Vektornorma, mátrixnorma, mátrixok kondíciószáma

A szokásos távolságképletet euklideszi-normának nevezzük.

\( d = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 } \)

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

A norma úgy működik, hogy minden vektorhoz hozzárendel egy valós számot. Az $\underline{x}$ vektor normájának a jele $ || \underline{x} ||$ és ezt a három dolgot kell tudnia:

Bármely $\underline{x}$ vektorra $ || \underline{x} || \geq 0$

Bármely $\underline{x}$ vektorra $ || c \cdot \underline{x} || = | c | \cdot || \underline{x} || $

Bármely $\underline{x}$ és $\underline{y}$ vektorra $ || \underline{x} + \underline{y} || \leq || \underline{x} || + || \underline{y} || $

Egy vektor p-normája ez:

\( || \underline{x} ||_p = \left( | x_1 |^p + |x_2 |^p \right) ^{\frac{1}{p}} \qquad p \geq 1 \)

Hogyha $p$ éppen egy, akkor az 1-es normát kapjuk: $ || \underline{x} ||_1 = | x_1 | + | x_2 | $

Ha $p$ értéke kettő, akkor az euklideszi-normát: $ || \underline{x} ||_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 } $

Végül eljutunk az úgynevezett végtelen normáig: $ || \underline{x} ||_{\infty} = \max{ \left( | x_1 | , | x_2 | \right)} $

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

Az 1-es norma:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_1 = \mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid \)

A dolog kettőnél nagyobb dimenzióra is működik:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_1 = \mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid + \dots + \mid x_n \mid \)

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

A 2-es norma:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_2 =\sqrt{ x_1^2 + x_2^2 } \)

A dolog kettőnél nagyobb dimenzióra is működik:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_2 =\sqrt{ x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 }\)

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.

A végtelen norma:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_{\infty} = \max{ \{ \mid x_1 \mid , \mid x_2 \mid \} }\)

A dolog kettőnél nagyobb dimenzióra is működik:

\( \mid \mid \underline{x} \mid \mid_{\infty} = \max{ \{ \mid x_1 \mid , \mid x_2 \mid , \dots , \mid x_n \mid \} } \)

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

Oszlopnorma: $ || A ||_1 = \max_j{\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|} $

Spektrálnorma: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $

Sornorma: $ || A ||_{\infty} = \max_i{\sum_{j=1}^{k} | a_{ij} |} $

Frobenius-norma: $ || A ||_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k a^2_{ij} } $

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

Az 1-es norma vagy más néven oszlopnorma: $ || A ||_1 = \max_j{\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|} $

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

A 2-es norma vagy spektrálnorma egy mátrixnorma.

Így kell kiszámítani: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $

Itt a $\rho$ azt jelenti, hogy ki kell számolni a spektrálsugarat, amihez a $B=A \cdot A^T$ mátrix sajátértékein vezet az út.

Egy mátrix spektrálsugara a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb.

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

A végtelen norma vagy sornorma: $ || A ||_{\infty} = \max_i{\sum_{j=1}^{k} | a_{ij} |} $

A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.

A Frobenius-norma: $ \mid \mid A \mid \mid_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} a_{ij}^2} $

A spektrálnorma egy mátrixnorma.

Így kell kiszámítani: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $

Itt a $\rho$ azt jelenti, hogy ki kell számolni a spektrálsugarat, amihez a $B=A \cdot A^T$ mátrix sajátértékein vezet az út.

Egy mátrix spektrálsugara a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb.

Az $A$ mátrix kondíciószáma: $ cond(A)= \mid \mid A \mid \mid \cdot \mid \mid A^{-1} \mid \mid $

A kondíciószám természetesen normafüggő.

A mátrixok kondíciószámára nagy szükség van például lineáris egyenletrendszerek megoldásának hibabecslésénél.