Barion Pixel Gauss-féle normálegyenlet | mateking
 

Gauss-féle normálegyenlet

Hogyha a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, ..., $\underline{b}_n$ vektorok a $V$ vektortérnek egy bázisa, akkor bármely $\underline{x} \in V$ vektor előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként.

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n = \underline{x} \)

És most végre azt is megtudjuk a skaláris szorzat segítségével, hogy pontosan mik lesznek ezek a $\lambda_i$ együtthatók.

A trükk az lesz, hogy beszorozzuk az egyenletet a $\underline{b}_1$ bázisvektorral...

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_1 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_1 = \underline{x} \cdot \underline{b}_1 \)

Aztán beszorozzuk a $\underline{b}_2$ bázisvektorral is.

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_2+ \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_2 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_2= \underline{x} \cdot \underline{b}_2 \)

És így tovább az összesel.

\( \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 \cdot \underline{b}_n + \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 \cdot \underline{b}_n + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n \cdot \underline{b}_n= \underline{x} \cdot \underline{b}_n \)

Az így keletkező $n$ darab egyenletet Gauss-féle normálegyenletnek nevezzük.

A Gauss-féle normálegyenletek segítségével vektorok helyett már csak skaláris szorzatokkal kell foglalkoznunk.

1.

a) Itt egy ortogonális bázis:

\( \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_3 = \begin{pmatrix} 16 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Meg itt van ez a vektor:

\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Számoljuk ki a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, $\underline{b}_3$ bázis szerinti Fourier-együtthatókat.

b) Az ortonormált bázis:

\( \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} -1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_3 = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 1/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} \)

Itt ez a vektor:

\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \)

Számoljuk ki a Fourier-együtthatókat.