Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Gazdasági matematika ÚJ

Kategóriák
  • Függvények tulajdonságai és ábrázolása
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorok
  • Sorozatok határértéke
  • Sorozatok vizsgálata, monotonitás, küszöbindex
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság, érintő egyenlete
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • Integrálás
  • Határozott integrálás, területszámítás
  • Kétváltozós függvények
  • Mátrixok és vektorok
  • Lineáris függetlenség, bázis
  • Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek

Sorozatok határértéke

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Sorozatok határértéke
02
 
Hogyan kell kiszámolni a határértéket?
03
 
Az e-hez tartó sorozatok
04
 
Kellemetlenebb e-hez tartó sorozatok
05
 
Konvergens, divergens és oszcilláló sorozatok
06
 
Gyökös sorozatok
07
 
Divergens sorozatok
08
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
09
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
10
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
11
 
FELADAT | Trükkös sorozatok határértéke
12
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
13
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
14
 
FELADAT | Egyszerűbb sorozatok
15
 
FELADAT | Ronda gyökös sorozatok
16
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
17
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
18
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
19
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
20
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
21
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
22
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
23
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
24
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
25
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
26
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
27
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
28
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
29
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
30
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
31
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
32
 
FELADAT | Sorozatok határértéke
33
 
FELADAT | Sorozatok határértéke

Nevezetes sorozatok határértékei 1

\( \frac{1}{n} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^2} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^3} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^k} \rightarrow 0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes sorozatok határértékei 2

\( n \rightarrow \infty \quad n^2 \rightarrow \infty \quad n^3 \rightarrow \infty \quad n^k \rightarrow \infty \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes sorozatok határértékei 3

\( \sqrt{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[3]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[4]{n} \rightarrow \infty \quad  \sqrt[k]{n} \rightarrow \infty \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes sorozatok határértékei 4

\( q^n \rightarrow \begin{cases} \infty \; \text{ha} \; q > 1 \\ 0 \; \text{ha} \; -1<q<1 \\ 1 \; \text{ha} \; q=1 \\ \text{div} \; \text{ha} \; q\leq -1   \end{cases} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

e-hez tartó sorozatok határértéke

\( \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^n \rightarrow e^{\alpha} \)

\( \left( 1 + \frac{\alpha}{\text{IZÉ}} \right)^\text{IZÉ} \rightarrow e^{\alpha} \)

Ha IZÉ $ \rightarrow \infty$

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Konvergens, divergens, oszcilláló sorozatok

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.

Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.

Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart, és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova. A sehova nem tartó sorozatok mindig oszcillálló sorozatok.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Hova tart az $a_n=q^n$ sorozat

ha $q>1$?

ha $\mid q \mid < 1$ ?

ha $q=1$?

ha $q=-1$?

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) \( \lim{\frac{4n^3-3n}{n^2+5n+2}} = ? \)

b) \( \lim{\frac{n^3+4n^2+5}{n^4+5n^2+7}} = ? \)

c) \( \lim{\frac{n^3-6n^2+1}{n^2+5n+6}} = ? \)

d) \( \lim{\left( \frac{n^2+5n+3}{2n^2+7n} \right)^3} = ? \)

e) \( \lim{\frac{5^{n+2}+2^{n-3}+3^{2n+1}}{4^{\frac{n}{2}} +5\cdot 3^{2n+1}+ 10}} = ? \)

f) \( \lim{\frac{ \sqrt{n^2+1} + 2n }{ \sqrt[3]{n^2+6}-\sqrt[5]{n^3}+4n }} = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) \( \lim{  \left( 1+\frac{1}{n}  \right) } = ? \)

b) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n}  \right)^2 } = ? \)

c) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n}  \right)^4 }  = ? \)

d) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{n}  \right)^n } = ? \)

e) \( \lim{ \left( 1+\frac{4}{n^3} \right)^{n^3}  }  = ? \)

f) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{2n}  \right)^n } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

a) \( \lim{ \left( \frac{n+4}{n-5}  \right)^n } = ? \)

b) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-5}  \right)^n } = ? \)

c) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{3n+4}  \right)^n } = ? \)

d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+3n}{n^2+4n}  \right)^{4n-7} } = ? \)

e) \( \lim{ \left( \frac{3n^2+2n^3}{5n^2+2n^3}  \right)^{6n+4} } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)

b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)

c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)

d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)

e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)

f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} +2n }{ \sqrt[3]{n^2+6} - \sqrt[5]{n^3} +4n } } = ? \)

b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4+1} - \sqrt{ 9n^4-5n^2} +1 }{ \sqrt[4]{n^6+5n^4} + \sqrt[5]{n^8} + \sqrt{4n^4-9n} } } = ? \)

c) \( \lim{ \sqrt{n^4-4n^2+5} + \sqrt{n^4+6n} } = ? \)

d) \( \lim{ \sqrt{n^4-5n^2+4}+n^2 } = ? \)

e) \( \lim{ \sqrt{n^4-n}-\sqrt{n^2+1} } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

a) \( \lim{ n^5+4n^3+12n }= ? \)

b) \( \lim{ n^5-4n^3-12n }= ? \)

c) \( \lim{4n^3+n^2-n^5+16 } = ?\)

d) \( \lim{ \sqrt{4n^3+5}-n^4 } = ?\)

e) \( \lim{ \sqrt{4n^2+5n}-\sqrt{3n^2+7}}= ? \)

f) \( \lim{ \sqrt{3n^2+4n}-\sqrt{3n^2+7}}= ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

a) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^3+7}-n^2+n}{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4}} } = ?\)

b) \( \lim{ \frac{\sqrt[3]{n^4-8n}+n^2+3n}{\sqrt{9n^4+1}-\sqrt{n^5+n^4}+n-n^2} } = ?\)

c) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^4+7}-3n^2+n}{n^2+4n-\sqrt[5]{n^4}} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

a) \( \lim{ \frac{3n^2+5n-6}{n^3-5} }= ? \)

b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+4n-6}{n^3-5} }= ? \)

c) \( \lim{ (-1)^n \frac{5n^2+n-1}{n^2+n} } = ?\)

d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+1}{n^2+6n} } = ?\)

e) \( \lim{ \frac{(-1)^n \cdot n^2+n}{n^2+1} }= ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ?  \)

b) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ?  \)

c) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1} } } = ?  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+4n-6}{n^3-5} } = ?  \)

b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+1}{n^2+6n} } = ?  \)

c) \( \lim{ \frac{(-1)^n n^2 +3n + (-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}n^3 + n^2 + (-1)^n n} } = ?  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

a) \( \lim{ \sqrt{n-5} - \sqrt{2n+4} } = ?  \)

b) \( \lim{ \sqrt{n^2+7} - \sqrt{n^2+3n} } = ?  \)

c) \( \lim{ \sqrt{2n^2-5} - \sqrt{2n^2+3n-4} } = ?  \)

d) \( \lim{ \frac{1}{ \sqrt{3n^2+n} - \sqrt{3n^2-n+6} } }= ?  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2-8} - \sqrt{n^2+3n-4} }{ \sqrt{3n^2+n} - \sqrt{3n^2-n+6} } } = ?  \)

b) \( \lim{ n^2 \left( \sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2+5n} \right) } = ?  \)

c) \( \lim{ n \left( \sqrt{n^2-9} - \sqrt{n^2+n-4} \right) } = ?  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^3+7} -n^2 +n }{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4} } } = ?  \)

b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4-8n} + n^2+3n }{ \sqrt{9n^4+1}-\sqrt[3]{n^5+n^4}+n-n^2 }  }= ?  \)

c) \( \lim{ \sqrt{ \frac{ 4^{n+1}-5 }{ 2^{2n+1}+1 } } } = ?  \)

d) \( \lim{ \sqrt[3]{ \frac{ 24n^5-12n^3+3n }{ 7n-n^2-3n^5 } } } = ?  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

a) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2+9n^3-6 }{ 3n^3+5n } \right)^2 } = ?  \)

b) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2-4n-6 }{ 2n^2-7 } \right)^{12} } = ?  \)

c) \( \lim{ \sqrt{ \frac{ 20n^3-4n }{  5n^3+10n^2 }}} = ?  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

a) \( \lim{ \left( \frac{2n-7}{2n+5} \right)^n } = ?\)

b) \( \lim{ \left( \frac{3n-5}{3n+4} \right)^{3n} } = ?\)

c) \( \lim{ \left( \frac{ \sqrt{n}-2 }{ \sqrt{n}+2 } \right)^\sqrt{n} } = ? \)

d) \( \lim{ \left(\frac{ 2n^3+7}{2n^3-5}\right)^{\frac{n^3}{4}} } = ?\)

e) \( \lim{ \left(\frac{ 6n+n^2}{2n+n^2}\right)^{\frac{n+3}{2}} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

a) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)

b) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{3n+1} \right)^{n} } = ?\)

c) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{7+2n}{1-2n} \right)^{n-5} } = ?\)

d) \( \lim{ \left(\frac{ 5-2n}{1-2n}\right)^{n+3} } = ?\)

e) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{4n+5}{4n} \right)^{-3n+4} } = ?\)

f) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n-3} \right)^{\frac{4n-5}{3}} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

a) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ 6^n - 4^n - 3^n}{5^n -4^n -3^n} } }= ?\)

b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ n^n +n! +3^n}{5^n +4^n} } }= ?\)

c) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ n^n - n! - 5^n}{7^n -6^n -5^n} }} = ?\)

d) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 13+5}{5n+2} \right)^n + n \cdot 5^n }} = ?\)

e) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 12n+4}{3n+1} \right)^n + n \cdot 2^n }} = ?\)

f) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 12n+5}{3n-2} \right)^n - n \cdot 3^n }} = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

a) \( \lim{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} } = ?\)

b) \( \lim{ \left( 1 + \frac{n}{n^2+1} \right)^{n} } = ?\)

c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+5n+4}{n^2+4} \right)^{n} } = ?\)

d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+5n+4}{n^2+4} \right)^{n^2} } = ?\)

e) \( \lim{ \left( \frac{(n+2)!}{n! \cdot n^2} \right)^{n} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

a) \( \lim{ \left( \frac{n+7}{n-5} \right)^n } = ?\)

b) \( \lim{ \left( \frac{2n-7}{2n+5} \right)^n } = ?\)

c) \( \lim{ \left( \frac{3n-5}{3n+4} \right)^{3n} } = ?\)

d) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-1} \right)^{3n-7} } = ?\)

e) \( \lim{ \left( \frac{2n + (-1)^n}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)

f) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

a) \( \lim{ \frac{2^n-4\cdot 3^{n+2}}{5\cdot 3^{n-1} +2^{n+5} } } = ?\)

b) \( \lim{ \frac{5^n-4\cdot 6^{n+2}}{ 3^{2n+1}+5^{n+2} } } = ?\)

c) \( \lim{ \frac{ \left( (-1)^n +4 \right)^n -2 \cdot 3^{n+2}}{ 4 \cdot 3^{n+1} + 2^{-n}} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-2} \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim \sqrt[n]{2^n+3^n+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+n} \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \frac{2n^2+1}{2n^2-3} \right)^{5n^2} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \frac{2n+2}{2n+3} \right)^{n\sqrt{n}+5n} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{n \to \infty}{ \frac{3^n+2^n}{2^n-3^n} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{n \to \infty}{ \frac{2^n+3^n}{3^n-2^n} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Sorozatok határértéke

Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.

Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.

Íme itt is van egy sorozat.

Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.

index

A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.

Ez a sorozat például közeledik a nullához.

Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.

A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.

És így jelöljük:  vagy így:

Itt jön egy másik sorozat.

Ez a sorozat még inkább nullához tart.

Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.

Aztán itt vannak ezek a sorozatok.

Nos ők a végtelenbe tartanak.

NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI

Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.

Ők is végtelenbe tartanak.

És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az

Ha  akkor

sehova

Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.

Ha mondjuk  és  akkor logikusnak tűnik, hogy

De az élet sajnos ennél bonyolultabb.

Előfordulhat ugyanis, hogy  és .

Hova tart ilyenkor az összegük?

Nos a helyzet az, hogy az  sorozat tarthat mínusz végtelenbe,

egy konkrét számhoz

és plusz végtelenbe.

A  sorozat szintén.

Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.

Nézzük meg őket.

Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.

Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.

Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.

Lehet mínusz végtelen is

lehet 42 is

és lehet plusz végtelen is

A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.

Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.

Itt sajnos kicsit sok eset lesz.

Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.

A folytatás már nem túl izgalmas:

Aztán végre néhány egyértelmű eset:

Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.

Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.

Mindjárt az első:

De van még.

Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.

A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.

Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a  esettel.

HA k KONKRÉT SZÁM

Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.


Hogyan kell kiszámolni a határértéket?

Itt jön egy ilyen eset:

A trükk az, hogy leosztjuk –el.

A számlálót is és a nevezőt is.

Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.

Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.

Nézzünk meg egy másikat is.

Végülis osszuk le ezt is -el.

Lássuk mi jön ki.

A számláló 4-hez tart.

A nevező nullához.

Nos ez baj.

A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.

Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.

Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.

A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.

A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.

Először átalakítunk.

Aztán leosztunk.

A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.

Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.

Van itt ez az n2,

de köbgyök alatt van.

Aztán itt van ez az n3,

de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.

Végül itt van ez az n,

na úgy tűnik ő nyert.

A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.

De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.

A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.


Az e-hez tartó sorozatok

Most néhány nagyon vicces sorozat következik.

Íme itt az első.

Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.

Aztán itt van ez a másik.

És egy harmadik.

Nos ebben eddig semmi vicces nincs.

De az izgalmak most jönnek.

Van itt ez a határérték.

Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.

Csak az a baj, hogy nem.

Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.

Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.

De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.

Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.

Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.

Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,

akkor a határérték is kicsit megváltozik.

És van itt mégvalami.

Legalábbis akkor, ha

Nos nézzünk erre néhány példát.

Itt van például ez a határérték:

ami a képlet alapján

De ha ez a rész itt átváltozik

és a kitevő is,

nos akkor újra ugyanaz jön ki.

Vagy itt van egy másik:

Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.

Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.

Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et

vagy ebből n-et.

Csináljunk ebből n-et.

Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.

Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.

Van egy ilyen, hogy

Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:

De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.

Azokat a határértékeket ahol  megjelenik itt

és a kitevőben is,

mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.

A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.

Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.

Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is  van, akkor -el osztunk:

És rondább esetekkel is el tudunk bánni

Ha a kitevő konkrét szám, akkor:

De ha sajna itt  

ott  

akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk

Megeshet, hogy n2 is van.

Sőt lehet, hogy n3.

Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.


Kellemetlenebb e-hez tartó sorozatok

Most néhány nagyon vicces sorozat következik.

Íme itt az első.

Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.

Aztán itt van ez a másik.

És egy harmadik.

Nos ebben eddig semmi vicces nincs.

De az izgalmak most jönnek.

Van itt ez a határérték.

Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.

Csak az a baj, hogy nem.

Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.

Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.

De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.

Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.

Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.

Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,

akkor a határérték is kicsit megváltozik.

És van itt mégvalami.

Legalábbis akkor, ha

Nos nézzünk erre néhány példát.

Itt van például ez a határérték:

ami a képlet alapján

De ha ez a rész itt átváltozik

és a kitevő is,

nos akkor újra ugyanaz jön ki.

Vagy itt van egy másik:

Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.

Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.

Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et

vagy ebből n-et.

Csináljunk ebből n-et.

Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.

Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.

Van egy ilyen, hogy

Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:

De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.

Azokat a határértékeket ahol  megjelenik itt

és a kitevőben is,

mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.

A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.

Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.

Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is  van, akkor -el osztunk:

És rondább esetekkel is el tudunk bánni

Ha a kitevő konkrét szám, akkor:

De ha sajna itt  

ott  

akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk

Megeshet, hogy n2 is van.

Sőt lehet, hogy n3.

Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.


Konvergens, divergens és oszcilláló sorozatok

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.

Konvergens

sorozatok

Divergens

sorozatok

Van

határérték

Nincs

határérték

Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.

A divergenciának azonban vannak fokozatai.

Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,

és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.

A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.

Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.

Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,

nos itt jön egy másik.

Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.

Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.

Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:

ha n páros

ha n páratlan

Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.

Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.

Az összeadásnál ez nem okoz problémát.

A kivonásnál…

se, ha nem rontjuk el.

És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.

Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,

így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.


Gyökös sorozatok

Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.

Itt jön egy másik.

Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.

És most lássunk valami egészen érdekeset.

Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.

Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…

   jelre.

 ugyanis szintén  de

Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.

Innentől már a szokásos.

Itt jön aztán még egy:

És még egy:

Ha itt összeadás van, akkor kész is.

De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.


FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Trükkös sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Egyszerűbb sorozatok

FELADAT | Ronda gyökös sorozatok

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

Divergens sorozatok

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim