Elsőfokú függvények
Lineáris függvény
A lineáris függvény képlete:
$y = m\cdot x + b$ vagy $ x \mapsto m\cdot x + b$ vagy $f(x)=m\cdot x + b$
Az egyik dolog, amit érdemes tudni róla, hogy milyen meredeken megy.
Ezt meredekségnek hívjuk, és így jön ki:
\( m=\frac{ \text{amennyit fölfele megy}}{ \text{amennyit előre megy} } \)
A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az $y$ tengelyt.
Ezt úgy hívjuk ,hogy tengelymetszet, és a jele $b$ a képletéből.
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.
b) Egy vonat reggel 8-kor éppen 200 kilométer utat tett már meg, 11 órakor pedig 400-at. A vonat átlagsebessége útja során végig állandó. Hánykor indult a vonat és mekkora utat tesz meg 14 óráig?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Mit rendel az \( y = - \frac{1}{3}x +4 \) lineáris függvény az \( x=2 \) számhoz? Melyik az a szám, amihez a függvény az \( y=2 \) értéket rendeli? Ábrázoljuk a függvényt!
b) Adjuk meg a \( 6=2x+3y \) lineáris függvény meredekségét, és hogy hol metszi a koordinátatengelyeket.
c) Van itt ez a lineáris függvény, amiről tudjuk, hogy a zérushelye \( x=4 \) és az \( x=-2 \) helyen a függvény 3-at vesz föl.
\( y=a \cdot x + b \qquad a=? \qquad b=? \)
Van itt ez a függvény:
\( x \mapsto - \frac{2}{3}x+2 \)
a) Mit rendel hozzá ez a függvény a 4-hez?
b) Melyik az a szám, amihez 4-et rendel?
c) Hol metszi a függvény a koordinátatengelyeket?
Itt mindent megtudhatsz az elsőfokú függvényekről, megnézzük, mi az a meredekség és a tengelymetszet. Megnézzük az elsőfokú függvények általános képletét az y=mx+b alakot, és az is kiderül, hogy mire jók az elsőfokú függvények. Két pont alapján felírjuk a lineáris függvény hozzárendelési szabályát, megnézzük a zérushelyeket és még sok izgalmas dolgot. Feladatok elsőfokú függvényekkel, megoldások lépésről lépésre.
A lineáris függvények nem túl izgalmas részei a matematikának. De hát néha velük is kell foglalkozni, úgyhogy nézzünk meg néhányat. Ez itt egy lineáris függvény. És két dolgot érdemes róla tudni. Az egyik, hogy milyen meredeken megy… Ezt meredekségnek hívjuk, és így jön ki: A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt. Ezt úgy hívjuk, hogy tengelymetszet, és a jele b. És íme, itt a lineáris függvények képlete: Most pedig nézzük, mire használhatnánk ezeket a lineáris függvényeket, jóra vagy rosszra… Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát. A függvény az x tengelyen lévő számokhoz rendeli hozzá… az y tengelyen lévő számokat. Íme, itt is van a függvény grafikonja, ami egy egyenes vonal. Számoljuk ki a meredekségét. Lássuk, mennyit megy fölfele… Semennyit, mert ez most lefele megy. Előre pedig 3-at. A meredekség tehát megvolna. Most pedig jöhet a tengelymetszet. Hát, ez valahol 3 és 4 között van. Ennél azért egy picit pontosabban kéne tudnunk… Itt van a függvény képlete. És azt már tudjuk, hogy a meredekség -1/3. Úgy tudjuk kiszámolni b-t, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján… és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe. De mi van akkor, ha egy másik pontot választunk? Mondjuk például ezt… Mindig ugyanaz jön ki. Hát, ezzel megvolnánk. Így elsőre nehéz elhinni, hogy ezek a lineáris függvények jók is valamire. Pedig azért néhány dologra lehet őket használni. Itt van például ez a vonat, ami reggel 6-kor indul… és 8 óráig megtesz 300 kilométert. Menet közben nem állt meg sehol, és végig állandó sebességgel haladt. A vonat által megtett utat ez a lineáris függvény írja le. A 300 kilométeres utat… 2 óra alatt tette meg. A vonat sebessége éppen a függvény meredeksége. Hogyha mondjuk 8 és 11 óra között a vonat 100 km/h sebességgel halad tovább… Akkor egy olyan függvényt kell rajzolnunk, aminek a meredeksége 100. Ezt a függvényt például arra tudjuk használni, hogy megmondja nekünk, mikor hol van épp a vonat. Ha kíváncsiak vagyunk például arra, hogy 10 óráig mekkora utat tett meg… Ekkorát. Itt jön aztán egy másik vonatos történet. Erről a vonatról annyit lehet tudni, hogy reggel 8-kor éppen 200 kilométer utat tett már meg, 11 órakor pedig 400-at. A vonat átlagsebessége útja során végig állandó. Hánykor indult a vonat és mekkora utat tesz meg 14 óráig? A vonat 8 óráig 200 kilométert tett meg… 11 óráig pedig 400-at. A vonat átlagsebessége állandó, ezért a megtett utat egy lineáris függvény írja le. Az remekül látszik a rajzon, hogy a vonat 5-kor indult. Az már kevésbé, hogy hol lesz 14 órakor. Persze készíthetnénk egy nagyobb rajzot is… De a matematika nem igazán rajzok készítésével foglalkozik. Az egy másik tantárgy. Lássuk inkább azt a függvényt, amely megmondja nekünk, hol tart épp a vonat. Kezdjük azzal, hogy, mekkora a meredekség… A b-t most is úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján… és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe. Íme, itt is van. És, hogy hol lesz a vonat 14 órakor?
Van itt ez a nagyon izgalmas lineáris függvény:
Mit rendel hozzá ez a függvény az számhoz?
Ez egy igazán egyszerű kérdés, csak be kell helyettesíteni a függvénybe.
Itt jön aztán a következő kérdés.
Melyik az a szám, amihez a függvény az értéket rendeli?
Most tehát az y tengelyen van a 2…
És keressük a hozzá tartozó x-et.
Hát ez is kiderült.
Hogyha már ennyit szenvedtünk ezzel a függvénnyel, rajzoljuk is föl.
A meredekség:
Az y tengelyt pedig 4-ben metszi.
Egyébként ez a rajzról is látszik.
Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.
A függvény az x tengelyen lévő számokhoz rendeli hozzá…
az y tengelyen lévő számokat.
Íme, itt is van a függvény grafikonja, ami egy egyenes vonal.
Számoljuk ki a meredekségét.
Lássuk, mennyit megy fölfele…
Semennyit, mert ez most lefele megy.
Előre pedig 3-at.
A meredekség tehát megvolna.
Most pedig jöhet a tengelymetszet.
Hát, ez valahol 3 és 4 között van.
Ennél azért egy picit pontosabban kéne tudnunk…
Itt van a függvény képlete.
És azt már tudjuk, hogy a meredekség -1/3.
Úgy tudjuk kiszámolni b-t, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján…
és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe.
Van itt ez a nagyon izgalmas lineáris függvény:
Mit rendel hozzá ez a függvény az 
számhoz?
Ez egy igazán egyszerű kérdés, csak be kell helyettesíteni a függvénybe.
Itt jön aztán a következő kérdés.
Melyik az a szám, amihez a függvény az 
értéket rendeli?
Most tehát az y tengelyen van a 2…
És keressük a hozzá tartozó x-et.
Hát ez is kiderült.
Hogyha már ennyit szenvedtünk ezzel a függvénnyel, rajzoljuk is föl.
A meredekség:
Az y tengelyt pedig 4-ben metszi.
Egyébként ez a rajzról is látszik.
Reggel 6-kor elindul az egyik állomásról egy Railjet. A vonat által óránként megtett utat ábrázolja ez a grafikon.
Két órával később ugyanarról az állomásról egy ICE is elindul. A két vonat útvonala megegyezik, mindkét vonat átlagsebessége egész úton ugyanakkora. Hány órakor éri utol az ICE a Railjetet?
Számoljuk ki a vonatok átlagsebességét.
Ezt a 600 kilométeres utat…
az egyik vonat 3 óra alatt tette meg.
a másik pedig 4 óra alatt.
A vonatok sebessége éppen a lineáris függvények meredeksége.
Még ezt a szerencsétlen b-t kéne valahogyan kideríteni…
Például úgy, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján…
és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe.
Ugyanezt megcsináljuk a másik függvénnyel is.
A b-t itt is ki kell számolni...
Pontosan úgy, ahogy az előbb.
Amikor a vonatok találkoznak…
mindkét vonat éppen ugyanakkora utat tett meg.
A jelek szerint 14 órakor fognak találkozni.
Egy másik vonatról annyit lehet tudni, hogy reggel 8-kor éppen 300 kilométer utat tett már meg, 11 órakor pedig 600-at. A vonat átlagsebessége útja során végig állandó. Hánykor indult a vonat és mekkora utat tesz meg 13 óráig?
A vonat 8 óráig 300 kilométert tett meg…
11 óráig pedig 600-at.
A vonat átlagsebessége állandó, ezért a megtett utat egy lineáris függvény írja le.
Lássuk, mekkora a meredekség…
A b-t pedig úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján…
mindegy melyiket…
és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe.
A jelek szerint reggel 5-kor indult a vonat.
13 órakor pedig itt lesz.
Egy kicsivel 750 kilométer után.
Hogyha ennél pontosabban is szeretnénk tudni…
Akkor be kell helyettesíteni a 13-at a függvénybe.
A vonat 800 kilométert tett meg.
Egy harmadik vonatról azt lehet tudni, hogy 10 óráig állandó átlagsebességgel haladt, és közben megtett 300 kilométert, majd innentől duplájára növelte az átlagsebességét és 12 óráig már 600 kilométert tett meg.
Mikor indult a vonat?
Van itt ez a nagyon izgalmas lineáris függvény: Mit rendel hozzá ez a függvény az számhoz? Ez egy igazán egyszerű kérdés, csak be kell helyettesíteni a függvénybe. Itt jön aztán a következő kérdés. Melyik az a szám, amihez a függvény az értéket rendeli? Most tehát az y tengelyen van a 2… És keressük a hozzá tartozó x-et. Hát ez is kiderült. Hogyha már ennyit szenvedtünk ezzel a függvénnyel, rajzoljuk is föl. A meredekség: Az y tengelyt pedig 4-ben metszi. Egyébként ez a rajzról is látszik. A siker érdekében használjuk inkább a háromféle verzió közül… Van itt ez a függvény: a) Mit rendel hozzá ez a függvény a 4-hez? b) Melyik az a szám, amihez 4-et rendel? c) Hol metszi a függvény a koordinátatengelyeket? Hát, menjünk szépen sorban… Most nézzük, melyik számhoz rendeli a függvény a 4-et. Ilyenkor jobban járunk, hogyha átírjuk a függvényt ebbe a formába. És itt jönnek a metszéspontok. Megint jobban járunk, ha inkább így írjuk fel a függvényt. Amikor az x tengelyt metszi, olyankor y=0. Amikor az y tengelyt metszi, olyankor x=0. Itt egy másik függvény is. Annyit tudunk róla, hogy a zérushelye 2-ben van és a 4-hez hármat rendel. Mit rendel hozzá ez a függvény a –3-hoz? A zérushely azt mondja meg, hogy hol metszi a függvény grafikonja az x tengelyt. És van még ez is. Ezek a lapján be is tudjuk rajzolni a függvény grafikonját. Most nézzük, mekkora a meredekség. A tengelymetszet ránézésre látszik. De ki is számolhatjuk a szokásos módszerrel… És, hogy mit rendel a függvény a –3-hoz?
