Mátrix rangja, oszloprang, sorrang | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Megnézzük, hogyan kell kiszámolni egy mátrix rangját, kiderül, hogy mi az oszloprang és a sorrang, milyen kapcsolat van az oszloprang a sorrang és a mátrix rangja között. Azt is megnézzük, hogy mik azok a teljes oszloprangú és teljes sorrangú mátrixok és kiszámoljuk néhány mátrix rangját.

A képsor tartalma

Ebben a mátrixban két független oszlopvektor van.

A harmadik oszlop ugyanis az első kettő összege…

A negyedik pedig a második kétszerese.

1 4 5 8
3 1 4 2
2 1 3 2

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Most maximum két független oszlopvektor választható ki…

Így hát ennek a mátrixnak az oszloprangja kettő.

Független sorvektora persze lehetne akár három is…

De nincs.

Egy Gauss-Jordan eliminációval mindjárt az is kiderül, hogy miért nincs.


Mivel a harmadik sort ki tudtuk nullázni…
Ez azt jelenti, hogy az első két sornak a lineáris kombinációja.

Egy mátrix oszloprangja és sorrangja mindig megegyezik a vezéregyesek számával.

Most éppen két vezéregyes van, így ennek a mátrixnak az oszloprangja és a sorrangja is kettő.

Ezt hívjuk a mátrix rangjának, és a szokásos módon jelöljük:


Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Ez a mátrix nem teljes oszloprangú…

Az oszloprang ugyanis csak 2 és a mátrixnak négy oszlopa van.


Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Ez a mátrix nem is teljes sorragú…
A rang ugyanis még mindig 2, sor viszont három van.

Itt van aztán ez a másik mátrix. Számoljuk ki a rangját, és döntsük el, hogy teljes oszloprangú vagy teljes sorrangú-e.

Hát, túl nagy izgalmakra azért ne számítsunk.
Megint jön a Gauss-elimináció.

Három darab vezéregyes van, így hát a mátrix rangja 3.

Az oszlopok száma és a rang most ugyanannyi, mindkettő 3…
Ez a mátrix tehát teljes oszloprangú.

Sorokból viszont egy kicsit több van mint 3…
Tehát a mátrix nem teljes sorrangú.

A bázisfelbontás szemléletes jelentése egészen izgalmas...
Az eredeti A mátrix rangja most 2…
Tehát az oszlopvektorai közül két független vektort tudunk kiválasztani.
Mondjuk ezt a kettőt itt.

Ez a két vektor az A mátrix oszlop-vektorterének egy bázisa.

A bázisfelbontásban szereplő második mátrix azt írja le…
Hogy a két bázisvektor miként állatja elő az eredeti mátrix oszlopvektorait.

Ez a második mátrix tehát az eredeti A mátrix oszlopvektorainak a koordinátáit adja meg a bázisban.

Számoljuk ki az A mátrix rangját, keressük meg az oszlopvektorainak egy bázisát, és adjuk meg ebben a bázisban az A mátrix oszlopvektorainak koordinátáit.


Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Nem találsz külön tanárt? Ne is keress! Irány a mateking!!!!

    Bori, 19
  • Nagyon jó árba van, valamint jobb és érthetőbb, mint sok külön matek tanár.

    Márk, 22
  • Felsőbb éves egyetemisták ajánlották, "kötelező" címszóval.
    Ricsi, 19
  • Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz.

    Gábor, 18
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez