Lineáris algebra epizód tartalma:
Itt gyorsan és egyszerűen elmeséljük, hogyan néz ki egy tengelyes tükrözés mátrixa. Megnézzük, mi van akkor, ha a koordinátatengelyekre tükrözünk, aztán az is kiderül, hogyan lehet előállítani egy ferde tengelyre tükrözés mátrixát is.
Van egy leképezés, amit már réges-régóta ismerünk, mert minden általános iskolában tanítják.
Ez a leképezés a tengelyes tükrözés.
Na persze a tükrözés mátrixát már nem tanítják az általános iskolában…
Az x tengelyre tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy vesszük a bázisvektorok képeit…
És ezeket szépen egymás mellé írjuk egy mátrixba.
Ez a mátrix azt is elárulja, hogy mi lesz egy vektor képe a tükrözés hatására.
Van itt például ez a vektor…
És a tükörképének a koordinátáit úgy kapjuk meg…
hogy a tükrözés mátrixát megszorozzuk a vektorral.
Az y tengelyre tükrözés mátrixa hasonló módon keletkezik…
Itt vannak a bázisvektorok…
És megnézzük, hogy melyikkel mi fog történni.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, hogyha valamilyen ferde tengelyre tükrözünk.
Nézzük meg például ezt…
Amikor az tengelyre tükrözünk, az x és y koordináták helyet cserélnek…
Lássuk, mi történik ezzel a vektorral:
A tükörképét most is úgy kapjuk, hogy megszorozzuk szépen a tükrözés mátrixával…
És íme a tükörkép.
A koordináták itt is szépen fölcserélődtek.
De mi van akkor, ha az egyenesre tükrözünk?
Ez már sokkal izgalmasabb és ránézésre nem is lehet úgy kitalálni, mint az eddigieket.
Azzal kezdjük, hogy kiderítjük mi lehet ennek az egyenesnek a normálvektora.
Most, hogy ez megvan, itt jön egy kis geometriai bűvészkedés.
Kiszámoljuk a vektornak az vektorra eső merőleges vetületét…
egy skaláris szorzat segítségével.
Meg is van.
A dolog olyankor is működik, ha a vektorok szöge egy kicsit nagyobb…
Csak ilyenkor bejön ide ez a mínuszjel.
Hogyha szeretnénk tükrözni a vektort az egyenletű egyenesre…
Akkor egyszerűen csak fogjuk ezt az vektort…
Elosztjuk a saját hosszával, hogy egységnyi hosszú legyen…
Aztán pedig beszorozzuk q-val.
Pontosabban inkább a kétszeresével.
Hogyha ezt a vektort most hozzáadjuk az eredeti -hez…
Akkor meg is kapjuk a tükörképét.
Kizárólag esztétikai okokból ezt még átírjuk így…
Végül kiemeljük a vektort.
Hát igen, hogyha -t sajátmagából emeljük ki, az az egységmátrix lesz…
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Az origón átmenő a normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa:
Hogyha már ennyit szenvedtünk vele, akkor próbáljuk is ki.
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Ezt a mátrixot csak úgy ránézésre már valóban nem találtuk volna ki…
És most lássuk, mi történik ezzel a vektorral, ha tükrözzük az egyenesre.
Már jön is: