- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Sorozatok határértéke (emelt szint)
Nevezetes sorozatok határértékei 1
\( \frac{1}{n} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^2} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^3} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^k} \rightarrow 0 \)
Nevezetes sorozatok határértékei 2
\( n \rightarrow \infty \quad n^2 \rightarrow \infty \quad n^3 \rightarrow \infty \quad n^k \rightarrow \infty \)
Nevezetes sorozatok határértékei 3
\( \sqrt{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[3]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[4]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[k]{n} \rightarrow \infty \)
Nevezetes sorozatok határértékei 4
\( q^n \rightarrow \begin{cases} \infty \; \text{ha} \; q > 1 \\ 0 \; \text{ha} \; -1<q<1 \\ 1 \; \text{ha} \; q=1 \\ \text{div} \; \text{ha} \; q\leq -1 \end{cases} \)
Konvergens, divergens, oszcilláló sorozatok
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart, és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova. A sehova nem tartó sorozatok mindig oszcillálló sorozatok.
Hova tart az $a_n=q^n$ sorozat
ha $q>1$?
ha $\mid q \mid < 1$ ?
ha $q=1$?
ha $q=-1$?
a) \( \lim{\frac{4n^3-3n}{n^2+5n+2}} = ? \)
b) \( \lim{\frac{n^3+4n^2+5}{n^4+5n^2+7}} = ? \)
c) \( \lim{\frac{n^3-6n^2+1}{n^2+5n+6}} = ? \)
d) \( \lim{\left( \frac{n^2+5n+3}{2n^2+7n} \right)^3} = ? \)
e) \( \lim{\frac{5^{n+2}+2^{n-3}+3^{2n+1}}{4^{\frac{n}{2}} +5\cdot 3^{2n+1}+ 10}} = ? \)
f) \( \lim{\frac{ \sqrt{n^2+1} + 2n }{ \sqrt[3]{n^2+6}-\sqrt[5]{n^3}+4n }} = ? \)
a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)
c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)
d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)
e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} +2n }{ \sqrt[3]{n^2+6} - \sqrt[5]{n^3} +4n } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4+1} - \sqrt{ 9n^4-5n^2} +1 }{ \sqrt[4]{n^6+5n^4} + \sqrt[5]{n^8} + \sqrt{4n^4-9n} } } = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{n^4-4n^2+5} + \sqrt{n^4+6n} } = ? \)
d) \( \lim{ \sqrt{n^4-5n^2+4}+n^2 } = ? \)
e) \( \lim{ \sqrt{n^4-n}-\sqrt{n^2+1} } = ? \)
a) \( \lim{ n^5+4n^3+12n }= ? \)
b) \( \lim{ n^5-4n^3-12n }= ? \)
c) \( \lim{4n^3+n^2-n^5+16 } = ?\)
d) \( \lim{ \sqrt{4n^3+5}-n^4 } = ?\)
e) \( \lim{ \sqrt{4n^2+5n}-\sqrt{3n^2+7}}= ? \)
f) \( \lim{ \sqrt{3n^2+4n}-\sqrt{3n^2+7}}= ? \)
a) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^3+7}-n^2+n}{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4}} } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{\sqrt[3]{n^4-8n}+n^2+3n}{\sqrt{9n^4+1}-\sqrt{n^5+n^4}+n-n^2} } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^4+7}-3n^2+n}{n^2+4n-\sqrt[5]{n^4}} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{2^n-4\cdot 3^{n+2}}{5\cdot 3^{n-1} +2^{n+5} } } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{5^n-4\cdot 6^{n+2}}{ 3^{2n+1}+5^{n+2} } } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{ \left( (-1)^n +4 \right)^n -2 \cdot 3^{n+2}}{ 4 \cdot 3^{n+1} + 2^{-n}} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ? \)
c) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1} } } = ? \)
Sorozatok, Sorozatok határértéke, Határérték és műveletek, Összeg határértéke, Szorzat határértéke, Hányados határértéke. Sorozatok határértékének kiszámolása, rengeteg példa sorozatok határértékének kiszámolására: Polinom/polinom típusú sorozatok határértéke, Exponenciális sorozatok határértéke, Gyökös sorozatok határértéke, Nevezetes sorozatok határértéke, Határértékszámítás szabályai.Konvergens és divergens sorozatok. Megmutatjuk, mit jelent az, hogy egy sorozat konvergens és mit jelent az, hogy divergens. Határérték, Határértékkel rendelkező sorozatok, Határértékkel nem rendelkező sorozatok, Oszcilláló sorozatok, Oszcillálva konvergens és oszcillálva divergens sorozatok.Gyökös sorozatok határértéke, A nevező gyöktelenítése, A legmagasabb fokú tag megtalálása. Sorozatok határértékének kiszámolása, rengeteg példa sorozatok határértékének kiszámolására: Polinom/polinom típusú sorozatok határértéke, Exponenciális sorozatok határértéke, Gyökös sorozatokhatárértéke, Nevezetes sorozatok határértéke, Határértékszámítás szabályai.
Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.
Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.
Íme itt is van egy sorozat.
Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.
index
A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.
Ez a sorozat például közeledik a nullához.
Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.
A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.
És így jelöljük: vagy így:
Itt jön egy másik sorozat.
Ez a sorozat még inkább nullához tart.
Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.
Aztán itt vannak ezek a sorozatok.
Nos ők a végtelenbe tartanak.
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI
Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.
Ők is végtelenbe tartanak.
És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az
Ha akkor
sehova
Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.
Ha mondjuk és akkor logikusnak tűnik, hogy
De az élet sajnos ennél bonyolultabb.
Előfordulhat ugyanis, hogy és .
Hova tart ilyenkor az összegük?
Nos a helyzet az, hogy az sorozat tarthat mínusz végtelenbe,
egy konkrét számhoz
és plusz végtelenbe.
A sorozat szintén.
Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.
Nézzük meg őket.
Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.
Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.
Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.
Lehet mínusz végtelen is
lehet 42 is
és lehet plusz végtelen is
A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.
Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.
Itt sajnos kicsit sok eset lesz.
Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.
A folytatás már nem túl izgalmas:
Aztán végre néhány egyértelmű eset:
Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.
Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.
Mindjárt az első:
De van még.
Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.
A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.
Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a esettel.
HA k KONKRÉT SZÁM
Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.
Itt jön egy ilyen eset:
A trükk az, hogy leosztjuk –el.
A számlálót is és a nevezőt is.
Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.
Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.
Nézzünk meg egy másikat is.
Végülis osszuk le ezt is -el.
Lássuk mi jön ki.
A számláló 4-hez tart.
A nevező nullához.
Nos ez baj.
A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.
Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.
Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.
Először átalakítunk.
Aztán leosztunk.
A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.
Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
Van itt ez az n2,
de köbgyök alatt van.
Aztán itt van ez az n3,
de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.
Végül itt van ez az n,
na úgy tűnik ő nyert.
A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.
De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.
A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Konvergens
sorozatok
Divergens
sorozatok
Van
határérték
Nincs
határérték
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
A divergenciának azonban vannak fokozatai.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,
és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.
A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.
Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.
Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,
nos itt jön egy másik.
Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.
Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.
Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:
ha n páros
ha n páratlan
Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.
Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.
Az összeadásnál ez nem okoz problémát.
A kivonásnál…
se, ha nem rontjuk el.
És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.
Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,
így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.
Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.
Itt jön egy másik.
Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
És most lássunk valami egészen érdekeset.
Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.
Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…
jelre.
ugyanis szintén de
Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.
Innentől már a szokásos.
Itt jön aztán még egy:
És még egy:
Ha itt összeadás van, akkor kész is.
De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.
