- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Függvények
Függvény fogalma
Adott az $A$ és $B$ nem üres halmaz.
Ha az $A$ halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a $B$ halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Függvény értelmezési tartománya
Adott az $f: A \mapsto B$ függvény. A függvény értelmezési tartománya azoknak az elemeknek a halmaza az $A$ halmazban, amikhez a függvény hozzárendel $B$ halmazbeli elemeket.
Az értelmezési tartományt az angol domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány, így jelöljük: $D_f$.
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés
Az $f: \; x\mapsto y$ függvény kölcsönösen egyértelmű, ha $x_1 \neq x_2$ akkor $y_1 \neq y_2$. Vagyis különböző $x$-ekhez mindig különböző $y$-okat rendel.
Zérushely
Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az $x$ tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.
Függvény monotonitása
Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton növekedőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \leq f(x_2) $
Szigorúan monoton növekedő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) < f(x_2) $
Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton csökkenőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \geq f(x_2) $
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) > f(x_2) $
Függvény szélsőértéke
Függvény szélsőértékén a maximumát illetve minimumát értjük.
Precízebben:
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) maximuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \leq f(x_0)$.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) minimuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \geq f(x_0)$.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális maximuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a maximum.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális minimuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a minimum.
Függvény konvexitása
Konkávnak nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "szomorú hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes felett halad.
Konvexnek nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "vidám hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes alatt halad.
Adott a következő függvény.
\( f(x)=x^2-4 \quad D_f : -2 \leq x \leq 4 \)
a) Milyen számot rendel hozzá ez a függvény a 3-hoz?
b) Melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli hozzá?
c) Mik a függvény zérushelyei?
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különböző x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Itt van az x tengely, tele számokkal.
És ezek közül a számok közül bizonyos számokhoz hozzárendelünk egy másik számot.
Mondjuk hozzárendeljük a négyzetüket.
Ezt a függvényt így jelöljük, hogy
Legtöbbször ezt a harmadik jelölést fogjuk használni.
És most nézzük meg, mit rendel hozzá a függvény a 4-hez.
Itt is bármelyik jelölést használhatjuk …
Ezt úgy mondjuk, hogy a függvény a 4-ben 16-ot vesz föl.
Az x tengelyen vannak a helyek…
az y tengelyen pedig az értékek.
HOL?
MENNYI?
Azokat a szerencsés x-eket amikhez a függvény hozzárendel valamit, értelmezési tartománynak nevezzük és -el jelöljük.
Az x2-nél ez az egész x tengely.
Az y tengelynek azt a részét, amit az x-ekhez hozzárendeltünk értékkészletnek nevezzük.
Egy függvény értelmezési tartományát az alapján is megadhatjuk, hogy milyen kedvünk van éppen.
Hogyha például rossz kedvünk van, mondhatjuk azt, hogy vegyük az x2-et csak a negatív x-ekre.
Vagy éppen ezekre az x-ekre:
És ilyenkor az értékkészlet…
Itt van aztán ennek a másik függvénynek a grafikonja.
A függvény képletét most épp nem tudjuk…
De ez nem is baj, a rajz alapján rengeteg dolgot meg tudunk róla mondani.
Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az x tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.
Ezek most a zérushelyek.
Nézzük, mi van az értelmezési tartománnyal.
A függvény -5 és 8 között van értelmezve.
Hogyha itt üres karika van…
Az azt jelenti, hogy a -5 már nincs benne az értelmezési tartományban.
A 8-nál viszont teli karika van, az tehát benne van.
Az értékkészlet pedig…
Végül itt jön még egy függvény.
Milyen számot rendel hozzá ez a függvény a 3-oz?
Melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli hozzá?
Mik a függvény zérushelyei?
Mindig csak ez a rengeteg kérdés…
Ha szeretnénk tudni, hogy mit rendel a függvény a 3-hoz…
egyszerűen csak be kell helyettesíteni x helyére 3-at.
És kész is.
Most nézzük, melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli.
Ilyenkor az x-et keressük, és ez az egész, ami egyenlő 12-vel.
És meg kell oldanunk ezt az egyenletet.
Két olyan szám van, aminek a négyzete éppen 16.
De most csak az egyik lesz jó.
Csak a 4 van benne ugyanis az értelmezési tartományban.
Egy függvény zérushelyét mindig úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük nullával.
Két olyan szám van, aminek a négyzete 4.
Ezek a zérushelyek.
