És most lássuk, milyen módszerekkel tudjuk eldönteni, hogy az iteráció konvergens-e vagy sem.

Azt már tudjuk, hogy az iterációk konvergenciája a B mátrixok spektrálsugarán múlik.

A legújabb kutatások szerint a spektrálsugarak kiszámolása nem szerepel a világ tíz legkedveltebb tevékenységének listáján…

Szerencsére itt jön most néhány újabb módszer amivel tisztázni lehet, hogy egy iteráció konvergens lesz-e.

Egy mátrixot szigorúan diagonálisan dominánsnak nevezünk, ha bármely sorában…
…a főátlóban lévő elem abszolútértéke nagyobb…
…mint a sorban szereplő összes többi elem abszolútértékének összege.

Ha az egyenletrendszer együtthatómátrixa szigorúan diagonálisan domináns, akkor a Jacobi és a Gauss-Seidel iterációk is bármely kezdővektor esetén az egyenletrendszer megoldásához konvergálnak.

Lássuk, mi a helyzet ezzel az egyenletrendszerrel.

Hát, ez a mátrix nem szigorúan diagonálisan domináns.

Hogyha viszont átrendezzük egy kicsit az egyenleteket…
Na, akkor már igen.

Az iteráció tehát biztosan konvergens lesz.

Ez a feltétel egy elégséges feltétel, ami azt jelenti, hogyha teljesül, akkor az iteráció egészen biztosan konvergens.

De ha nem, abból még nem következik, hogy divergens.

Ennek az egyenletrendszernek az együtthatómátrixa például nem szigorúan diagonálisan domináns.

A Jacobi iteráció viszont mégis konvergens.

Ezt onnan tudjuk, hogy ez az egyenletrendszer volt az előző epizód végén, és akkor még konvergens volt.

Ami pedig még érdekesebbé teszi a helyzetet, hogy a Gauss-Seidel iteráció viszont itt divergens.

Itt jön aztán egy újabb feltétel az iterációk konvergenciájára.

Ha az egyenletrendszer együtthatómátrixa szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor a Gauss-Seidel iteráció bármely kezdővektor esetén az egyenletrendszer megoldásához konvergál.

És most lássuk, mi a helyzet ezzel az egyenletrendszerrel.

Íme az együtthatómátrix…

Ez a mátrix nem szigorúan diagonálisan domináns…
És nem is szimmetrikus…
Sőt nem is pozitív definit.

Így hát az új módszereinkkel nem vagyunk képeseik eldönteni, hogy az iteráció konvergens lesz-e vagy sem.

Kénytelenek vagyunk kiszámolni a spektrálsugarat.

Nézzük meg például a Jacobi iteráció B mátrixát.

Kiszámoljuk a sajátértékeket…
Ennek a remek kis determinánsnak a segítségével.
Ezt az egyenletet hívjuk karakterisztikus egyenletnek.
És ennek az egyenletnek a megoldásai a sajátértékek.

A B mátrix spektrálsugara a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb:

A spektrálsugár 1-nél kisebb, így a Jacobi iteráció konvergens.

Hogyha tehát elkezdjük a Jacobi iterációt, akkor már elég hamar megkapjuk, hogy ennek az egyenletrendszernek a megoldása és .

Na persze fölmerül itt azért egy kérdés…

Mégis minek szenvedünk itt sajátértékekkel meg iterációkkal egy olyan egyenletrendszer megoldásán, ami még érettségi feladatnak is túl könnyű lenne…

A válasz az, hogy ezeket a módszereket olyan egyenletrendszerekre fejlesztették ki, ahol a változók száma akár több száz is lehet.

Ilyen nagy egyenletrendszereknél pedig a hagyományos módszerek műveletigénye nagyon nagy lehet.

Ráadásul a Gauss-elimináció vagy az elemi bázistranszformáció közben vétett kerekítési hibák szép lassan összeadódnak, így a végeredmény jelentősen eltérhet az egyenletrendszer valódi megoldásától.

Hogyha tehát egy olyan egyenletrendszert kell megoldanunk, amit az élet írt, és nem valamelyik matektanár, akkor szinte minden esetben iterációs módszereket használunk a megoldásukhoz.