A régi bázis úgy alakítható át ortogonális bázissá, hogy szépen egymás után lecseréljük a régi bázisvektorokat új bázisvektorokra. Az átalakítást Gram-Schmidt ortogonalizációnak nevezzük.
Az új ortogonális bázis legyen $\underline{q}_1$, $\underline{q}_2$ és $\underline{q}_3$
Az új bázis első vektorát akárhogy választhatjuk, legyen ez mondjuk a régi bázisból $\underline{q}_1$
\( \underline{q}_1 = \underline{b}_1 \)
Aztán lássuk mi lesz az új bázis második vektora:
\( \underline{q}_2 = \underline{b}_2 - \lambda_{21} \cdot \underline{q} \qquad \lambda_{21}=\frac{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{b}_2 \rangle}{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{q}_1 \rangle} \)
Itt jön aztán az új bázis harmadik vektora:
\( \underline{q}_3 = \underline{b}_3 - \lambda_{31} \cdot \underline{q}_1 - \lambda_{32} \cdot \underline{q}_2 \qquad \lambda_{31}=\frac{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{b}_3 \rangle}{\langle \underline{q}_1 \,, \underline{q}_1 \rangle} \qquad \lambda_{32}=\frac{\langle \underline{q}_2 \,, \underline{b}_3 \rangle}{\langle \underline{q}_2 \,, \underline{q}_2 \rangle} \)
A régi bázis úgy alakítható át ortogonális bázissá, hogy szépen egymás után lecseréljük a régi bázisvektorokat új bázisvektorokra. Az átalakítást Gram-Schmidt ortogonalizációnak nevezzük.
Az alábbi bázist alakítsuk át ortogonális bázissá a Gram-Schmidt-ortogonalizáció segítségével.
\( \underline{b_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{b_2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b_3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
