Csoportok, gyűrűk, testek

A kommutatív csoportokat Abel-csoportnak nevezzük.

Azokat a nem üres halmazokat, amelyekben értelmezve van egy művelet, és ez a művelet asszociatív, létezik benne egységelem, és minden elemnek létezik benne inverze, csoportnak nevezzük.

Azt az elemet, amely a művelet elvégzése során mindenkit változatlanul hagy, egységelemnek nevezzük.

Egy elem akkor lesz inverz, ha azt tudja, hogy a művelet elvégzése során az eredeti elemből egységelemet csinál.

Például ha vesszük az 5-öt és a szorzás műveletet, akkor az 5-nek a szorzás műveletre vett inverze az $\frac{1}{5}$, mert $5 \cdot \frac{1}{5} = 1 $, vagy ha vesszük a 2-öt és az összeadás műveletet, akkor a 2-nek az összeadás műveletre vett inverze a $-2$, mert $2+(-2)=0$.

Egy csoportot ciklikus csoportnak nevezünk, ha előáll egyetlen elemének egész kitevős hatványaiból.

Egy elem rendje azt a legkisebb pozitív egész kitevőt jelenti, amelyre emelve az egységelemeket kapjuk.

A rend jele: \( \sigma \) (ordó)

Ha egy csoportban az elemeknek nincs inverze, és nincs egységelem sem, akkor félcsoportnak nevezzük.

Egy nem üres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha értelmezve van benne egy összeadás és egy szorzás művelet.

Az összeadásnak azt kell tudnia, hogy asszociatív és kommutatív.

\( (a+b)+c = a+(b+c) \)

\( a+b = b+a \)

Van egységelem. Az összeadás egységelemét nullelemnek hívjuk.

Minden elemnek van inverze, amit ellentettnek hívunk.

A szorzásnak pedig mindössze annyit kell tudnia, hogy asszociatív.

\( (ab)c = a(bc) \)

A két művelet pedig egymásra nézve disztributív:

\( a(b+c) = ab+ac \)

\( (a+b)c = ac+bc \)

Példák gyűrűre: egész számok, $(n\times n)$-es mátrixok, $\textrm{mod}\ m$ maradékosztályok

A kommutatív nullosztómentes gyűrűket nevezzük integritási tartománynak.

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmazt ideálnak nevezzük, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és minden $r \in R$ és $i \in I$ elemre $r\cdot i \in I$

És mivel a szorzás nem feltétlenül kommutatív, léteznek bal és jobb ideálok.

Bal ideál:

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmaz bal ideál, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és $\forall r \in R$ és $i \in I$ elemre $r\cdot i \in I$

Jobb ideál:

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmaz jobb ideál, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és $\forall r \in R$ és $i \in I$ elemre $i\cdot r \in I$

Az egy elem által generált ideált főideálnak nevezzük.

Azokat a gyűrűket, amelyben minden ideál főideál, úgy hívjuk, hogy főideálgyűrű.

Használatos rájuk a PIR rövidítés is (Principal Ideal Ring).

Azokat a komplex számokat, ahol $a$ és $b$ egész szám Gauss egésznek nevezzük.

\( z = a + b\cdot i \)

A Gauss egészek gyűrűt alkotnak az összedás és szorzás műveletekkel.

A Gauss egészek tudják az oszthatóságot is, egy Gauss egész akkor oszt egy másikat, ha az osztás eredménye is Gauss egész.

A Gauss egészek körében négy darab egység van: $1, -1, i, -i$

A Gauss egészek gyűrűjében prímek azok a $p_1$ és $p_2$ Gauss egészek, amelyek szorzata $4k+1$ alakú prím:

\( p_1 \cdot p_2 = p \)

Az $n$ szám akkor és csak akkor áll elő két négyzetszám összegeként

\( n=x^2 + y^2 \)

ha kanonikus alakjában

\( n= 2^{\gamma} \cdot p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots q_1^{\beta_1} q_2^{\beta_2} \dots \qquad p_i = 4k-1 \quad q_i=4k+1 \)

minden $4k-1$ alakú prím kitevője páros.

A komplex számok abszolútértékének mintájára bevezetünk egy fogalmat, amit normának hívunk:

\( N(z) = \mid z \mid^2 = a^2 + b^2 \)

Ha $z_1$ és $z_2$ Gauss egészek, akkor

\( z_1 \mid z_2  \Rightarrow N(z_1) \mid N(z_2) \)

Az állítás megfordítása nem igaz:

\( N(z_1) \mid N(z_2) \not\Rightarrow z_1 \mid z_2 \)

Azokat a gyűrűket, amikben működik az Euklideszi algoritmus úgy hívjuk, hogy Euklideszi gyűrű.

Minden Euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű.

Euklideszi gyűrű például az egész számok gyűrűje, vagy éppen a Gauss egészek gyűrűje.

Azokat a gyűrűket, melyeknek van additív inverze, és a 0-tól eltekintve minden elemének van multiplikatív inverze is, testnek nevezzük.

A rendezés reláció négy fontos tulajdonságát rendezési axiómának nevezzük.

1. Trichotómia: Bármely $a$ és $b$ valós számra, az $a<b$, az $a=b$ és az $a>b$ állítások közül pontosan egy igaz.

2. Tranzitivitás: Bármely $a, b$ és $c$ valós számra, ha $a<b$ és $b<c$ akkor $a<c$.

3. Bármely $a, b$ és $c$ valós számra ha $a<b$ akkor $a+c<b+c$.

4. Bármely $a, b$ és $c>0$ valós számra, ha $a<b$ akkor $ac<bc$.

9 test-axióma van, ezek:

1. Az összeadás asszociatív

2. Az összeadás kommutatív

3. Létezik nullelem az összeadás műveletben

4. Minden elemnek van additív inverze

5. A szorzás asszociatív

6. A szorzás kommutatív

7. Létezik egységelem a szorzás műveletben

8. Minden elemnek van multiplikatív inverze, kivéve a nullelemet

9. Az összeadás és szorzás művelet disztributív

Minden számnál van nagyobb természetes szám. Ezt az állítást Arkhimédészi-axiómaként szokás emlegetni.

\( \forall x \in R \quad \exists n \in N \quad n>x \)

Az Arkhimédészi-axióma átfogalmazható úgy is, hogy bármely $a$ és $b$ pozitív számokra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy $an>b$

Sőt, átfogalmazható így is:

Bármely $a$ és $b$ pozitív számokra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy $\frac{a}{b} > \frac{1}{n} $

Ez pedig azt jelenti, hogy bármely pozitív számra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy az $\frac{1}{n}$ kisebb ennél a számnál.

A Cantor-axióma azt mondja, hogy egymásba skatulyázott zárt intervallumok végtelen sorozatának metszete nem üres.

Ha $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ és $b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_n$ akkor $\exists x \in R$

\( x \in \bigcap_{i=1}^{\infty} [a_i, b_i] \)