Függvények határértéke és folytonossága

Beszéljünk a határértékekről.

Van itt egy ártalmatlan függvény

amit kicsit izgalmasabbá teszünk ezzel a feltétellel.

Amikor a függvény még az unalmas  volt, a 3-hoz azt rendelte hozzá, hogy 6.

De amióta izgalmasabbá tettük, nos azóta már 8-at.

Ezt a tényt így jelöljük, hogy

és úgy mondjuk, hogy a függvény a 3-ban 8-at vesz föl.

Ezt nevezzük függvényértéknek.

Ugyanakkor, ha az x-ekkel közelítünk a 3-hoz,

akkor a függvényértékek közelítenek a 6-hoz.

A másik oldalról is.

Ezt a tényt, hogy ha  akkor  úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke 6 és így jelöljük:

Lássuk, mi van akkor, ha mondjuk .

A függvényérték

A határérték kiszámolásához föl kell tennünk magunknak azt a kérdést, hogy ha ,

akkor hova tart .

Nos a jelek szerint  

és a határérték tehát

Vannak tehát olyan x-ek a függvény életében, ahol a határérték és a függvényérték nem egyezik meg és vannak olyanok, ahol megegyezik.

A mi függvényünk esetében egyetlen olyan x van, ahol a határérték és a függvényérték eltér.

Ez éppen x = 3, ahol a függvénnyel ez a kis kellemetlenség történik.

Itt a függvény ugrik egyet, mindenhol máshol teljesen normálisan viselkedik.

Ezt a normális viselkedést úgy fogjuk nevezni, hogy a függvény folytonos.

Folytonosnak nevezzük a függvényt azokban az x-ekben ahol a határértéke és a függvényértéke megegyezik.

A folytonosság kimutatásra pedig éppen ez lesz a módszerünk:

Kiszámoljuk a határértéket, aztán kiszámoljuk a függvényértéket, végül pedig föltesszük magunknak azt a kérdést, hogy az így kapott két szám megegyezik-e vagy sem.

Nézzünk meg néhány határértéket.

Itt van például az  függvény.

Lássuk mennyi ez a határérték:

Nos ez egy folytonos függvény, ha a 2-t behelyettesítjük az jön ki, hogy

Hasonlóan nagy erőfeszítésekkel jár kiszámolni ezt is:

Mielőtt azonban túlzottan elbíznánk magunkat, nézzük meg ezt:

Ha itt x helyére 2-t írunk az jön ki, hogy

Ezzel pedig vannak bizonyos problémák. Aki nem hiszi, írja be a számológépbe és meglátja.

Szerencsére itt jön egy trükk.

Szorzattá alakítjuk a számlálót:

Aztán egyszerűsítünk.

És ebbe már be lehet helyettesíteni a 2-t.

Ha tehát itt van egy ilyen kellemetlenebb ügy, mint például ez:

Akkor a legfontosabb, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat,

aztán próbáljunk meg szorzattá alakítani.

Utána egyszerűsítünk,

és így már be lehet helyettesíteni.

A következő képsorból kiderül, hogy ez az egész egyszerűbb, mint azt valaha is gondoltuk volna.

Hogyan tudjuk kiszámolni ezt a határértéket?

Az első lépés, hogy helyettesítsük be a függvénybe az -t.

Nézzük meg mit kapunk.

Ha amit kapunk értelmezhető, akkor kész is vagyunk.

Az így kapott szám a határérték.

Ha amit kapunk nem értelmezhető,

na akkor baj van.

Ilyenkor általában ez a két eset szokott lenni,

néha van egy harmadik.

Lássuk mi a teendő az első két esetben.

Ilyenkor a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.

Ilyenkor csak a nevezőt alakítjuk szorzattá.

Ilyenkor is történik majd valami.

Vagyis mindig azt kell szorzattá alakítani, aki nulla.

Ha mindkettő nulla, akkor mindkettőt,

ha csak a nevező nulla, akkor csak a nevezőt.

Lássuk hogyan.

Nos így.

Itt ez a bizonyos  ugye az a szám, ahova x tart.

Ha éppen  akkor tehát 4.

Már csak annyi dolgunk van, hogy kitaláljuk ezeket.

Erre másodfokú esetben van egy trükk.

Ez most pont másodfokú, úgyhogy nézzük meg.

Föl kell tennünk magunknak néhány kérdést.

Az első kérdés: mit írjunk ide,

hogy kijöjjön az x2?

Az x jó ötletnek tűnik.

Eddig minden OK.

Most nézzük ezeket.

Na őket nem kell nézni.

Csak arra jók, hogy összezavarjanak minket, úgyhogy vegyük is őket halványabbra.

Amit nézni kell az ez.

És válaszolnunk kell arra a kérdésre, hogy a mínusz 4-et menyivel kell szoroznunk ahhoz, hogy 20-at kapjunk.

Ugyanez a trükk van alul is.

Nézzünk meg még egyet.

Azzal kezdjük, hogy behelyettesítjük a 2-t.

Ha ugyanis az jön ki, hogy 42, akkor kész is, nem kell csinálnunk semmit.

De nincs szerencsénk.

Így aztán megint jön a szorzattá alakítás.

Lássuk hogyan lesz 4x2.

Hasonló izgalmak várhatók alul is.

Most pedig lássuk ezeket.

Ez a másik eset kicsit kellemetlenebb lesz.

Itt ugyanis csak a nevezőt alakítjuk szorzattá,

és emiatt nem tudunk egyszerűsíteni.

De nézzünk egy konkrét példát.

Most is azzal kezdünk, hogy behelyettesítjük a 2-t, mert hátha szerencsénk lesz és kapunk egy konkrét számot.

Nincs szerencsénk.

Így aztán szorzattá alakítunk alul.

Felül ebben az esetben nincs értelme szorzattá alakítani,

de egyébként az -et nem is lehet.

Az tehát marad.

Alul a szokásos bűvészkedés következik.

És most jön ez a rész.

Ide már be lehet helyettesíteni a 2-t,

ezzel a résszel meg nagyon vicces dolgok fognak történni.

Vessünk egy pillantást erre a függvényre.

Ha  akkor .

De csak balról.

Ha ugyanis  jobbról

akkor

Ez nagyon érdekes és a következő jelölés van rá forgalomban:

Ilyenkor, amikor a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, azt mondjuk, hogy nem létezik határérték.

És még egy dolog.

Már az általános iskolában is tudtuk, hogy nullával nem lehet osztani. Ennek tehát nincs értelme:

Ezeknek viszont van.

Ha a nevező negatív számokon keresztül tart nullához, akkor a tört negatív végtelenbe tart.

Ha a pozitív számokon keresztül, akkor pedig plusz végtelenbe.

Mindez azért érdekes, mert így rajz nélkül is meg tudjuk oldani az előző feladatot.

Itt kezdtünk el rajzolgatni.

Most rajz helyett behelyettesítünk.

Ez így nem értelmezhető, de…

Meg kell nézni külön balról és jobbról.

Ha  akkor  és  negatív.

Ha viszont  akkor  és  pozitív.

Az eredmény így is ugyanaz: nincs határérték.

Lássunk néhány határértéket.

Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.

A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.

Aztán a szétválasztás.

Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.

A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.

Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.

De azért nem mindig.

Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.

Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.

Vagy mínusz végtelen.

Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.

Ha a kitevő páros, akkor van határérték.

Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.

Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.

Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.

A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.

De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.

Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.

Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.

Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.

Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.

Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.

Lássuk mit lehetne kiemelni.

Aztán alul szorzattá alakítunk.

És egyszerűsítünk.

Itt is először kiemelünk,

aztán szorzattá alakítunk.

Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.

Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:

Lássuk mihez kezdhetnénk velük.

Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.

Behelyettesítjük a 3-at,

kiderül, hogy 0/0 típus.

Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.

Felül ki lehet emelni x3-öt.

Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.

Felül mondjuk x3 kiemelhető,

de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.

 A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.

Lássunk néhány határértéket.

Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.

A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.

Aztán a szétválasztás.

Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.

A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.

Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.

De azért nem mindig.

Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.

Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.

Vagy mínusz végtelen.

Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.

Ha a kitevő páros, akkor van határérték.

Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.

Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.

Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.

A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.

De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.

Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.

Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.

Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.

Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.

Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.

Lássuk mit lehetne kiemelni.

Aztán alul szorzattá alakítunk.

És egyszerűsítünk.

Itt is először kiemelünk,

aztán szorzattá alakítunk.

Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.

Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:

Lássuk mihez kezdhetnénk velük.

Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.

Behelyettesítjük a 3-at,

kiderül, hogy 0/0 típus.

Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.

Felül ki lehet emelni x3-öt.

Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.

Felül mondjuk x3 kiemelhető,

de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.

 A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.

Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:

Lássunk egy példát.

Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?

Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,

mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.

Kiszámoljuk a határértéket,

aztán a függvényértéket

és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.

Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.

Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.

És tessék, így már folytonos.

Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.

Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.

Egészen pontosan lehetetlen.

Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban

és létezik véges a határértéke az -ban.

Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az  és  paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.

A rajz most is csak fekete mágia.

Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.

Aztán nézzük mi van a 3-ban.

Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.

Sőt már egyszerűsítettünk is.

 nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.

Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.

Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.

Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.

Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.

Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.

Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.

A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.

Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.

A FÜGGVÉNYEK ÉLETÉBEN FELMERÜLŐ PROBLÉMÁK.

Ha létezik véges határérték az a-ban és ez megegyezik a függvényértékkel, nos akkor a függvény folytonos.

Ha létezik véges határérték, az a-ban, de ez nem egyezik meg a függvényértékkel, akkor megszüntethető szakadás van.

Ha a bal oldali és a jobb oldali határérték két különböző szám az a-ban, akkor a szakadás nem megszüntethető és ugrásnak hívjuk.

Ha a bal és jobb oldali határérték nem is véges az a-ban, akkor pláne nem tehető folytonossá a függvény.

Végül meglehetősen patologikus esetek is vannak, amikor még csak jobb vagy bal oldali határérték sem létezik.

oscillating discontinuity

removable

jump discontinuity

Itt jön egy érdekes függvény:

A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.

Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.

Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.

4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen

az x=1 helyen?