Hogyha a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, ..., $\underline{b}_n$ vektorok a $V$ vektortérben egy ortogonális bázis, és $\underline{x} \in V$ tetszőleges vektor, akkor az
\( \underline{x} = \lambda_1 \cdot \underline{b}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{b}_2 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{b}_n \)
lineáris kombináció együtthatói felírhatók skaláris szorzatok segítségével:
\( \lambda_1 = \frac{ \langle \underline{x} , \underline{b}_1 \rangle}{ \langle \underline{b}_1 , \underline{b}_1 \rangle} \)
\( \lambda_2 = \frac{ \langle \underline{x} , \underline{b}_2 \rangle}{ \langle \underline{b}_2 , \underline{b}_2 \rangle} \)
\( \vdots \)
\( \lambda_n = \frac{ \langle \underline{x} , \underline{b}_n \rangle}{ \langle \underline{b}_n , \underline{b}_n \rangle} \)
Ezeket az együtthatókat Fourier-együtthatóknak nevezzük.
Ha egy lineáris kombináció együtthatói felírhatóak skaláris szorzatok segítségével, akkor azok a Fourier-együtthatók.
a) Itt egy ortogonális bázis:
\( \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_3 = \begin{pmatrix} 16 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Meg itt van ez a vektor:
\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki a $\underline{b}_1$, $\underline{b}_2$, $\underline{b}_3$ bázis szerinti Fourier-együtthatókat.
b) Az ortonormált bázis:
\( \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} -1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}_3 = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 1/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} \)
Itt ez a vektor:
\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki a Fourier-együtthatókat.
