Felső háromszögmátrixszá alakítás Householder-tükrözéssel | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is hogyan lehet a Householder-tükrözések segítségével mátrixokat felső háromszögmátrixszá alakítani. Megnézzük a hipersíkra tükrözés Householder-mátrixát és az is kiderül, hogyan állítunk elő olyan Householder-tükrözést, ami egy konkrét vektort egy másikba transzformál.

A képsor tartalma

A szokásos háromdimenziós térben az origón átmenő normálvektorú síkra tükrözés mátrixa egy Householder-mátrix.

Éppen itt is van:

A dolog tovább általánosítható négydimenziós, sőt n dimenziós térre.

Az normálvektorú hipersíkra tükrözés mátrixa is egy pontosan ugyanilyen Householder-mátrix lesz.


Az normálvektorú hipersíkra tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük. A tükrözés mátrixa:

A Householder-tükrözéseket arra fogjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.

Hogyha és különböző vektorok, és teljesül rájuk, hogy akkor létezik olyan Householder-tükrözés, ami az vektort a vektorba transzformálja.

ahol

Itt van például ez a mátrix.


És hirtelen leküzdhetetlen vágyat kezdünk érezni, hogy ezeket az elemeit kinullázzuk.
A Householder-tükrözés valóra váltja álmainkat.

Legalábbis az ilyen jellegűeket…

Vesszük ezt a vektort:

És szépen áttranszformáljuk ebbe a másikba.

Az első koordináta valami x, ez mindegy mennyi, a másik kettő pedig nulla, ahogyan ennek lennie kell.


Egyedül arra vigyázzunk, hogy a két vektor azonos hosszú legyen.


És most elkészítjük a Householder mátrixot.



Hogyha ezt beszorozzuk az eredeti A mátrixszal…

Akkor meg is van a kinullázás.

Egy újabb Householder-tükrözéssel pedig…
Itt is nullát tudunk gyártani.

Ezzel a módszerrel az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.

Ez pedig éppen jól jön akkor, ha szeretnénk egy trópusi szigeten tölteni a vakációt…

Ja, ahhoz mondjuk pont nem. Egyenletrendszerek megoldáshoz viszont igen.


Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • A mateking miatt sikerült az érettségi és az összes egyetemi matekos tárgyam.

    Míra, 21
  • Nagyon jó árba van, valamint jobb és érthetőbb, mint sok külön matek tanár.

    Márk, 22
  • Otthonról elérhető és olcsóbb, mint egy magántanár és akkor használom, amikor akarom.

    Milán, 19
  • Zseniális bármilyen matek ismeret elsajátításához.

    Ákos, 19
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez