Lineáris algebra epizód tartalma:
Ebben a mátrixban két független oszlopvektor van.
A harmadik oszlop ugyanis az első kettő összege…
A negyedik pedig a második kétszerese.
1 4 5 8
3 1 4 2
2 1 3 2
Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.
Most maximum két független oszlopvektor választható ki…
Így hát ennek a mátrixnak az oszloprangja kettő.
Független sorvektora persze lehetne akár három is…
De nincs.
Egy Gauss-Jordan eliminációval mindjárt az is kiderül, hogy miért nincs.
Mivel a harmadik sort ki tudtuk nullázni…
Ez azt jelenti, hogy az első két sornak a lineáris kombinációja.
Egy mátrix oszloprangja és sorrangja mindig megegyezik a vezéregyesek számával.
Most éppen két vezéregyes van, így ennek a mátrixnak az oszloprangja és a sorrangja is kettő.
Ezt hívjuk a mátrix rangjának, és a szokásos módon jelöljük:
Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Ez a mátrix nem teljes oszloprangú…
Az oszloprang ugyanis csak 2 és a mátrixnak négy oszlopa van.
Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Ez a mátrix nem is teljes sorragú…
A rang ugyanis még mindig 2, sor viszont három van.
Itt van aztán ez a másik mátrix. Számoljuk ki a rangját, és döntsük el, hogy teljes oszloprangú vagy teljes sorrangú-e.
Hát, túl nagy izgalmakra azért ne számítsunk.
Megint jön a Gauss-elimináció.
Három darab vezéregyes van, így hát a mátrix rangja 3.
Az oszlopok száma és a rang most ugyanannyi, mindkettő 3…
Ez a mátrix tehát teljes oszloprangú.
Sorokból viszont egy kicsit több van mint 3…
Tehát a mátrix nem teljes sorrangú.
A bázisfelbontás szemléletes jelentése egészen izgalmas...
Az eredeti A mátrix rangja most 2…
Tehát az oszlopvektorai közül két független vektort tudunk kiválasztani.
Mondjuk ezt a kettőt itt.
Ez a két vektor az A mátrix oszlop-vektorterének egy bázisa.
A bázisfelbontásban szereplő második mátrix azt írja le…
Hogy a két bázisvektor miként állatja elő az eredeti mátrix oszlopvektorait.
Ez a második mátrix tehát az eredeti A mátrix oszlopvektorainak a koordinátáit adja meg a bázisban.
Számoljuk ki az A mátrix rangját, keressük meg az oszlopvektorainak egy bázisát, és adjuk meg ebben a bázisban az A mátrix oszlopvektorainak koordinátáit.