Lineáris algebra epizód tartalma:
Már nézzük is, hogyan kell a Moore-Penrose pszeudoinverzt kiszámolni általános mátrixra. Egy teljes sorrangú és egy teljes oszloprangú mátrixnak is kiszámoljuk a Moore-Penrose pszeudoinverzét, aztán pedig az is kiderül, hogy mit lehet tenni olyankor, ha a mátrix nem teljes sorrangú és nem is teljes oszloprangú. Elkészítjük a bázisfelbontást és komponensenként számoljuk a pszeudoinverzt.
Ha egy mátrix nem invertálható, azért még nincs minden veszve…
Ilyenkor is létezik valami, ami olyasmi, mint az inverz: ezt hívjuk pszeudoinverznek.
Pszeudoinverzből sokféle van…
De csak egy olyan van közülük, amelyik teljesíti a négy darab Moore-Penrose kritériumot.
Ezt hívjuk Moore-Penrose pszeudoinverznek.
Ha az A mátrix teljes oszloprangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:
Ha az A mátrix teljes sorrangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:
Próbáljuk is ki ezeket a képleteket.
Itt van például ez a mátrix. Számoljuk ki a Moore-Penrose-féle pszeudoinverzét.
Ebben a mátrixban a két sorvektor lineárisan független.
Így hát ez egy teljes sorrangú mátrix.
És meg is van a Moore-Penrose-féle pszeudoinverz.
Van itt még egy dolog, amire a Moore-Penrose pszeudoinverz használható.
Itt ez az egyenletrendszer…
Aminek sajnos nincsen megoldása.
Túl sok ugyanis benne az egyenlet, és az egyenletrendszer ellentmondásos.
Az ilyen ellentmondásos egyenletrendszerekre már volt egy megoldási módszerünk, a Gauss-féle normálegyenlet segítségével.
Most ugyanazt a megoldást kapjuk a Moore-Penrose inverzzel is.
Olyankor, amikor az A mátrixnak létezik valódi inverze, az egyenletrendszer biztosan megoldható.
A pszeudoinverzzel pedig ez mindig működik.
Hiszen pszeudoinverze minden mátrixnak van.
Nem kell mást tennünk, mint kiszámolni az együtthatómátrix Moore-Penrose-féle pszeudoinverzét…
És az egyenletrendszer megoldása:
A Gauss-féle normálegyenlettel pontosan ugyanezt a megoldást kaptuk volna.
Végül itt jön még egy mátrix.
Ennek a mátrixnak két független oszlopvektora van.
És két független sorvektora.
Tehát nem teljes oszloprangú…
És nem is teljes sorrangú.
Így hát egyik képlet sem használható a Moore-Penrose inverz kiszámolására.
Szerencsére bármelyik mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára…
Amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú.
Ezt bázisfelbontásnak hívják, és egy kis Gauss-eliminációval tudjuk elkészíteni.
Pontosabban egy Gauss-Jordan eliminációval.
Ez egy apró módosítása a Gauss-eliminációnak, és mindössze arról van szó, hogy a vezéregyesek felett is ki kell nulláznunk.
Meg is van.
És most jöhet a bázisfelbontás.
Íme, a bázisfelbontás.
És még egy dolog…
Két mátrix szorzatának pszeudoinverze: