Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart, és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova. A sehova nem tartó sorozatok mindig oszcillálló sorozatok.
Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.
a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)
c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)
d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)
e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)
