Tükrözések, forgatások, egybevágósági transzformációk
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Tengelyes tükrözés
A tengelyes tükrözéshez először is kell egy tengely, amire tükrözünk, ezt $t$-vel szoktuk jelölni.
Egy pontot úgy kell tükrözni a $t$ tengelyre, hogy a pontból merőlegest állítunk a tengelyre, és a pont tükörképe ezen a merőlegesen lesz, ugyanolyan távol, mint az eredeti pont, csak éppen a tengely másik oldalán.
A tengelyen lévő pontok tükrözésekor nem történik semmi. Ezeket a pontokat fix pontoknak nevezzük.
A tengelyes tükrözés egy egybevágósági transzformáció.
Tulajdonságai:
- távolságtartó
- szögtartó
- körüljárásváltó
Tengelyesen szimmetrikus alakzat
Egy alakzatot vagy sokszöget tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.
Tengelyesen szimmetrikus alakzatok pl.:
Egyenlőszárú háromszög, téglalap, deltoid, rombusz, négyzet, szabályos sokszögek
Középpontos tükrözés
A középpontos tükrözéshez először is kell egy középpont, amire tükrözünk, ezt $O$-val szoktuk jelölni.
Bármelyik pontnak a tükörképe úgy keletkezik, hogy a pontot összekötjük a tükrözés középpontjával, és a tükörkép ezen az összekötő egyenesen lesz. Ugyanolyan távol a középponttól, mint az eredeti pont, csak éppen a középpont másik oldalán.
Ezért aztán a középpontos tükrözés egyetlen fix pontja maga a középpont.
A középpontos tükrözés egy egybevágósági transzformáció.
Tulajdonságai:
- távolságtartó
- szögtartó
- körüljárástartó
Középpontosan szimmetrikus alakzat
Egy alakzat vagy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga lesz.
Középpontosan szimmetrikus alakzatok pl.:
Paralelogramma, páros oldalú szabályos sokszögek
Pont körüli forgatás
A pont körüli forgatáshoz kell egy pont, ami körül forgatunk ($O$), na és persze egy szög ($\alpha$).
Mivel két irányba is forgathatnánk, így a szög előjeles. Az óramutató járásával megegyező irányú forgatás negatív, az azzal ellentétes irányú pedig pozitív.
A pont körüli forgatás egy egybevágósági transzformáció.
Tulajdonságai:
- távolságtartó
- szögtartó
- körüljárástartó
Forgás-szimmetrikus alakzat
Egy alakzatot vagy sokszöget forgás-szimmetrikusnak nevezünk, hogyha van olyan $O$ pont, ami körül egy 0 és 360 fok közé eső szöggel elforgatva a sokszöget önmagába tudjuk forgatni.
Példák forgás-szimmetrikus alakzatokra:
Szabályos háromszög, négyzet, szabályos sokszögek
Alakzatok egybevágósága
Két alakzat akkor egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, ami az egyiket a másikba viszi.
Háromszögek egybevágósága
Két háromszög egybevágó, ha
1.) egy oldal és a rajta fekvő két szögük egyenlő.
2.) két oldal és a nem kisebbel szemközti szögük egyenlő.
3.) két oldal és az általuk bezárt szögeik egyenlők.
4.) három oldal páronként egyenlő.
Eltolás
Minden eltolást egy vektor segítségével adhatunk meg. Ennek a vektornak van egy iránya és egy nagysága.
Az eltolás során az alakzat lényegében ugyanaz marad, csak kicsit arrébb kerül.
Az eltolás egy egybevágósági transzformáció.
Tulajdonságai:
- távolságtartó
- szögtartó
- körüljárástartó
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Egy háromszög két csúcsa \(A\) és \(B\), a harmadik csúcs pedig legyen valahol az \(e\) egyenesen.
Mikor lesz a háromszög kerülete a lehető legkisebb?
a) Mely háromszögek tengelyesen szimmetrikusak?
b) Tengelyesen szimmetrikusak-e a téglalapok, rombuszok, négyzetek?
c) Hány db. szimmetria tengelye van a szabályos sokszögeknek?
Középpontosan szimmetrikusak-e a háromszögek, téglalapok, paralelogrammák, szabályos sokszögek és a kör?
a)
Van itt ez a háromszög és egy \(O\) pont...
Tükrözzük a háromszöget az \(O\) pontra.
b)
Tükrözzik ezt a trapézt az \(A\) csúcsára...
a) Tükrözzük az \(A(6,2)\) pontot az \(x\) tengelyre, és hívjuk ezt a pontot \(B\)-nek.
b) Tükrözzük az \(A(6,2)\) pontot az \(y\) tengelyre, és hívjuk ezt a pontot \(C\)-nek.
c) Egy háromszög csúcsainak koordinátái \(A(2,2), B(7,3)\) és \(C(4,7)\). Tükrözzük a háromszöget az \(x\) tengelyre, és adjuk meg az így keletkező háromszög csúcsainak koordinátáit.
d) Egy négyszög csúcsainak koordinátái \(A(2,2), B(7,3), C(4,9)\) és \(D(0,7)\). Tükrözzük a négyszöget az \(y\) tengelyre, és adjuk meg az így keletkező négyszög csúcsainak koordinátáit.
a) Tükrözzük ezt a 3 pontot az egyenesre.
b) Egy egyenlőszárú háromszög szimmetriatengelye az ábrán látható egyenes, az \(A\) csúcsának \(x\) koordinátája 9 és tudjuk még, hogy a háromszög \(B\) csúcsa a \(B(3,8)\) pont. Adjuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit.
c) Egy deltoid három csúcsa \(A(2,3), B(4,5)\) és \(C(8,3)\). A deltoid szimmetriatengelye párhuzamos az \(x\) tengellyel. Adjuk meg a \(D\) csúcs koordinátáit.
d) Tükrözzük ezt a négyszöget erre a ferde egyenesre.
a) Tükrözzük az \(A(7,5)\) pontot az origóra, és hívjuk ezt a pontot \(B\)-nek. Mik lesznek a \(B\) pont koordinátái?
b) Egy háromszög csúcsainak koordinátái \(A(2,2), B(7,3)\) és \(C(4,6)\). Tükrözzük a háromszöget az origóra, és adjuk meg az így keletkező háromszög csúcsainak koordinátáit.
c) Egy háromszög csúcsainak koordinátái \(A(2,5), B(8,6)\) és \(C(5,8)\). Tükrözzük a háromszöget a \(K(5,3)\) pontra és adjuk meg az így keletkező háromszög csúcsainak koordinátáit.
Hány fokos forgatás viszi önmagába az alakzatot, ha az alakzat...
a) szabályos háromszög?
b) szabályos hatszög?
a) Bizonyítsuk be, hogy egy háromszögnek bármely csúcsához tartozó súlyvonala egyenlő távolságra van a háromszög másik két csúcsától.
b) Egy derékszögű háromszög mindegyik oldalára rajzolunk egy-egy négyzetet.
Bizonyítsuk be, hogy ezek a piros vonalak egyforma hosszúak.
Tükrözzük ezt a háromszöget először a \(t_1\), aztán a \(t_2\) tengelyre.
a)
b)
c)
Lássuk, mit tud ez a tengelyes tükrözés.
Röviden ezt.
Egy kicsit hosszabban…
Van itt ez a P pont.
Ezt a pontot úgy kell tükrözni a t tengelyre...
hogy a pontból merőlegest állítunk a tengelyre…
és a P pont tükörképe ezen a merőlegesen lesz.
Ugyanolyan távol a tengelytől, mint az eredeti P pont, csak éppen a tengely másik oldalán.
A tengelyen lévő pontok kitüntetett pontok.
Azokkal ugyanis nem történik semmi.
Ezeket a pontokat fix pontoknak nevezzük.
A tengelyes tükrözésnek végtelen sok fix pontja van.
A tengely minden pontja fix pont.
Fix egyenesnek nevezzük azokat az egyeneseket, amelyeknek a tükörképe önmaga.
Ez itt például nem fix egyenes.
Mondjuk, egy fix pontja azért van.
De ez a másik…
Na, ez már igen.
Minden olyan egyenes fix egyenes, amely merőleges a tengelyre.
És maga a tengely is fix egyenes, sőt pontonként fix.
Itt van aztán ez a háromszög.
Nézzük meg, hogy a tükrözés hatására mi történik vele.
Hát ez.
Egy ugyanolyan háromszög lesz belőle.
Pontosabban csak majdnem ugyanolyan.
A méretei megegyeznek az eredeti háromszög méreteivel…
és a szögei is…
de a körüljárás iránya megváltozik.
Ezek alapján készíthetünk egy kis listát a tengelyes tükrözés tulajdonságairól.
A tengelyes tükrözés távolságtartó.
Ez nem azt jelenti, hogy bárkivel is ellenségesen viselkedne…
Mindössze annyit, jelent, hogy a tükrözés nem változtatja meg a távolságokat.
A tengelyes tükrözés szögtartó…
viszont körüljárásváltó.
Azokat a geometriai transzformációkat, amelyek távolságtartók, barátságtalannak nevezzük.
Na tessék, ugyanaz a rossz poén már másodszor.
Nem. Valójában nem barátságtalannak hívjuk őket.
A távolságtartó geometriai transzformációkat egybevágósági transzformációnak hívjuk.
A tengelyes tükrözés tehát egybevágósági transzformáció.
Most pedig nézzük meg, hogy mik azok a tengelyesen szimmetrikus sokszögek.
Egy sokszöget tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga.
Ez a szabályos hatszög például tengelyesen szimmetrikus.
Legjobban ezt úgy láthatjuk, ha félbevágjuk…
Aztán pedig tükrözzük erre a tengelyre.
A dolog így is működik…
Nézzük, milyen tengelyesen szimmetrikus sokszögek vannak.
Egy háromszög akkor tengelyesen szimmetrikus…
hogyha egyenlőszárú.
Az egyenlő oldalú háromszögeknek pedig mindjárt három szimmetriatengelyük is van.
Most lássuk, hogy mi a helyzet a négyszögekkel…
A téglalapok tengelyesen szimmetrikusak.
és két szimmetriatengelyük biztosan van.
Aztán itt vannak még ezek is…
Ennek a neve deltoid.
Hogyha minden oldala egyenlő hosszú…
akkor pedig úgy hívjuk, hogy rombusz.
A rombusznak már két szimmetriatengelye is van.
Azoknak a rombuszoknak pedig, ahol minden szög 90 fokos…
nos, azoknak már négy.
Ezeket szuper-rombusznak hívjuk.
Ja, nem. Csak simán úgy hívjuk, hogy négyzet.
Nézzük, mi a helyzet az ötszögekkel.
A szabályos ötszögnek egy szimmetriatengelye biztosan van.
Meg még egy…
Meg még egy…
Öt darab van.
Egy szabályos hatszögnek 6 darab szimmetriatengelye van.
Három ilyen…
és három ilyen.
A szabályos hétszögnek 7 darab szimmetriatengelye van.
Éppen itt is van az egyik.
A szabályos nyolcszögnek pedig 8 darab.
De nem kell izgulni, nem megyünk el egészen a szabályos száz-szögig.
A középpontos tükrözés úgy működik…
hogy mindenkit erre az egyetlen pontra tükrözünk.
Bármelyik pontnak a tükörképe úgy keletkezik…
hogy a pontot összekötjük a tükrözés középpontjával…
és a tükörkép ezen az összekötő egyenesen lesz.
Ugyanolyan távol a középponttól, mint az eredeti pont, csak éppen a középpont másik oldalán.
Ezért aztán a középpontos tükrözés egyetlen fix pontja maga a középpont.
A fix egyenesek pedig azok, amelyek a középponton átmennek.
Minden olyan egyenes fix egyenes, amely merőleges a tengelyre.
És maga a tengely is fix egyenes, sőt pontonként fix.
Nézzük meg, hogy mi történik a tükrözés hatására ezzel a háromszöggel.
Hát ez.
A középpontos tükrözés távolságtartó…
és szögtartó.
Ráadásul még körüljárástartó is.
Ezeknek a fantasztikus tulajdonságoknak köszönhetően a háromszög tükörképe tökéletesen ugyanolyan, mint az eredeti háromszög.
A középpontos hasonlóság egybevágósági transzformáció.
Most nézzük, mi történik akkor, ha a tükrözés középpontja a háromszög egyik oldalán van.
Hogyha mondjuk itt…
akkor egy ilyen fura dolog keletkezik.
És amikor a tükrözés középpontja éppen az oldal felezőpontja…
Olyankor egy paralelogrammát kapunk.
A paralelogramma egy középpontosan szimmetrikus négyszög.
És mindegyik paralelogramma úgy keletkezik, hogy egy háromszöget tükrözünk valamelyik oldalának felezőpontjára.
Most pedig lássuk, hogy milyen középpontosan szimmetrikus sokszögek vannak még.
Egy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga.
Ez a szabályos hatszög például középpontosan szimmetrikus.
Legjobban ezt úgy láthatjuk, ha félbevágjuk…
Aztán pedig tükrözzük erre a középpontra.
Nézzük, milyen középpontosan szimmetrikus sokszögek vannak.
Egy háromszög nem tud középpontosan szimmetrikus lenni.
Még akkor sem, ha egyenlő oldalú.
Nem tudjuk ugyanis kettévágni úgy, hogy az egyikfelét középpontosan tükrözve…
megkapjuk a másikfelét.
Hiába is próbálkozunk, sosem kapunk így háromszöget.
A négyszögekkel már határozottan jobb a helyzet.
A téglalapok középpontosan szimmetrikusak.
Sőt, minden paralelogramma középpontosan szimmetrikus.
Most nézzük, mi a helyzet az ötszögekkel.
Hát semmi jó.
Az ötszögek nem középpontosan szimmetrikusak.
A szabályos hatszög viszont igen.
És nem is csak a szabályos…
A sort pedig tovább folytathatjuk…
A pont körüli forgatás röviden így néz ki. Egy kicsit hosszabban… Van itt ez a pont. És forgassuk el az O pont körül, mondjuk 100 fokkal. Persze forgathatjuk a másik irányba is… Ez már másoknak is eszébe jutott, ezért a tévedések elkerülésének érdekében az egyik irányt pozitív iránynak nevezzük… a másikat pedig negatívnak. Hogy miért épp ez az irány a pozitív? Nos, ennek elég sok oka van… Itt van aztán ez a háromszög. Forgassuk el az O pont körül 100 fokkal. Mondjuk negatív irányba. Az O pont körüli forgatás egyetlen fix pontja az O pont. A forgatás távolságtartó és szögtartó. Ráadásul még körüljárástartó is. A pont körüli forgatás egybevágósági transzformáció. Abban ez egészen speciális esetben pedig, amikor 180 fokkal forgatunk… éppen egy középpontos tükrözést kapunk. A középpontos tükrözés tehát egy 180 fokos forgatás. Most pedig nézzük meg, hogy mik azok a forgás-szimmetrikus sokszögek. Hogyha ezt az egyenlő oldalú háromszöget elforgatjuk a középpontja körül 90 fokkal… akkor ez történik. De ha 120 fokkal forgatjuk el… Akkor éppen az eredeti háromszöget kapjuk. A 120 fokos forgatás ezt a háromszöget önmagába forgatja át. Most éppen át is forgattuk. Csak nem látszik, hiszen önmagába forgattuk át… Egy sokszöget forgás-szimmetrikusnak nevezünk, hogyha van olyan O pont, ami körül egy 0 és 360 fok közé eső szöggel elforgatva a sokszöget önmagába tudjuk forgatni. Az egyenlő oldalú háromszög forgás-szimmetrikus. Nézzük, milyen forgás-szimmetrikus sokszögek vannak még. Mivel a középpontos tükrözésről kiderült, hogy az valójában egy 180 fokos forgatás, így minden középpontosan szimmetrikus sokszög egyben forgás-szimmetrikus. De tulajdonképpen minden szabályos sokszög forgás-szimmetrikus. Van itt ez a 360 fokos középponti szög… amit a hatszögnél 6 egyenlő részre osztunk. Hogyha ekkora szöggel forgatjuk el a hatszöget a középpont körül… akkor a hatszöget egészen biztosan önmagába forgatjuk át. A dolog ötszögre is működik. Csak éppen itt a 360 fokot öt részre kell osztani. Ha az ötszöget 72 fokkal forgatjuk el a középpont körül, akkor önmagába forgatjuk át. Bármilyen szabályos n szög forgás-szimmetrikus. A középpont körül 360/n fokkal elforgatva garantált a siker. Hát, ennyit a forgatásról. Egy háromszög nem tud középpontosan szimmetrikus lenni. Még akkor sem, ha egyenlő oldalú. Nem tudjuk ugyanis kettévágni úgy, hogy az egyikfelét középpontosan tükrözve… megkapjuk a másikfelét. Hiába is próbálkozunk, sosem kapunk így háromszöget. A négyszögekkel már határozottan jobb a helyzet. A téglalapok középpontosan szimmetrikusak. Sőt, minden paralelogramma középpontosan szimmetrikus. Most nézzük, mi a helyzet az ötszögekkel. Hát semmi jó. Az ötszögek nem középpontosan szimmetrikusak. A szabályos hatszög viszont igen. És nem is csak a szabályos…
Most bűvészmutatványok következnek két darab tengelyes tükrözés segítségével. Vannak itt ezek a tengelyek, amik egymásra merőlegesek. És nézzük meg, hogy mi történik ezzel a háromszöggel, ha tükrözzük először az egyik tengelyre… aztán, amit így kaptunk, tükrözzük a másikra is. A két egymás utáni tengelyes tükrözéssel… éppen egy középpontos tükrözést kaptunk. A tükrözés középpontja a tengelyek metszéspontja. Lásuk, mi történik akkor, ha a tengelyek nem merőlegesek, hanem mondjuk 60 fokos szöget zárnak be egymással. Hát igen. Ez nagyon úgy néz ki, mint egy 120 fokos forgatás. Hogyha pedig változtatjuk a két tengely által bezárt szöget… akkor a forgatás szöge is ezzel együtt változik. A forgatás szöge mindig kétszer akkora, mint a tengelyek által bezárt szög. Amikor pedig a tengelyek által bezárt szög éppen 90 fok… olyankor a forgatás szöge 180 fok. Ami a középpontos tükrözés. A tengelyes tükrözés tehát mindennek az alapja. Néhány tengelyes tükrözés segítségével bármit létre tudunk hozni, még akár egy tengerparti nyaralót is. Azt mondjuk, lehet, hogy mégse. De az egybevágósági transzformációk közül mindet, amiről csak álmodhatunk. Hogyha pedig egymással párhuzamos tengelyekre tükrözünk… Akkor a háromszög így szépen arrébb tolódik. Ez egy újabb egybevágósági transzformáció. És úgy hívják, hogy eltolás. Az eltolás iránya merőleges a tengelyekre. Az eltolás nagysága pedig a tengelyek távolságának a kétszerese. Az iránnyal és nagysággal rendelkező geometriai alakzatokat vektornak hívjuk. Minden eltolást egy vektor segítségével lehet megadni. Ez a vektor mondja meg, hogy mennyivel toljuk arrébb a háromszöget.
Ez egy újabb egybevágósági transzformáció. És úgy hívják, hogy eltolás. Az eltolás iránya merőleges a tengelyekre. Az eltolás nagysága pedig a tengelyek távolságának a kétszerese. Az iránnyal és nagysággal rendelkező geometriai alakzatokat vektornak hívjuk. Minden eltolást egy vektor segítségével lehet megadni. Ez a vektor mondja meg, hogy mennyivel toljuk arrébb a háromszöget. Az eltolás röviden így néz ki. Egy kicsit hosszabban… Minden eltolást egy vektor segítségével adhatunk meg. A vektoroknak van egy iránya… és egy nagysága. Ez minden, amit tudniuk kell. Az, hogy épp hol vannak… már teljesen mindegy. Mindez annyit jelent, hogy ez itt mind ugyanaz a vektor. Egy kicsit precízebben ugyanannak a vektornak a különböző reprezentációi. De ennyi idegen szó elég is mára. Van itt ez a háromszög. És nézzük meg, hogy az eltolás hatására mi történik vele. Hát ez. Egy pontosan ugyanolyan háromszög lesz belőle, csak kicsit arrébb. Az eltolás távolságtartó, szögtartó és körüljárástartó. Ez is egy újabb egybevágósági transzformáció. Mivel pedig minden pontot arrébb tolunk, az eltolásnak nincsen fix pontja. Vagyis egyetlen esetben mégis van. Olyankor, amikor az eltolást megadó vektor hossza nulla. Ilyenkor senki nem megy sehova. Vagyis minden pont fix pont.
Két alakzat akkor egybevágó…
ha van olyan egybevágósági transzformáció, ami az egyiket a másikba viszi.
Ez a négy betű, hogy D, B, Q, P kisbetűvel írva tökéletesen egybevágók.
Erre jöttek rá a diszlexiások is, amikor folyton összekeverik őket.
Geometriai értelemben ezek a betűk lényegében egyformák.
Hogyha valaki összekeveri őket, végülis túl nagy hibát nem követ el.
Mindössze arról van szó, hogy az átlagosnál érzékenyebben reagál a betűk egybevágóságára…
Az egybevágó háromszögeket rengeteg dologra tudjuk használni.
Be tudjuk például bizonyítani, hogy egy háromszögnek bármely csúcsához tartozó súlyvonala…
egyenlő távolságra van a háromszög másik két csúcsától.
Lássuk csak, mi is az a súlyvonal…
A háromszög egyik csúcsát köti össze a szemközti oldal felezőpontjával.
Ezek a szakaszok tehát egyforma hosszúak.
És ezek a szögek pedig itt egyforma nagyok.
Meg hát ezek a derékszögek is egyformák.
Így aztán mindkét háromszögben a harmadik szögek is ugyanakkorák kell, hogy legyenek.
Vagyis ebben a két háromszögben…
egy oldal és a rajta fekvő szögek egyenlők.
Ezek a háromszögek tehát egybevágók.
Az egybevágóságot így jelöljük.
Hogyha pedig egybevágók, akkor a megfelelő oldalaik egyenlők.
És éppen ezt kellett bizonyítani.
Itt jön aztán egy másik izgalmas ügy.
Egy derékszögű háromszög mindegyik oldalára rajzolunk egy négyzetet.
Bizonyítsuk be, hogy ezek a piros vonalak egyforma hosszúak.
Megint egybevágó háromszögeket érdemes keresni.
Van itt ez a B csúcsnál lévő szög.
És tőle mindkét irányban derékszög van.
Így aztán ez a szög…
ugyanakkora, mint ez a szög.
Ebben a háromszögben a két oldal és az általuk bezárt szög …
ugyanakkora, mint ebben a másik háromszögben.
Vagyis a két háromszög egybevágó.
Hogyha pedig egybevágók, akkor a megfelelő oldalaik egyenlők.
Hát, ez is megvan.
És a csúcson kell abbahagyni…
