Moore-Penrose pszeudoinverz | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már nézzük is, hogy mi az a pszeudoinverz és hogyan kell kiszámolni. Nem invertálható mátrixoknál az egyenletrendszerek optimális megoldásának segítségével különböző pszeudoinverzeket definiálhatunk. Ezek közül egy speciális a Moore-Penrose-féle pszeudoinverz. Megnézzük, hogy teljes sorrangú és teljes oszloprangú mátrixnak hogyan lehet kiszámolni a Moore-Penrose pszeudoinverzét, és az is kiderül, hogy mik azok a Moore-Penrose kritériumok.

A képsor tartalma

Próbáljuk meg kiszámolni ennek a mátrixnak az inverzét.

Azért túl sok jóra ne számítsunk…

Ennek a mátrixnak biztos, hogy nincs inverze.

A gondot az okozza, hogy mátrix oszlopvektorai lineárisan összefüggők.
Na meg a sorvektorai is.

Hogyha erről a sok rossz hírről mind nem veszünk tudomást, és mégis elkezdjük kiszámolni a mátrix inverzét…


Akkor meg kell oldanunk három egyenletrendszert.

Három darab Gauss-eliminációval.
Amit csinálhatunk akár egyszerre is.

Itt sajnos elérkezünk ahhoz a ponthoz, amikor kiderül: az egyenletrendszer nem megoldható.

Ez egy ellentmondásos egyenletrendszer.

Mondjuk éppen az ilyen esetekre van ez az új módszerünk…


Megpróbáljuk valahogyan mégis megoldani a Gauss-féle normálegyenlet segítségével.



Megint jön a Gauss-elimináció…


Az első oszlop meg is van.
Hasonló izgalmak után kapjuk meg a másik két oszlopot is…

Ez a rengeteg szabad paraméter pedig bármi lehet…

De azért inkább legyen nulla.

Készen is vagyunk.

Ez ugyan nem olyan jó, mint egy valódi inverz…
De a semminél jobb.

Ahogy végignéztük itt a B mátrix keletkezésének történetét, nagyon nem kell meglepődnünk azon, hogy végtelen sok ilyen B mátrix létezik.

Van azonban közülük egyetlen egy, amely képes megfelelni négy darab kritériumnak.

Azt a mátrixot az A mátrix Moore-Penrose-féle pszeudoinverzének nevezzük.

Ez nem az…

Az A mátrix Moore-Penrose-féle pszeudoinverze egy olyan A+ mátrix, amely ezt a négy dolgot tudja:

És most lássuk, hogyan lehet ezt a pszeudoinverzet előállítani.

Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Ez a mátrix itt, például teljes oszloprangú.

Egy mátrix teljes sorrangú, ha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Hát erről a mátrixról ez most nem mondható el…

Erről a másikról viszont…


Na, erről igen.

Ha az A mátrix teljes oszloprangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:

Ha az A mátrix teljes sorrangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:

És aztán itt van nekünk ez a mátrix.
Erre egyik eset sem illik rá.

Úgyhogy egy kis cselre van szükség.

Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz.

    Gábor, 18
  • Olyan weboldal, ami még egy vak lovat is megtanítana integrálni.

    Petra, 26
  • Ez a legjobban áttekinthető, értelmezhető, használható és a legolcsóbb tanulási lehetőség.

    Eszter, 23
  • Felsőbb éves egyetemisták ajánlották, "kötelező" címszóval.
    Ricsi, 19
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez