Lineáris algebra epizód tartalma:
Azokat a vektorrendszereket, ahol a bázisvektorok egymásra merőlegesek ortogonális rendszernek nevezzük.
Annak érdekében, hogy kicsit mutatósabban nézzen ki, áttérünk a skaláris szorzatnak erre a kacsacsőrös jelölésére.
És most elkészítjük ezt a mátrixot.
Mindegyik vektort mindegyikkel összeszorozzuk.
Az eredményeket pedig beírjuk ide a mátrixba.
Mivel a skaláris szorzat kommutatív…
Ez egy szimmetrikus mátrix lesz.
Az így keletkező mátrixot Gram-mátrixnak nevezzük.
Itt jön aztán egy másik vektorrendszer is.
Ez a másik vektorrendszer egy ortogonális rendszer:
Bármely két vektort választjuk ki, a skaláris szorzatuk nulla, vagyis a vektorok egymásra merőlegesek.
Na persze, ha egy vektort önmagával szorozzuk meg…
az nem nulla.
Hogyha egy ortogonális vektorrendszer éppen annyi vektorból áll, amennyi koordinátája van a vektoroknak, akkor az a vektorrendszer bázis.
Most éppen 3 vektorunk van, és a koordináták száma is 3…
Így hát ez a vektorrendszer egy bázis.
Egy ortogonális bázis.
Az ortogonális bázisok Gram-mátrixa mindig diagonális mátrix.
Létezik egy vektor, ami minden vektorra merőleges.
Éppen itt is van.
Ez a vektor a nullvektor.
Ha egy ortogonális rendszerhez hozzávesszük a nullvektort, akkor szintén ortogonális rendszert kapunk.
Csak éppen ez már biztosan nem lesz bázis.
A nullvektor ugyanis elrontja.
Hogyha egy ortogonális rendszer minden vektora egységnyi hosszú, akkor azt ortonormált rendszernek nevezzük.
Ez most épp nem ortonormált rendszer, mert a vektorok hossza nem egységnyi.
A nullvektor hossza egészen biztosan nulla…
Így aztán egy ortonormált rendszerben semmiképp sem szerepelhet a nullvektor.
Pápá nullvektor.
A megmaradó vektorok még mindig nem egységnyi hosszúak…
Egy vektor hosszát, amit egyébként kettes normának nevezünk, a szokásos módon számoljuk ki.
A koordináták négyzetösszege a gyök alatt.
Az egyszerűség kedvéért ezt csak így fogjuk jelölni.
Egy bázisból könnyedén gyárthatunk ortonormált bázist.
Szépen egymás után kiszámoljuk a vektorok hosszát…
És aztán mindegyik vektort normáljuk.
Vagyis elosztjuk a saját hosszával.
Hát, ez megvolna.
Az ortonormált bázisok Gram-mátrixa mindig az egységmátrix.
Egy teljesen általános bázis Gram-mátrixa mindig egy szimmetrikus mátrix.
Egy pozitív definit szimmetrikus mátrix.
Hogyha egy vektorrendszer ortogonális bázis, akkor a Gram-mátrix diagonális mátrix.
És egy ortonormált bázis Gram-mátrixa az egységmátrix.
Ha a bázist elrontjuk…
Ezt a Gram-mátrix is azonnal jelzi.
Egy lineárisan összefüggő vektorrendszer Gram-mátrixa