Lineáris algebra epizód tartalma:
Már mutatjuk is hogyan lehet a Householder-tükrözések segítségével mátrixokat felső háromszögmátrixszá alakítani. Megnézzük a hipersíkra tükrözés Householder-mátrixát és az is kiderül, hogyan állítunk elő olyan Householder-tükrözést, ami egy konkrét vektort egy másikba transzformál.
A szokásos háromdimenziós térben az origón átmenő normálvektorú síkra tükrözés mátrixa egy Householder-mátrix.
Éppen itt is van:
A dolog tovább általánosítható négydimenziós, sőt n dimenziós térre.
Az normálvektorú hipersíkra tükrözés mátrixa is egy pontosan ugyanilyen Householder-mátrix lesz.
Az normálvektorú hipersíkra tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük. A tükrözés mátrixa:
A Householder-tükrözéseket arra fogjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.
Hogyha és különböző vektorok, és teljesül rájuk, hogy akkor létezik olyan Householder-tükrözés, ami az vektort a vektorba transzformálja.
ahol
Itt van például ez a mátrix.
És hirtelen leküzdhetetlen vágyat kezdünk érezni, hogy ezeket az elemeit kinullázzuk.
A Householder-tükrözés valóra váltja álmainkat.
Legalábbis az ilyen jellegűeket…
Vesszük ezt a vektort:
És szépen áttranszformáljuk ebbe a másikba.
Az első koordináta valami x, ez mindegy mennyi, a másik kettő pedig nulla, ahogyan ennek lennie kell.
Egyedül arra vigyázzunk, hogy a két vektor azonos hosszú legyen.
És most elkészítjük a Householder mátrixot.
Hogyha ezt beszorozzuk az eredeti A mátrixszal…
Akkor meg is van a kinullázás.
Egy újabb Householder-tükrözéssel pedig…
Itt is nullát tudunk gyártani.
Ezzel a módszerrel az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.
Ez pedig éppen jól jön akkor, ha szeretnénk egy trópusi szigeten tölteni a vakációt…
Ja, ahhoz mondjuk pont nem. Egyenletrendszerek megoldáshoz viszont igen.