Lineáris regresszió | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is, hogy mi az a lineáris regresszió, mire lehet használni és hogyan kell kiszámolni a regresszió képletét. Lépésről lépésre megnézzük egy öt pontra felírt regressziós egyenes kiszámítását, kiderül, hogy mi köze ennek a túlhatározott egyenletrendszerekhez és a Gauss-féle normálegyenlethez, aztán megnézzük az n ponthoz tartozó lineáris regresszió általános képletét és a normálegyenleteit.

A képsor tartalma

Nagyon sok módszer van, amivel egy fának az életkorát meg tudjuk határozni.

Az egyik ilyen módszer, hogy kivágjuk, és megszámoljuk szépen az évgyűrűket.
A módszer előnye, hogy rendkívül pontos, hátránya viszont az, hogy ártalmas a fának.

Kevésbé ártalmas, amikor egy fúróval, amit egyébként Pressler-fúrónak hívnak, átfúrják a fa törzsét és mintát vesznek belőle, amin aztán meg lehet számolni az évgyűrűket.

Valószínűleg ezért a módszerért sem rajonganak a fák, de kisebb károsodással meg lehet állapítani, hogy ez a mamutfenyő, aminek a törzskerülete 28 méter, 3210 éves.

Törzskerület (m)
Életkor (év)


Ez a másik mamutfenyő pedig 1268 éves, és a törzsének a kerülete 12 méter.

És itt van még további három.


Az öt fán végzett mérési adatokat arra fogjuk használni, hogy készítünk belőlük egy függvényt.

Egy olyan függvényt, amely bármelyik mamutfenyő törzsének kerületéből képes megmondani a fa életkorát.

Ez a függvény egy lineáris függvény...
Éppen itt is van.

Hogyha ránk tör néhány régi emlék az általános iskolából…
És épp a lineáris függvény is köztük van…
Akkor tudjuk, hogy már két pont is elegendő a koordinátarendszerben ahhoz, hogy a lineáris függvény képletét megkapjuk.

Itt van mondjuk ez a kettő…

Egy olyan lineáris függvényünk lesz, ami 12-ben 1268-at vesz föl.
És 28-ban pedig 3210-et.

A mamutfenyők életkorát leíró lineáris függvényt úgy kapjuk meg…
Hogyha megoldjuk ezt az egyenletrendszert:


És meg is van a mamutfenyők életkorát leíró függvény.

De sajnos van egy kis gond.

A függvény nem őrületes pontossággal számítja ki a mamutfenyők életkorát…

A másik három mamutfenyőnél például egyiket sem sikerül eltalálnia.

A három pont közül egyik sem illeszkedik a függvény grafikonjára.

Ezen még talán valahogy túltesszük magunkat.

A nagyobb baj az, hogy a függvényt csak két mérés adataiból alkottuk meg, a másik három fa mérési adatait nem építettük bele.

Pedig sokkal pontosabban számítaná ki a mamutfenyők életkorát a függvényünk, ha valahogyan ezt a másik három mérést is fel tudnánk használni.

Hát, akkor használjuk…


Most, hogy mind az öt mérést felhasználtuk…
Egy olyan egyenletrendszert kaptunk, amiben két ismeretlen van és öt egyenlet.

Mivel vannak benne egymásnak ellentmondó egyenleteik is, az egyenletrendszer nem megoldható.

Hát, ez nem jó hír…
De éppen az ilyen esetekre használhatjuk a Gauss-féle normálegyenletet.


Itt jön az egyenletrendszer optimális megoldása:


Ezzel a módszerrel egy olyan egyenest kaptunk, amely a lehető legközelebb halad mind az öt ponthoz.

Ezt az egyenest regressziós egyenesnek nevezzük.

A módszer általánosítható…

Az x és y változó közötti kapcsolat meghatározásához méréseket végzünk.

Az x1, x2, … és xn értékekhez…
Az y1, y2 … és yn értékek tartoznak.

Keressük azt a lineáris függvényt, amely a lehető legjobban illeszkedik a mérési pontokra.

Éppen itt is van.

A függvény grafikonja akkor illeszkedik a legjobban a mérési pontokra, ha ezek az egyenletek egyszerre teljesülnek.

Nem sok esély van arra, hogy ez az egyenletrendszer megoldható.
De nem baj, úgyis itt van nekünk a módsszer az optimális megoldás megtalálására.


Ezeket az egyenleteket normálegyenleteknek nevezzük.

A normálegyenletek által alkotott egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg a lineáris regresszió paramétereit, b1-et és b0-t.

eket már a grafikon két pontja alapján is
Hogyha ábrázoljuk ebben a koordinátarendszerben ennek az öt mérésnek az eredményeit

Hogyha kíváncsiak vagyunk rá, hogy a többi mamutfenyő hány éves…

Akkor nem kell mindet átfúrni.

Egyszerűen csak vesszük a két mérési adatunkat…
És felírunk egy lineáris függvényt.

Egy olyan lineáris függvényt, ami 12-ben 1268-at vesz föl.
És 28-ban pedig 3210-et.

A mamutfenyők életkorát leíró lineáris függvényt úgy kapjuk meg…
Hogyha megoldjuk ezt az egyenletrendszert:


És meg is van a mamutfenyők életkorát leíró függvény.
Ha most lemérjük például ennek a mamutfenyőnek a törzskerületét…
Aztán behelyettesítjük a függvénybe…
Akkor azt kapjuk, hogy ez a fa 1754 éves.

De sajnos van itt egy kis probléma…
Hogyha pontosan megmérjük az évgyűrűk számát…
Akkor az jön ki, hogy ez a fa nem 1754, hanem csak 1476 éves.

És tulajdonképpen a másik két fánál sem stimmel a függvény.

Ami pedig még ennél is nagyobb gond, hogyha például a másik két fa mérési adatait vesszük alapul…

Akkor teljesen más függvényt kapunk.

Az világos, hogy öt fa mérési adataiból precízebben meg tudjuk adni az életkort leíró függvényt.

Csak éppen az a kérdés, hogyan írjuk fel az egyenes egyenletét.


ennek a másik három mamutfenyőnek a törzskerületét és az évgyűrűk számát…
És aztán ábrázoljuk ezeket is a koordinátarendszerben…
Akkor ezek nem illeszkednek az egyenesre.



Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Sokkal jobb, mint bármelyik egyetemi előadásom.

    Dani, 20
  • Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz.

    Gábor, 18
  • Olyan weboldal, ami még egy vak lovat is megtanítana integrálni.

    Petra, 26
  • A mateking miatt sikerült az érettségi és az összes egyetemi matekos tárgyam.

    Míra, 21
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez