Lineáris algebra epizód tartalma:
Már mutatjuk is hogyan működik a Gauss-Seidel iteráció. Azt is megnézzük, hogy mi az a lényeges különbség, amiben eltér a Jacobi iterációtól, sőt versenyeztetni is fogjuk az iterációkat, hogy kiderüljön melyik a jobb. Megnézzük lépésről lépésre néhány egyenletrendszer megoldását Gauss-Seidel iterációval, kiszámoljuk az iteráció B mátrixát, megnézzük a spektrálsugarát és a konvergencia feltételeit.
Itt jön egy újabb iterációs módszer egyenletrendszerek megoldására.
Ezt az iterációt Gauss-Seidel iterációnak nevezzük.
A módszer lényege, hogy amikor az iteráció során valamelyik változónak megkapjuk az új értékét, azt rögtön fel is használjuk, nem várunk vele a következő iterációs ciklusig.
Most is azzal kezdünk, hogy mindegyik egyenletből kifejezünk egy változót…
Aztán az egyenlőségek jobb oldalába behelyettesítünk egy kezdőértéket.
A kezdőérték bármi lehet. Mondjuk például nulla.
És x1 már meg is van.
A Gauss-Seidel iteráció lényege, hogy ezt az x1-et rögtön fel is használjuk.
Az x3-ra még nem jött ki semmi, így ide kénytelenek vagyunk nullát írni…
Ezzel megvan az új x2 is.
x3-at pedig már 100%-ban friss alapanyagokból készítjük el.
És itt is van az iterációs sorozat első tagja.
Lássuk, mi lesz a második tag.
Az iterációs sorozat általános tagja pedig ezzel a remek kis rekurzióval írható le.
Minél több tagot számolunk ki…
Annál közelebb kerülünk az egyenletrendszer megoldásához.
Ettől az új módszertől azt várjuk, hogy az iteráció valahogy gyorsabban fog konvergálni, mint korábban a Jacobi iteráció.
Mindjárt meglátjuk, hogy ez végül tényleg így lesz-e…
Az iteráció vektoros alakját most egy kicsit komplikáltabban kapjuk meg…
És egy kis átalakítás még jót tesz neki.
Sőt, nem is olyan kicsi…
És most lássuk, hogy tényleg gyorsabb-e a Gauss-Seidel, mint a Jacobi.
Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert mindkét módszerrel.
Így versenyeztetni tudjuk egymással ezeket a módszereket.
A megoldások egyébként ezek lesznek:
Az egyenletrendszer megoldása:
Ezt kéne megkapnunk az iterációkkal is.
Lássuk, valóban így lesz-e.
Megint azzal kezdjük, hogy kifejezzük a változókat…
Aztán elkezdjük az iterációt.
Jacobi iteráció
Gauss-Seidel iteráció
Ahogy egyre több tagját számoljuk ki az iterációs sorozatnak…
A Gauss-Seidel valóban gyorsabbnak tűnik.
Ha négy tizedesjegy pontossággal számolunk…
Akkor a hatodik tagnál a Gauss-Seidel már egészen lenyűgöző teljesítményt nyújt.
De ahogyan minden lenyűgöző teljesítménynél…
Most sem árt egy kicsit gyanakodni.
Itt van például ez a másik egyenletrendszer.
És nézzük, mi történik, ha elkezdjük megoldani a Jacobi és a Gauss-Seidel iterációval.
Az egyenletrendszer megoldása egyébként ez:
Már jönnek is az iterációk…
Most a Jacobi valahogy jobbnak tűnik...
Azért tűnik jobbnak, mert jobb is.
A Jacobi iteráció ugyanis konvergens.
A Gauss-Seidel pedig divergens.
Ha megnézzük az iterációk B mátrixait…
És kiszámoljuk a mátrixok sajátértékeit…
Akkor kiderül, hogy a spektrálsugár a Jacobinál 1-nél kisebb…
A Gauss-Seidelnél viszont 1-nél nagyobb.
A Gauss-Seidel iteráció tehát semmivel sem jobb, mint a Jacobi.
Vannak olyan esetek, amikor az egyik konvergál gyorsabban…
És vannak olyan esetek is, amikor a másik.
A konvergencia gyorsaságára pedig a B mátrixok spektrálsugarából tudunk következtetni.
A spektrálsugár kiszámítása mondjuk eléggé fárasztó feladat…
Ki kell hozzá számolni a mátrixok sajátértékeit, és az bizony nem túl kellemes.
Szerencsére vannak még más módszerek is annak eldöntésére, hogy az iteráció konvergens-e vagy sem.
Már jönnek is.