Hogyha a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, ..., $\underline{b}_n$ vektorok a $V$ vektortérnek egy bázisa, akkor bármely $\underline{x} \in V$ vektor előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként.
\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n = \underline{x} \)
És most végre azt is megtudjuk a skaláris szorzat segítségével, hogy pontosan mik lesznek ezek a $\lambda_i$ együtthatók.
A trükk az lesz, hogy beszorozzuk az egyenletet a $\underline{b}_1$ bázisvektorral...
\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_1 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_1 = \underline{x} \cdot \underline{b}_1 \)
Aztán beszorozzuk a $\underline{b}_2$ bázisvektorral is.
\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_2+ \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_2 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_2= \underline{x} \cdot \underline{b}_2 \)
És így tovább az összesel.
\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_n + \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_n + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_n= \underline{x} \cdot \underline{b}_n \)
Az így keletkező $n$ darab egyenletet Gauss-féle normálegyenletnek nevezzük.
A Gauss-féle normálegyenletek segítségével vektorok helyett már csak skaláris szorzatokkal kell foglalkoznunk.
