Lineáris algebra epizód tartalma:
Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a Householder-tükrözések. Mi az a Householder-mátrix és mire jó mindez valójában. Megnézzük a koordinátasíkokra tükrözések mátrixait, a ferde síkokra tükrözés mátrixait és megoldunk néhány tükrözéses feladatot.
A tengelyes tükrözés térbeli megfelelője a síkra tükrözés.
Hát igen, itt már valódi házakat tükrözünk…
Nézzük meg például az x és y tengelyek által kifeszített síkra tükrözés mátrixát.
Itt vannak a bázisvektorok.
És a tükrözés hatására…
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Ezt még nem volt nehéz kitalálni.
Egy fokkal izgalmasabb kérdés, hogy mi lehet az síkra tükrözés mátrixa.
Ehhez már kicsivel jobb térlátásra van szükség.
A z tengely benne van a síkban…
Így aztán a tükrözés a z tengelyen lévő vektorokkal nem csinál semmit.
Az x és y tengelyt pedig a tükrözés fölcseréli.
És íme, itt a tükrözés mátrixa.
De mi történik akkor, ha egy ferde síkra tükrözünk?
Mondjuk erre a síkra itt:
A síkbeli esetben volt már erre egy kis képletünk…
Éppen itt is van:
Ez volt az origón átmenő normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa a síkban.
Térben minden pontosan ugyanígy fog történni.
Hogyha egy origón átmenő sík normálvektora az vektor…
…akkor az erre a síkra tükrözés mátrixa:
Ezeket a tükrözéseket Householder-tükrözésnek nevezzük.
És most lássuk a tükrözés mátrixát.
Ehhez mindössze a sík normálvektorára van szükség.
Meg egy kis számolásra…
Az origón átmenő normálvektorú síkra történő tükrözés mátrixa:
Householder tükrözés:
Meg is van.
A Householder-tükrözéseket arra tudjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.
Mindjárt meg is látjuk, hogy mindezt hogyan.
Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.
Na, ilyen tükrözés nem lesz, a két vektor ugyanis nem egyforma hosszú…
Ahhoz, hogy a Householder-tükrözéssel egy vektort egy másik vektorba tudjunk transzformálni az kell, hogy a két vektor hossza egyforma legyen.
Hát jó…
Vannak itt ezek az egyforma hosszú vektorok.
Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.
Elkészítjük ezt a vektort:
Ez lesz a tükröző sík normálvektora…
És most jöhet a Householder-mátrix:
Íme, a Householder-mátrix:
Hogyha tükrözzük vele az vektort…
Akkor tényleg a vektort kapjuk.
Ha pedig a vektort tükrözzük…
Akkor az vektor jön ki.