Forgatás síkban és térben | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is a síkbeli forgatások mátrixát. Megnézzük a 90 fokos, a 180 fokos és a tetszőleges szögű forgatás mátrixát. Az is kiderül, hogyan működik a forgatás térben. Megnézzük az x tengely körüli forgatás mátrixát, aztán az y és a z tengelyek körüli forgatás mátrixát is, végül a dolgot még jobban általánosítjuk.

A képsor tartalma

Van itt ez a 90o-os forgatás…
Aminek a mátrixát a szokásos módon kapjuk meg.
Vesszük az egyik bázisvektort…
és megnézzük, hogy a forgatás hatására mi lesz belőle.
Aztán vesszük a másikat is…


És meg is van a forgatás mátrixa.
Ha nem 90 fokkal, hanem 180 fokkal forgatunk…
Azt úgy hívjuk, hogy középpontos tükrözés.

A középpontos tükrözés mátrixa:


Ez a mátrix éppen az egységmátrix mínuszegyszerese.

A középpontos tükrözés úgy működik, hogy minden vektornak…
…elkészíti az ellentettjét.


És most nézzük, hogyan néz ki a forgatás mátrixa tetszőleges szögre.

is működik.

Hogyha az első bázisvektort elforgatjuk szöggel…
Akkor a koordinátái…

Hát, igen, az irányszögű egységvektor első koordinátája a koszinusz…

A második pedig a szinusz.

Eddig jó.


A második bázisvektor már izgalmasabb…


És végre kiderül, hogy ez a rengeteg trigonometrikus azonosság…
Még jó is valamire.

Meg is van az

Íme, az szögű forgatás mátrixa.

Most pedig nézzük, hogyan működik mindez térben.


Az origó körüli forgatás térbeli megfelelője egy tengely körüli forgatás lesz.

Hogyha például az x tengely körül forgatunk, akkor a forgatás a másik két koordinátatengely síkjában történik.

Az x, y és z tengelyek körüli forgatások mátrixai:

A forgatások mindhárom esetben egy síkban történnek.


A három tengely közül mindig az egyik tengely az, ami körül forgatunk…
és mindig a másik két tengely által kifeszített síkban.

Ezeket a koordinátasíkokban történő forgatásokat Givens forgatásnak nevezzük.

A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha mindezt a négydimenziós térben csináljuk…


Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Olyan weboldal, ami még egy vak lovat is megtanítana integrálni.

    Petra, 26
  • Otthonról elérhető és olcsóbb, mint egy magántanár és akkor használom, amikor akarom.

    Milán, 19
  • Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.

    Tibor, 23
  • Zseniális bármilyen matek ismeret elsajátításához.

    Ákos, 19
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez