Lineáris algebra epizód tartalma:
Már nézzük is, hogy mi az a pszeudoinverz és hogyan kell kiszámolni. Nem invertálható mátrixoknál az egyenletrendszerek optimális megoldásának segítségével különböző pszeudoinverzeket definiálhatunk. Ezek közül egy speciális a Moore-Penrose-féle pszeudoinverz. Megnézzük, hogy teljes sorrangú és teljes oszloprangú mátrixnak hogyan lehet kiszámolni a Moore-Penrose pszeudoinverzét, és az is kiderül, hogy mik azok a Moore-Penrose kritériumok.
Próbáljuk meg kiszámolni ennek a mátrixnak az inverzét.
Azért túl sok jóra ne számítsunk…
Ennek a mátrixnak biztos, hogy nincs inverze.
A gondot az okozza, hogy mátrix oszlopvektorai lineárisan összefüggők.
Na meg a sorvektorai is.
Hogyha erről a sok rossz hírről mind nem veszünk tudomást, és mégis elkezdjük kiszámolni a mátrix inverzét…
Akkor meg kell oldanunk három egyenletrendszert.
Három darab Gauss-eliminációval.
Amit csinálhatunk akár egyszerre is.
Itt sajnos elérkezünk ahhoz a ponthoz, amikor kiderül: az egyenletrendszer nem megoldható.
Ez egy ellentmondásos egyenletrendszer.
Mondjuk éppen az ilyen esetekre van ez az új módszerünk…
Megpróbáljuk valahogyan mégis megoldani a Gauss-féle normálegyenlet segítségével.
Megint jön a Gauss-elimináció…
Az első oszlop meg is van.
Hasonló izgalmak után kapjuk meg a másik két oszlopot is…
Ez a rengeteg szabad paraméter pedig bármi lehet…
De azért inkább legyen nulla.
Készen is vagyunk.
Ez ugyan nem olyan jó, mint egy valódi inverz…
De a semminél jobb.
Ahogy végignéztük itt a B mátrix keletkezésének történetét, nagyon nem kell meglepődnünk azon, hogy végtelen sok ilyen B mátrix létezik.
Van azonban közülük egyetlen egy, amely képes megfelelni négy darab kritériumnak.
Azt a mátrixot az A mátrix Moore-Penrose-féle pszeudoinverzének nevezzük.
Ez nem az…
Az A mátrix Moore-Penrose-féle pszeudoinverze egy olyan A+ mátrix, amely ezt a négy dolgot tudja:
És most lássuk, hogyan lehet ezt a pszeudoinverzet előállítani.
Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Ez a mátrix itt, például teljes oszloprangú.
Egy mátrix teljes sorrangú, ha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Hát erről a mátrixról ez most nem mondható el…
Erről a másikról viszont…
Na, erről igen.
Ha az A mátrix teljes oszloprangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:
Ha az A mátrix teljes sorrangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:
És aztán itt van nekünk ez a mátrix.
Erre egyik eset sem illik rá.
Úgyhogy egy kis cselre van szükség.