A LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK VEKTORTERE: HOM (V1,V2)

A lineáris leképezést másnéven homomorfizmusnak is nevezzük.

Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak,

ezt a vektorteret -nek nevezzük.

Injektívnek nevezzük azokat a homomorfizmusokat, ahol különböző vektorok képe is különböző:

Ha akkor

Ha tudunk mutatni olyan vektorokat amire

akkor a homomorfizmus nem injektív.

Lássuk milyen következményei vannak ennek.

Nevezzük el mondjuk valami -nek.

Viszont ugye

Tehát ami azt jelenti, hogy benne van a magtérben.

Vagyis az, hogy egy leképezés nem injektív, éppen azt jelenti, hogy -ben vannak a nullvektoron kívül más vektorok is, tehát

Az állítás megfordítása is igaz, ha akkor a magtérben kell, hogy legyen

a nullvektoron kívül valamilyen más vektor is,

aminek a képe viszont , mert ugye benne van a magtérben.

Vagyis két különböző vektor képe ugyanaz és így a leképezés nem injektív.

A homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha

Ekkor a dimenziótétel alapján vagyis a leképezés dimenziótartó.

A sík szokásos transzformációi közül az x vagy y tengelyre tükrözés és az origó körüli forgatás dimenziótartó transzformáció, az x tengelyre vetítés nem.

Van aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.

Egy leképezést szürjektívnek nevezünk, ha a teljes előáll képként.

Azok a homomorfizmusok, amelyek injektívek és szürjektívek is egyszerre,

a bijektív homomorfizmusok.

Ezekre külön elnevezés van forgalomban, őket nevezzük izomorfizmusoknak.

Ha izomorfizmus, akkor és a dimenziótétel miatt

Ráadásul a képtér éppen megegyezik -vel, ezért .

Ha izomorfizmus, akkor .

Az izomorfizmus tehát egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés két vektortér vektorai között, az egyik vektortér minden vektorához tartozik a másik vektortérben pontosan egy bizonyos vektor, vagyis a két vektortér lényegében ugyanaz.

Ez a miatt is így kell, hogy legyen, hiszen egy vektorteret a dimenziója már jellemez.