A Moore-Penrose pszeudoinverz tetszőleges mátrixra | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már nézzük is, hogyan kell a Moore-Penrose pszeudoinverzt kiszámolni általános mátrixra. Egy teljes sorrangú és egy teljes oszloprangú mátrixnak is kiszámoljuk a Moore-Penrose pszeudoinverzét, aztán pedig az is kiderül, hogy mit lehet tenni olyankor, ha a mátrix nem teljes sorrangú és nem is teljes oszloprangú. Elkészítjük a bázisfelbontást és komponensenként számoljuk a pszeudoinverzt.

A képsor tartalma

Ha egy mátrix nem invertálható, azért még nincs minden veszve…
Ilyenkor is létezik valami, ami olyasmi, mint az inverz: ezt hívjuk pszeudoinverznek.

Pszeudoinverzből sokféle van…
De csak egy olyan van közülük, amelyik teljesíti a négy darab Moore-Penrose kritériumot.

Ezt hívjuk Moore-Penrose pszeudoinverznek.

Ha az A mátrix teljes oszloprangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:

Ha az A mátrix teljes sorrangú, akkor a Moore-Penrose-féle pszeudoinverze:

Próbáljuk is ki ezeket a képleteket.

Itt van például ez a mátrix. Számoljuk ki a Moore-Penrose-féle pszeudoinverzét.

Ebben a mátrixban a két sorvektor lineárisan független.
Így hát ez egy teljes sorrangú mátrix.


És meg is van a Moore-Penrose-féle pszeudoinverz.

Van itt még egy dolog, amire a Moore-Penrose pszeudoinverz használható.

Itt ez az egyenletrendszer…

Aminek sajnos nincsen megoldása.

Túl sok ugyanis benne az egyenlet, és az egyenletrendszer ellentmondásos.

Az ilyen ellentmondásos egyenletrendszerekre már volt egy megoldási módszerünk, a Gauss-féle normálegyenlet segítségével.
Most ugyanazt a megoldást kapjuk a Moore-Penrose inverzzel is.

Olyankor, amikor az A mátrixnak létezik valódi inverze, az egyenletrendszer biztosan megoldható.

A pszeudoinverzzel pedig ez mindig működik.

Hiszen pszeudoinverze minden mátrixnak van.

Nem kell mást tennünk, mint kiszámolni az együtthatómátrix Moore-Penrose-féle pszeudoinverzét…


És az egyenletrendszer megoldása:

A Gauss-féle normálegyenlettel pontosan ugyanezt a megoldást kaptuk volna.



Végül itt jön még egy mátrix.


Ennek a mátrixnak két független oszlopvektora van.
És két független sorvektora.

Tehát nem teljes oszloprangú…
És nem is teljes sorrangú.

Így hát egyik képlet sem használható a Moore-Penrose inverz kiszámolására.

Szerencsére bármelyik mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára…
Amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú.

Ezt bázisfelbontásnak hívják, és egy kis Gauss-eliminációval tudjuk elkészíteni.

Pontosabban egy Gauss-Jordan eliminációval.
Ez egy apró módosítása a Gauss-eliminációnak, és mindössze arról van szó, hogy a vezéregyesek felett is ki kell nulláznunk.

Meg is van.


És most jöhet a bázisfelbontás.

Íme, a bázisfelbontás.

És még egy dolog…

Két mátrix szorzatának pszeudoinverze:


Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Felsőbb éves egyetemisták ajánlották, "kötelező" címszóval.
    Ricsi, 19
  • Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.

    Tibor, 23
  • A mateking miatt sikerült az érettségi és az összes egyetemi matekos tárgyam.

    Míra, 21
  • Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz.

    Gábor, 18
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez
Hurrá, itt már nincs következő!