polinomok
  • Oszthatóság
  • Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek
  • Kongruenciák, Euler-Fermat tétel
  • Csoportok, gyűrűk, testek

Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Ortogonális rendszerek, Gram-mátrix
02
 
Fourier-együtthatók, Gauss-féle normálegyenlet
03
 
Ortogonális mátrixok
04
 
A Gram-Schmidt ortogonalizáció
05
 
Gram-Schmidt ortogonalizáció 4x4-es mátrixra

Gram-mátrix

Az olyan mátrixot, ahol minden elem egy-egy vektorok szorzata, szorzótáblaszerűen elrendezve, Gram mátrixnak nevezzük.

Pl. a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, $\underline{b}_3$ vektorok Gram mátrixa:

\( \begin{pmatrix} \langle \underline{b}_1 \,, \underline{b}_1 \rangle & \langle \underline{b}_1 \,, \underline{b}_2 \rangle & \langle \underline{b}_1 \,, \underline{b}_3 \rangle \\  \langle \underline{b}_2 \,, \underline{b}_1 \rangle & \langle \underline{b}_2 \,, \underline{b}_2 \rangle & \langle \underline{b}_2 \,, \underline{b}_3 \rangle  \\ \langle \underline{b}_3 \,, \underline{b}_1 \rangle & \langle \underline{b}_3 \,, \underline{b}_2 \rangle & \langle \underline{b}_3 \,, \underline{b}_3 \rangle \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ortogonális bázis

Hogyha egy ortogonális vektorrendszer éppen annyi vektorból áll, amennyi koordinátája van a vektoroknak, akkor az a vektorrendszer egy ortogonális bázis.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ortogonális vektorrendszer

 Azokat a vektorokat, ahol a vektorok egymásra merőlegesek ortogonális rendszernek nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ortonormált bázis

Az olyan bázist, ahol bármely két vektor skaláris szorzata 0 és minden vektor egységhosszú, ortonormált bázisnak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ortonormált vektorrendszer

Ha egy vektorrendszerben bármely két vektor skaláris szorzata 0, akkor az egy ortonormált vektorrendszer.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ortonormált vektorrendszer

Ha egy vektorrendszerben bármely két vektor skaláris szorzata 0 és minden vektora egységnyi hosszú, akkor az egy ortonormált vektorrendszer.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Fourier-együttható

Hogyha a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, ..., $\underline{b}_n$ vektorok a $V$ vektortérben egy ortogonális bázis, és $\underline{x} \in V$ tetszőleges vektor, akkor az

\( \underline{x} = \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 +  \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 + \dots +  \lambda_n \cdot \underline{b}_n \)

lineáris kombináció együtthatói felírhatók skaláris szorzatok segítségével:

\( \lambda_1 = \frac{ \langle \underline{x} , \underline{b}_1 \rangle}{ \langle \underline{b}_1 , \underline{b}_1 \rangle} \)

\( \lambda_2 = \frac{ \langle \underline{x} , \underline{b}_2 \rangle}{ \langle \underline{b}_2 , \underline{b}_2 \rangle} \)

\( \vdots \)

\( \lambda_n = \frac{ \langle \underline{x} , \underline{b}_n \rangle}{ \langle \underline{b}_n , \underline{b}_n \rangle} \)

Ezeket az együtthatókat Fourier-együtthatóknak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gauss-féle normálegyenlet

Hogyha a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, ..., $\underline{b}_n$ vektorok a $V$ vektortérnek egy bázisa, akkor bármely $\underline{x} \in V$  vektor előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként.

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 +  \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 + \dots +  \lambda_n \cdot \underline{b}_n = \underline{x} \)

És most végre azt is megtudjuk a skaláris szorzat segítségével, hogy pontosan mik lesznek ezek a $\lambda_i$ együtthatók.

A trükk az lesz, hogy beszorozzuk az egyenletet a $\underline{b}_1$ bázisvektorral...

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_1 +  \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_1 + \dots +  \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_1 = \underline{x}  \cdot \underline{b}_1 \)

Aztán beszorozzuk a $\underline{b}_2$ bázisvektorral is.

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1  \cdot \underline{b}_2+  \lambda_2 \cdot \underline{b}_2  \cdot \underline{b}_2 + \dots +  \lambda_n \cdot \underline{b}_n  \cdot \underline{b}_2= \underline{x} \cdot \underline{b}_2 \)

És így tovább az összesel.

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_n +  \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_n + \dots +  \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_n= \underline{x} \cdot \underline{b}_n \)

Az így keletkező $n$ darab egyenletet Gauss-féle normálegyenletnek nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ortogonális mátrix

Az ortogonális mátrix olyan, ahol az oszlopvektorok egységnyi hosszúak.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ortogonális mátrixok tulajdonságai

Hogyha $Q$ egy ortogonális mátrix, akkor

\( Q^{-1} = Q^T \)

$Q$ oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak

$Q$ sorvektorai ortonormált rendszert alkotnak

\( Q \cdot Q^T = Q^T \cdot Q = I \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gram-Schmidt ortogonalizáció

A régi bázis úgy alakítható át ortogonális bázissá, hogy szépen egymás után lecseréljük a régi bázisvektorokat új bázisvektorokra. Az átalakítást Gram-Schmidt ortogonalizációnak nevezzük.

Az új ortogonális bázis legyen $\underline{q}_1$, $\underline{q}_2$ és $\underline{q}_3$

Az új bázis első vektorát akárhogy választhatjuk, legyen ez mondjuk a régi bázisból $\underline{q}_1$

\( \underline{q}_1 = \underline{b}_1 \)

Aztán lássuk mi lesz az új bázis második vektora:

\( \underline{q}_2 = \underline{b}_2 - \lambda_{21} \cdot \underline{q} \qquad \lambda_{21}=\frac{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{b}_2 \rangle}{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{q}_1 \rangle} \)

Itt jön aztán az új bázis harmadik vektora:

\( \underline{q}_3 = \underline{b}_3 - \lambda_{31} \cdot \underline{q}_1 - \lambda_{32} \cdot \underline{q}_2 \qquad \lambda_{31}=\frac{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{b}_3 \rangle}{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{q}_1 \rangle} \qquad \lambda_{32}=\frac{\langle \underline{q}_2 \,, \underline{b}_3 \rangle}{\langle \underline{q}_2 \,, \underline{q}_2 \rangle} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

a) Itt egy ortogonális bázis:

\( \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_3 = \begin{pmatrix} 16 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Meg itt van ez a vektor:

\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Számoljuk ki a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, $\underline{b}_3$ bázis szerinti Fourier-együtthatókat.

b) Az ortonormált bázis:

\( \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} -1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_3 = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 1/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} \)

Itt ez a vektor:

\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \)

Számoljuk ki a Fourier-együtthatókat.

 

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Az alábbi bázist alakítsuk át ortogonális bázissá a Gram-Schmidt-ortogonalizáció segítségével.

\( \underline{b_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}  \quad \underline{b_2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b_3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Ortogonális rendszerek, Gram-mátrix

Azokat a vektorrendszereket, ahol a bázisvektorok egymásra merőlegesek ortogonális rendszernek nevezzük.
 

Annak érdekében, hogy kicsit mutatósabban nézzen ki, áttérünk a skaláris szorzatnak erre a kacsacsőrös jelölésére.


És most elkészítjük ezt a mátrixot.
Mindegyik vektort mindegyikkel összeszorozzuk.


Az eredményeket pedig beírjuk ide a mátrixba.


Mivel a skaláris szorzat kommutatív…
Ez egy szimmetrikus mátrix lesz.


Az így keletkező mátrixot Gram-mátrixnak nevezzük.

Itt jön aztán egy másik vektorrendszer is.

 
 

Ez a másik vektorrendszer egy ortogonális rendszer:

     
 

Bármely két vektort választjuk ki, a skaláris szorzatuk nulla, vagyis a vektorok egymásra merőlegesek.


 
 

Na persze, ha egy vektort önmagával szorozzuk meg…
az nem nulla.


Hogyha egy ortogonális vektorrendszer éppen annyi vektorból áll, amennyi koordinátája van a vektoroknak, akkor az a vektorrendszer bázis.

Most éppen 3 vektorunk van, és a koordináták száma is 3…
Így hát ez a vektorrendszer egy bázis.

Egy ortogonális bázis.

Az ortogonális bázisok Gram-mátrixa mindig diagonális mátrix.

Létezik egy vektor, ami minden vektorra merőleges.
Éppen itt is van.

Ez a vektor a nullvektor.

Ha egy ortogonális rendszerhez hozzávesszük a nullvektort, akkor szintén ortogonális rendszert kapunk.
Csak éppen ez már biztosan nem lesz bázis.

A nullvektor ugyanis elrontja.

Hogyha egy ortogonális rendszer minden vektora egységnyi hosszú, akkor azt ortonormált rendszernek nevezzük.

Ez most épp nem ortonormált rendszer, mert a vektorok hossza nem egységnyi.


A nullvektor hossza egészen biztosan nulla…
Így aztán egy ortonormált rendszerben semmiképp sem szerepelhet a nullvektor.

Pápá nullvektor.


A megmaradó vektorok még mindig nem egységnyi hosszúak…

Egy vektor hosszát, amit egyébként kettes normának nevezünk, a szokásos módon számoljuk ki.

A koordináták négyzetösszege a gyök alatt.


Az egyszerűség kedvéért ezt csak így fogjuk jelölni.

Egy bázisból könnyedén gyárthatunk ortonormált bázist.
Szépen egymás után kiszámoljuk a vektorok hosszát…
És aztán mindegyik vektort normáljuk.
Vagyis elosztjuk a saját hosszával.


 

Hát, ez megvolna.

Az ortonormált bázisok Gram-mátrixa mindig az egységmátrix.
 


 


Egy teljesen általános bázis Gram-mátrixa mindig egy szimmetrikus mátrix.
Egy pozitív definit szimmetrikus mátrix.

Hogyha egy vektorrendszer ortogonális bázis, akkor a Gram-mátrix diagonális mátrix.

És egy ortonormált bázis Gram-mátrixa az egységmátrix.


Ha a bázist elrontjuk…

Ezt a Gram-mátrix is azonnal jelzi.

Egy lineárisan összefüggő vektorrendszer Gram-mátrixa
 


Ortogonális mátrixok

Ez a vektorrendszer egy ortogonális rendszer.

A vektorok szépen egymásra merőlegesek, ahogyan egy ortogonális rendszerben lennie kell.

Ha az ortogonális vektorokat betesszük egy mátrixba…

Akkor logikusan hangzana, hogy egy ortogonális mátrixot kapunk.
De itt sajnos van egy kis gubanc az elnevezésekkel.


Az ortogonális vektorokat egymás mellé írva nem kapunk ortogonális mátrixot...


Egy ortogonális mátrix ugyanis olyan, ahol az oszlopvektorok egységnyi hosszúak.

Először tehát egységnyi hosszú vektorokat kell gyártanunk ezekből.


Kiszámoljuk a vektorok hosszát…
És aztán mindegyiket elosztjuk a saját hosszával.

Így kapjuk az ortonormált vektorokat:

Az ortogonális mátrixoknak néhány egészen elképesztő képessége van.

Az egyik leghasznosabb tulajdonságuk, hogy egy ortogonális mátrix inverze egyenlő a transzponáltjával.

Hogyha Q egy ortogonális mátrix, akkor:

De van itt még más is…


Q oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak
Q sorvektorai ortonormált rendszert alkotnak


Itt van például ez a mátrix.

Számoljuk ki az inverzét…

Az A mátrix oszlopvektorai mind egységnyi hosszúak.
És bármely két oszlopvektor skaláris szorzata nulla.


Nem kell mást tennünk, mint normálni a bázisvektorokat.
Vagyis mindegyiket leosztani a saját hosszával.

Úgy tűnik, hogy az A mátrix ortogonális mátrix.

Egy ortogonális mátrix inverzét pedig nagyon egyszerű kiszámolni. 
Csak transzponáljuk az eredeti mátrixot, és már kész is.


Most pedig nézzünk meg néhány ortogonális mátrixot.

Maga az egységmátrix nyilván ortogonális mátrix.

Szintén ortogonális mátrixok a permutációs mátrixok.
Ezeket úgy kapjuk, hogy az egységmátrix néhány sorát vagy oszlopát fölcseréljük.
 

Hogyha egy mátrixnak csak az oszlopvektorai alkotnak ortonormált rendszert…
Azokat a mátrixokat szemiortogonális mátrixnak nevezzük.


A síkbeli tükrözések és forgatások mátrixai ortogonális mátrixok…


Ez itt például az x tengelyre tükrözés mátrixa.

Ez a másik pedig az y tengelyre tükrözés.


Itt jön aztán az origó középpontú   szögű forgatás mátrixa.
 

Most pedig nézzük, hogyan működik mindez térben…


Az egyenesre tükrözés térbeli megfelelője a síkra tükrözés lesz.

Az x és y tengely által kifeszített síkra tükrözés ortogonális mátrixa:

Forgatni pedig egyenesek körül tudunk.

Az x tengely körüli a szögű forgatás valahogy így néz ki…

És a mátrixa:
 

Persze forgathatunk a másik két tengely körüli is…

Az x, y és z tengelyek körüli forgatások mátrixai:

A forgatások mindhárom esetben egy síkban történnek. 
A három tengely közül mindig az egyik tengely az, ami körül forgatunk…
és mindig a másik két tengely által kifeszített síkban.

Ezeket a koordinátasíkokban történő forgatásokat Givens forgatásnak nevezzük.

A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha mindezt a négydimenziós térben csináljuk…


A Gram-Schmidt ortogonalizáció

Gram-Schmidt ortogonalizáció 4x4-es mátrixra

Fourier-együtthatók, Gauss-féle normálegyenlet

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim