Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Lineáris algebra

Kategóriák
  • Mátrixok és vektorok
  • Egy kis geometria
  • Vektorterek, független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
  • Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
  • Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás
  • Lineáris leképezések
  • Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
  • Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz
  • Vektornorma, mátrixnorma, mátrixok kondíciószáma
  • Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
  • Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása
  • Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Interpolációs polinomok
  • Oszthatóság
  • Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek
  • Kongruenciák, Euler-Fermat tétel
  • Csoportok, gyűrűk, testek

Vektornorma, mátrixnorma, mátrixok kondíciószáma

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Vektorok normája
02
 
Mátrixok normája
03
 
Mátrixok 2-es normája, a spektrálnorma
04
 
Mátrixok kondíciószáma és a jól kondicionált mátrixok
05
 
Mátrixok kondíciószámának becslése

1-es norma vektoroknál

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

Az 1-es norma:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_1 = \mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid \)

A dolog kettőnél nagyobb dimenzióra is működik:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_1 = \mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid + \dots + \mid x_n \mid \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

2-es norma vektoroknál

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

A 2-es norma:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_2 =\sqrt{ x_1^2 + x_2^2 } \)

A dolog kettőnél nagyobb dimenzióra is működik:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_2 =\sqrt{ x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 }\)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Euklideszi norma vektorok

A szokásos távolságképletet euklideszi-normának nevezzük.

\( d = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Végtelen norma vektoroknál

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

A végtelen norma:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_{\infty} = \max{ \{ \mid x_1 \mid , \mid x_2 \mid \} }\)

A dolog kettőnél nagyobb dimenzióra is működik:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_{\infty} = \max{ \{ \mid x_1 \mid , \mid x_2 \mid , \dots , \mid x_n \mid \} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektor normája

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

A norma úgy működik, hogy minden vektorhoz hozzárendel egy valós számot. Az $\underline{x}$ vektor normájának a jele $ || \underline{x} ||$ és ezt a három dolgot kell tudnia:

Bármely $\underline{x}$ vektorra $ || \underline{x} || \geq 0$

Bármely $\underline{x}$ vektorra $ || c \cdot \underline{x} || = | c | \cdot || \underline{x} || $

Bármely $\underline{x}$ és $\underline{y}$ vektorra $ || \underline{x} + \underline{y} || \leq || \underline{x} || + || \underline{y} || $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektor p-normája

Egy vektor p-normája ez:

\( || \underline{x} ||_p = \left( | x_1 |^p + |x_2 |^p \right) ^{\frac{1}{p}} \qquad p \geq 1 \)

Hogyha $p$ éppen egy, akkor az 1-es normát kapjuk: $ || \underline{x} ||_1 = | x_1 | + | x_2 | $

Ha $p$ értéke kettő, akkor az euklideszi-normát: $ || \underline{x} ||_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 } $

Végül eljutunk az úgynevezett végtelen normáig: $ || \underline{x} ||_{\infty} = \max{ \left( | x_1 | , | x_2 | \right)} $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1-es norma mátrixoknál

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

Az 1-es norma vagy más néven oszlopnorma: $ || A ||_1 = \max_j{\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|} $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

2-es norma mátrixoknál

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

A 2-es norma vagy spektrálnorma egy mátrixnorma.

Így kell kiszámítani: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $

Itt a $\rho$ azt jelenti, hogy ki kell számolni a spektrálsugarat, amihez a $B=A \cdot A^T$ mátrix sajátértékein vezet az út.

Egy mátrix spektrálsugara a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Frobenius-norma mátrixok

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

A Frobenius-norma: $ \mid \mid A \mid \mid_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} a_{ij}^2} $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixok normája

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

Oszlopnorma: $ || A ||_1 = \max_j{\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|} $

Spektrálnorma: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $

Sornorma: $ || A ||_{\infty} = \max_i{\sum_{j=1}^{k} | a_{ij} |} $

Frobenius-norma: $ || A ||_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k a^2_{ij} } $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Végtelen norma mátrixoknál

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

A végtelen norma vagy sornorma: $ || A ||_{\infty} = \max_i{\sum_{j=1}^{k} | a_{ij} |} $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Spektrálnorma mátrixok

A spektrálnorma egy mátrixnorma.

Így kell kiszámítani: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $

Itt a $\rho$ azt jelenti, hogy ki kell számolni a spektrálsugarat, amihez a $B=A \cdot A^T$ mátrix sajátértékein vezet az út.

Egy mátrix spektrálsugara a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixok kondíciószáma

Az $A$ mátrix kondíciószáma: $ cond(A)= \mid \mid A \mid \mid \cdot \mid \mid A^{-1} \mid \mid $

A kondíciószám természetesen normafüggő.

A mátrixok kondíciószámára nagy szükség van például lineáris egyenletrendszerek megoldásának hibabecslésénél.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Van itt ez a vektor:

\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \)

És számoljuk ki az 1-es, a 2-es, a 3-as és a végtelen normáját.

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Számoljuk ki az alábbi mátrix 1-es, 2-es, 3-as és végtelen normáját.

\( A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Vektorok normája

Mátrixok normája

Mátrixok 2-es normája, a spektrálnorma

Mátrixok kondíciószáma és a jól kondicionált mátrixok

Mátrixok kondíciószámának becslése

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim