A Householder-tükrözés és a Householder-mátrix | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a Householder-tükrözések. Mi az a Householder-mátrix és mire jó mindez valójában. Megnézzük a koordinátasíkokra tükrözések mátrixait, a ferde síkokra tükrözés mátrixait és megoldunk néhány tükrözéses feladatot.

A képsor tartalma

A tengelyes tükrözés térbeli megfelelője a síkra tükrözés.
Hát igen, itt már valódi házakat tükrözünk…

Nézzük meg például az x és y tengelyek által kifeszített síkra tükrözés mátrixát.

Itt vannak a bázisvektorok.
És a tükrözés hatására…

Meg is van a tükrözés mátrixa.

Ezt még nem volt nehéz kitalálni.

Egy fokkal izgalmasabb kérdés, hogy mi lehet az síkra tükrözés mátrixa.

Ehhez már kicsivel jobb térlátásra van szükség.

A z tengely benne van a síkban…
Így aztán a tükrözés a z tengelyen lévő vektorokkal nem csinál semmit.

Az x és y tengelyt pedig a tükrözés fölcseréli.

És íme, itt a tükrözés mátrixa.

De mi történik akkor, ha egy ferde síkra tükrözünk?
Mondjuk erre a síkra itt:

A síkbeli esetben volt már erre egy kis képletünk…
Éppen itt is van:

Ez volt az origón átmenő normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa a síkban.

Térben minden pontosan ugyanígy fog történni.

Hogyha egy origón átmenő sík normálvektora az vektor…
…akkor az erre a síkra tükrözés mátrixa:

Ezeket a tükrözéseket Householder-tükrözésnek nevezzük.

És most lássuk a tükrözés mátrixát.

Ehhez mindössze a sík normálvektorára van szükség.

Meg egy kis számolásra…

Az origón átmenő normálvektorú síkra történő tükrözés mátrixa:

Householder tükrözés:

Meg is van.


A Householder-tükrözéseket arra tudjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.

Mindjárt meg is látjuk, hogy mindezt hogyan.

Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.

Na, ilyen tükrözés nem lesz, a két vektor ugyanis nem egyforma hosszú…


Ahhoz, hogy a Householder-tükrözéssel egy vektort egy másik vektorba tudjunk transzformálni az kell, hogy a két vektor hossza egyforma legyen.

Hát jó…


Vannak itt ezek az egyforma hosszú vektorok.


Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.


Elkészítjük ezt a vektort:

Ez lesz a tükröző sík normálvektora…

És most jöhet a Householder-mátrix:





Íme, a Householder-mátrix:

Hogyha tükrözzük vele az vektort…
Akkor tényleg a vektort kapjuk.


Ha pedig a vektort tükrözzük…
Akkor az vektor jön ki.

Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Nagyon jó árba van, valamint jobb és érthetőbb, mint sok külön matek tanár.

    Márk, 22
  • Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.

    Tibor, 23
  • Zseniális bármilyen matek ismeret elsajátításához.

    Ákos, 19
  • Jó árban van és hihetetlenül világos a magyarázat és annyiszor lehet visszatérni az egyes lépésekre, ahányszor arra csak szükség van a megértéshez.

    Lili, 22
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez