Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Matek érettségi
  • Mire jó a matek?
  • Hogyan működik a mateking?
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Szülőknek
  • Egyetemistáknak
  • Középiskolásoknak
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Lineáris algebra

Kategóriák
  • Mátrixok és vektorok
  • Egy kis geometria
  • Vektorterek, független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
  • Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
  • Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás
  • Lineáris leképezések
  • Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
  • Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz
  • Vektornorma, mátrixnorma, mátrixok kondíciószáma
  • Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
  • Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása
  • Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Interpolációs polinomok
  • Oszthatóság
  • Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek
  • Kongruenciák, Euler-Fermat tétel
  • Csoportok, gyűrűk, testek

Csoportok, gyűrűk, testek

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Csoport, félcsoport
02
 
Ciklikus csoportok, elem rendje
03
 
A gyűrű
04
 
Gyűrű, nullusztó, egységelemes gyűrű, integritási tartomány
05
 
Az ideál
06
 
Főideál, főideálgyűrű
07
 
A Gauss egészek gyűrűje
08
 
Euklideszi gyűrű, Főideálgyűrű
09
 
Algebrai testek
10
 
A valós számtest
11
 
Arkhimédészi-axióma
12
 
A Cantor-axióma

Abel-csoport

A kommutatív csoportokat Abel-csoportnak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Csoport

Azokat a nem üres halmazokat, amelyekben értelmezve van egy művelet, és ez a művelet asszociatív, létezik benne egységelem, és minden elemnek létezik benne inverze, csoportnak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egységelem

Azt az elemet, amely a művelet elvégzése során mindenkit változatlanul hagy, egységelemnek nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Inverz

Egy elem akkor lesz inverz, ha azt tudja, hogy a művelet elvégzése során az eredeti elemből egységelemet csinál.

Például ha vesszük az 5-öt és a szorzás műveletet, akkor az 5-nek a szorzás műveletre vett inverze az $\frac{1}{5}$, mert $5 \cdot \frac{1}{5} = 1 $, vagy ha vesszük a 2-öt és az összeadás műveletet, akkor a 2-nek az összeadás műveletre vett inverze a $-2$, mert $2+(-2)=0$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ciklikus csoport

Egy csoportot ciklikus csoportnak nevezünk, ha előáll egyetlen elemének egész kitevős hatványaiból.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Elem rendje

Egy elem rendje azt a legkisebb pozitív egész kitevőt jelenti, amelyre emelve az egységelemeket kapjuk.

A rend jele: \( \sigma \) (ordó)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Félcsoport

Ha egy csoportban az elemeknek nincs inverze, és nincs egységelem sem, akkor félcsoportnak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gyűrű

Egy nem üres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha értelmezve van benne egy összeadás és egy szorzás művelet.

Az összeadásnak azt kell tudnia, hogy asszociatív és kommutatív.

\( (a+b)+c = a+(b+c) \)

\( a+b = b+a \)

Van egységelem. Az összeadás egységelemét nullelemnek hívjuk.

Minden elemnek van inverze, amit ellentettnek hívunk.

A szorzásnak pedig mindössze annyit kell tudnia, hogy asszociatív.

\( (ab)c = a(bc) \)

A két művelet pedig egymásra nézve disztributív:

\( a(b+c) = ab+ac \)

\( (a+b)c = ac+bc \)

 

Példák gyűrűre: egész számok, $(n\times n)$-es mátrixok, $\textrm{mod}\ m$ maradékosztályok

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Integritási tartomány

A kommutatív nullosztómentes gyűrűket nevezzük integritási tartománynak.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ideál

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmazt ideálnak nevezzük, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és minden $r \in R$ és $i \in I$ elemre $r\cdot i \in I$

És mivel a szorzás nem feltétlenül kommutatív, léteznek bal és jobb ideálok.

Bal ideál:

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmaz bal ideál, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és $\forall r \in R$ és $i \in I$ elemre $r\cdot i \in I$

Jobb ideál:

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmaz jobb ideál, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és $\forall r \in R$ és $i \in I$ elemre $i\cdot r \in I$

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Főideál

Az egy elem által generált ideált főideálnak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Főideál gyűrű

Azokat a gyűrűket, amelyben minden ideál főideál, úgy hívjuk, hogy főideálgyűrű.

Használatos rájuk a PIR rövidítés is (Principal Ideal Ring).

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gauss egészek

Azokat a komplex számokat, ahol $a$ és $b$ egész szám Gauss egésznek nevezzük.

\( z = a + b\cdot i \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gauss egészek gyűrűje

A Gauss egészek gyűrűt alkotnak az összedás és szorzás műveletekkel.

A Gauss egészek tudják az oszthatóságot is, egy Gauss egész akkor oszt egy másikat, ha az osztás eredménye is Gauss egész.

A Gauss egészek körében négy darab egység van: $1, -1, i, -i$

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gauss prímek

A Gauss egészek gyűrűjében prímek azok a $p_1$ és $p_2$ Gauss egészek, amelyek szorzata $4k+1$ alakú prím:

\( p_1 \cdot p_2 = p \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Két-négyzetszám-tétel

Az $n$ szám akkor és csak akkor áll elő két négyzetszám összegeként

\( n=x^2 + y^2 \)

ha kanonikus alakjában

\( n= 2^{\gamma} \cdot p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots q_1^{\beta_1} q_2^{\beta_2} \dots \qquad p_i = 4k-1 \quad q_i=4k+1 \)

minden $4k-1$ alakú prím kitevője páros.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Norma

A komplex számok abszolútértékének mintájára bevezetünk egy fogalmat, amit normának hívunk:

\( N(z) = \mid z \mid^2 = a^2 + b^2 \)

Ha $z_1$ és $z_2$ Gauss egészek, akkor

\( z_1 \mid z_2  \Rightarrow N(z_1) \mid N(z_2) \)

Az állítás megfordítása nem igaz:

\( N(z_1) \mid N(z_2) \not\Rightarrow z_1 \mid z_2 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Euklideszi gyűrű

Azokat a gyűrűket, amikben működik az Euklideszi algoritmus úgy hívjuk, hogy Euklideszi gyűrű.

Minden Euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű.

Euklideszi gyűrű például az egész számok gyűrűje, vagy éppen a Gauss egészek gyűrűje.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Test

Azokat a gyűrűket, melyeknek van additív inverze, és a 0-tól eltekintve minden elemének van multiplikatív inverze is, testnek nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Rendezési axiómák

A rendezés reláció négy fontos tulajdonságát rendezési axiómának nevezzük.

1. Trichotómia: Bármely $a$ és $b$ valós számra, az $a<b$, az $a=b$ és az $a>b$ állítások közül pontosan egy igaz.

2. Tranzitivitás: Bármely $a, b$ és $c$ valós számra, ha $a<b$ és $b<c$ akkor $a<c$.

3. Bármely $a, b$ és $c$ valós számra ha $a<b$ akkor $a+c<b+c$.

4. Bármely $a, b$ és $c>0$ valós számra, ha $a<b$ akkor $ac<bc$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Test axiómák

9 test-axióma van, ezek:

1. Az összeadás asszociatív

2. Az összeadás kommutatív

3. Létezik nullelem az összeadás műveletben

4. Minden elemnek van additív inverze

5. A szorzás asszociatív

6. A szorzás kommutatív

7. Létezik egységelem a szorzás műveletben

8. Minden elemnek van multiplikatív inverze, kivéve a nullelemet

9. Az összeadás és szorzás művelet disztributív

 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Arkhimédészi-axióma

Minden számnál van nagyobb természetes szám. Ezt az állítást Arkhimédészi-axiómaként szokás emlegetni.

\( \forall x \in R \quad \exists n \in N \quad n>x \)

Az Arkhimédészi-axióma átfogalmazható úgy is, hogy bármely $a$ és $b$ pozitív számokra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy $an>b$

Sőt, átfogalmazható így is:

Bármely $a$ és $b$ pozitív számokra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy $\frac{a}{b} > \frac{1}{n} $

Ez pedig azt jelenti, hogy bármely pozitív számra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy az $\frac{1}{n}$ kisebb ennél a számnál.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Cantor-axióma

A Cantor-axióma azt mondja, hogy egymásba skatulyázott zárt intervallumok végtelen sorozatának metszete nem üres.

Ha $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ és $b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_n$ akkor $\exists x \in R$

\( x \in \bigcap_{i=1}^{\infty} [a_i, b_i] \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Vegyünk egy szabályos hatszöget, és vegyük a középpontja körüli forgatásokat amelyek a hatszöget önmagába forgatják. Bizonyítsuk be, hogy ez egy csoportot alkot a forgatások egymás után elvgézése, mint műveletre.

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) Vegyük a mod12 maradékosztályokat az összeadás művelettel. Mennyi az egyes elemek rendje? Ciklikus-e a csoport?

b) Csoportot alkotnak-e a mod4 maradékosztályok a szorzás művelettel?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Csoportot alkotnak-e a mod4 maradékosztályok az összeadás művelettel?

b) A mod12 maradékosztályok gyűrűjében van-e nullosztó?

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Mit tudnak a (2x2)-es mátrixok, ha a művelet az összeadás és a szorzás?

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Van-e olyan ideál, ami nem főideál?

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

a) Igaz-e, hogy $5+4i | 7+22i$ ?

b) Mi a Gauss egészek gyűrűjében az egység?

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Készítsük el a mod5 maradékosztályok gyűrűjének műveleti táblázatait.

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

a) Rendezhető testet alkotnak-e a komplex számok?

b) Rendezhető testet alkotnak-e a mod5 maradékosztályok?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Csoport, félcsoport

Ciklikus csoportok, elem rendje

A gyűrű

Gyűrű, nullusztó, egységelemes gyűrű, integritási tartomány

Az ideál

Főideál, főideálgyűrű

A Gauss egészek gyűrűje

Euklideszi gyűrű, Főideálgyűrű

Algebrai testek

A valós számtest

Arkhimédészi-axióma

A Cantor-axióma

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim