Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is, hogy mik azok a Givens-forgatások. Megnézzük a Givens-forgatások mátrixait, és az is kiderül, hogy mire jók ezek a forgatások valójában. Nézünk néhány példát is Givens-foratásra, és előállítunk olyan Givens-forgatást, amely egy vektort egy másik vektorba forgat.

A képsor tartalma


Az x és y tengelyek síkjában történő szögű forgatás mátrixát már ismerjük.

Éppen itt is van:

Hogyha van egy harmadik koordinátatengely is…
Az mindegy, a harmadik koordinátával a forgatás nem csinál semmit.


Sőt, tulajdonképpen lehet akárhány koordináta…


Egy négydimenziós térben az első két koordinátatengely síkjában történő forgatás mátrixa így néz ki:

És lehet akár ötödik vagy hatodik dimenzió is.

A forgatást pedig bármely két koordinátatengely síkjában végezhetjük…

Ha például a második és a harmadik tengely síkjában forgatunk…
Akkor a mátrix ilyen lesz:

Hogyha pedig a második és a negyedik tengely síkjában…
akkor ilyen.

Ezeket a forgatásokat, amelyeket két tetszőlegesen választott koordinátatengely síkjában végzünk Givens forgatásnak nevezzük.

Givens egyébként egy ember volt…

A Givens forgatások mátrixa tulajdonképpen egy egységmátrix
Egykét apró módosítással.

Az i és j koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk…
Hogy arra a négy helyre, ahol az egységmátrix i-edik és j-edik sora és oszlopa metszi egymást…
Beírjuk szépen az alfa szögű forgatás mátrixának elemeit.

A Givens forgatásokat arra fogjuk használni, hogy mátrixok bizonyos elemeit kinullázzuk vele.

És hirtelen valamilyen különös vágyat érzünk arra, hogy ez az elem itt nulla legyen.


A Givens forgatásokkal mindez lehetséges…

Az első két koordinátatengely síkjában fogunk forgatni.

Ez pedig itt a forgatás mátrixa:


Egy olyan forgatás kéne, ami ezt a vektort…
szépen elforgatja az x tengely vonalába…

A forgatás szöge .

De van itt még egy kis gond.

A forgatás iránya.

Nekünk éppen az ellenkező irány kéne.

Mondjuk, ezen könnyen lehet segíteni…

Az szöget kicseréljük az ellentettjére, és a forgatás iránya máris megváltozik.


Végül vannak itt ezek az azonosságok…

Az teljesen mindegy, hogy mekkora az szög…
Berakjuk szépen ezeket ide a mátrixba.
És meg is vagyunk.


Hogyha ezt a mátrixot megszorozzuk az A mátrixszal…
Akkor minden álmunk valóra válik.

Ezzel a módszerrel tovább tudjuk folytatni a kinullázást, és az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.

Bizonyos mátrixok esetében ez az eljárás a leghatékonyabb különböző mátrixfelbontások végrehajtásához.

 

A Givens-forgatások és mátrixaik

03
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Már mutatjuk is, hogy mik azok a Givens-forgatások. Megnézzük a Givens-forgatások mátrixait, és az is kiderül, hogy mire jók ezek a forgatások valójában. Nézünk néhány példát is Givens-foratásra, és előállítunk olyan Givens-forgatást, amely egy vektort egy másik vektorba forgat.

Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?
Ugrás az
összeshez