Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Gazdasági matematika ÚJ

Kategóriák
  • Függvények tulajdonságai és ábrázolása
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorok
  • Sorozatok határértéke
  • Sorozatok vizsgálata, monotonitás, küszöbindex
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság, érintő egyenlete
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • Integrálás
  • Határozott integrálás, területszámítás
  • Kétváltozós függvények
  • Mátrixok és vektorok
  • Lineáris függetlenség, bázis
  • Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek

Függvények határértéke és folytonossága

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Mi a függvényhatárérték?
02
 
A határérték kiszámolása
03
 
Néhány izgalmasabb határérték
04
 
Bonyodalmak magasabb fokú esetekben
05
 
A folytonosság
06
 
Függvények folytonosságának vizsgálata
07
 
Függvények szakadásának típusai
08
 
Függvény határérték végtelenben
09
 
FELADAT | függvények határértéke
10
 
FELADAT | függvények határértéke
11
 
FELADAT | függvények folytonossága
12
 
FELADAT | függvények folytonossága
13
 
FELADAT | függvények folytonossága
14
 
FELADAT | függvények folytonossága
15
 
FELADAT | függvények folytonossága
16
 
FELADAT | függvények folytonossága
17
 
FELADAT | függvények folytonossága
18
 
FELADAT | függvények folytonossága
19
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
20
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
21
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
22
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
23
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
24
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
25
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
26
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
27
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
28
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
29
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
30
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
31
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
32
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
33
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
34
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
35
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
36
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
37
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
38
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
39
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
40
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
41
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
42
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
43
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
44
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága
45
 
FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

Függvény folytonossága

Az $f(x)$ függvény folytonos az $a$-ban, ha értelmezve van az $a$-ban, létezik és véges a határértéke az $a$-ban, és ami a lényeg:

\( \lim_{x \to a}{f(x)}=f(a) \)

 

Az $f(x)$ függvény folytonossá tehető az $a$-ban, ha létezik véges határértéke az $a$-ban.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Trigonometrikus határértékek

\( \lim_{x \to 0}{ \frac{ \sin{x} }{x}} = 1  \quad \lim_{ \text{IZÉ} \to 0}{ \frac{ \sin{\text{IZÉ}} }{ \text{IZÉ}} } = 1 \)

\( \lim_{x \to 0}{ \frac{ 1-\cos{x} }{x^2}} = \frac{1}{2} \quad \lim_{ \text{IZÉ} \to 0}{ \frac{1-\cos{ \text{IZÉ}}}{ \text{IZÉ}^2} } = \frac{1}{2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ x^2}  $$

b) $$ \lim_{ x \to 3}{ x^2}  $$

c) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x^2-4}{x-2} }  $$

d) $$ \lim_{ x \to 3}{ \frac{x^2-3x}{x^2-9} }  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{4x^2-3x-10}{3x^2-8x+4} }  $$

b) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x^2+1}{x^2+x-6} }  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{4x^2+7x-15}{x^2+7x+12} }  $$

b) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3} }  $$

c) $$ \lim_{ x \to -3}{ \frac{4x^2+7x-15}{x^2+7x+12} }  $$

d) $$ \lim_{ x \to -4}{ \frac{4x^2+7x-15}{x^2+7x+12} }  $$

e) $$ \lim_{ x \to 5}{ \frac{x^2-1}{(x-5)^2} }  $$

f) $$ \lim_{ x \to 5}{ \frac{x^2-26}{(x-5)^3} }  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{3x^3-12x^2}{x^4-16x^2} }  $$

b) $$ \lim_{ x \to 4}{ \frac{16x^2-x^4}{4x^3-16x^2} }  $$

c) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x^4-16}{x^3-8} }  $$

d) $$ \lim_{ x \to 3}{ \frac{x^4-3x^3}{x^4-5x^3+7x^2+5x-24} }  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

a) Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{4x^2-9x-9}{x^2-7x+12}, &\text{ha } x\neq 3 \quad x\neq 4 \\ 17, &\text{ha } x=3 \end{cases} \)

b) Adjuk meg az $A$ és $B$ paramétereket úgy, hogy az aábbi függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.

\( f(x)= \begin{cases} \frac{3x^2-16x+20}{x^2-5x+6}, &\text{ha } x\neq 2 \quad x\neq 3 \\ A, &\text{ha } x=2 \\B, &\text{ha } x=3 \end{cases} \)

c) Folytonossá tehető-e az alábbi függvény az x=1 és az x=3 helyen?

\( f(x)= \frac{ (x-1)(12x-4x^2)}{(x-1)(3-x)^4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Döntsük el, hogy az alábbi függvények mely $x$-ekre folytonosak.

a) \( f(x)= \begin{cases} -2x+1, &\text{ha } x<-2 \\ x^3, &\text{ha } -2 \leq x \leq 2 \\12-x^2, &\text{ha } 2<x \end{cases} \)

b) \( f(x)= \begin{cases} e^x+1, &\text{ha } x\leq 0 \\ \frac{x^4-4x^2}{x^3-2x^2}, &\text{ha } 0 < x < 2 \\x^6-7x^3, &\text{ha } 2\leq x \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

a) Folytonos-e a következő függvény az $x=2$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} 15-x^2, &\text{ha } x\neq 2 \\ 2x+3, &\text{ha } x>2 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=1$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{Ax^2-Ax}{3x^2-7x+4}, &\text{ha } x<1 \\ \sqrt{4x^3+3x+9}, &\text{ha } x\geq 1 \end{cases} \)

c) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=3$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{9Ax-Ax^3}{x^2-7x+12}, &\text{ha } x<3 \\ -36, &\text{ha } x=3 \\ \frac{x^2+1}{3-x}, &\text{ha } 3<x \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \frac{3x^2+5x-6}{x^3-5} }  $$

b) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \frac{2x^3+1}{x^2+6x} }  $$

c) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \left( \frac{x+7}{x-5} \right)^x }  $$

d) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2+9x^3-6}{3x^3+5x} \right)^4 }  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

a) \( \lim_{ x \to 5}{ \frac{x^2-16x+55}{4x^2-16x-20} } \)

b) \( \lim_{ x \to -3}{ \frac{x^2-x-12}{3x^2+4x-15} } \)

c) \( \lim_{ x \to 4}{ \frac{16x^2-x^4}{4x^3-16x^2} }  \)

d) \( \lim_{ x \to 2}{ \frac{x^3-5x^2+6x}{x^4-16} }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

a) Megadható-e az $A$ és $B$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=-1$ és $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2-1 }{ 3x+3 }, &\text{ha } x<-1 \\ Ax+B, &\text{ha } -1 \leq x \leq 0 \\ \frac{x- \sin{2x}}{x+\sin{x}}, &\text{ha } x>0 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2+\sin^2{x} }{ x^3-\tan{(4x^2)} }, &\text{ha } x<0 \\ A, &\text{ha } x=0 \\ \frac{x^2-\sin{(3x)^2}}{ \sin^2{2x}+3x }, &\text{ha } x>0 \end{cases} \)

c) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=4$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{x-4}+x^2-16 }{ \tan{(x^2-16)} }, &\text{ha } x<4 \\ 12A, &\text{ha } x=4 \\ -24\frac{16x^2-4x^3}{ x^4-64 }, &\text{ha } x>4 \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Folytonos-e az alábbi függvény az \( x=4 \) helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2-16 }{ x^2-5x+14 }, &\text{ha } x\neq 1 \; x \neq 4 \\ 12, &\text{ha } x=4  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Milyen \( A \) paraméter esetén tehető folytonossá az alábbi függvény az \( x=4 \) helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2-16 }{ x^2-5x+4 }, &\text{ha } x\neq 1 \; x \neq 4 \\ Ax+1, &\text{ha } x=4  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén tehető folytonossá az alábbi függvény az \( x=3 \) és \( x=4 \) helyeken?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{ (x-4)} }{ x^2-7x+12 }, &\text{ha } x\neq 3 \; x \neq 4 \\ A, &\text{ha } x=3 \\  B, &\text{ha } x=4  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén tehető folytonossá az alábbi függvény az \( x=3 \) és \( x=4 \) helyeken?

\( f(x)= \begin{cases} x\cdot \arctan{ \frac{1}{x^2-4x} }, &\text{ha } x\neq 0 \; x \neq 4 \\ A, &\text{ha } x=0 \\  B, &\text{ha } x=4  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Állapítsuk meg az alábbi függvényről, hogy folytonos-e.

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2}{e^x+1}, &\text{ha } x\leq 0 \\ \frac{ \sin{x} + \sin{2x}}{x \cdot \cos{x}}, &\text{ha } 0<x  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Milyen \( A \) paraméter esetén lesz folytonos az alábbi függvény?

\( f(x)= \begin{cases} A \cdot e^{x-4}, &\text{ha } x\leq 4 \\ \frac{ \sin{(x-4)} }{x^2-7x+12}, &\text{ha } 4<x  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén lesz folytonos az alábbi függvény?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{ \left( \pi \cdot \sqrt[3]{x^4} \right)} }{ 1-\cos{ \sqrt[3]{x^2}} }, &\text{ha } x<0 \\ Ax+B, &\text{ha } 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^2-x^4}{x^2-1}, &\text{ha } 1<x  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \arctan{ \frac{1}{x-4} } + \frac{ x^2-9}{x^2-3x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \arctan{ \frac{x^2-5x+6}{x^2-7x+12} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{ \left( \pi \cdot \sqrt[4]{x^3} \right) } }{ \sqrt[4]{x^3} }, &\text{ha } x<0 \\ \frac{ x^4-16 }{x^3-4x}, &\text{ha } x>0  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \frac{ |x-4| \cdot \sin{x} }{ x^2-4x } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \frac{ |x-5| \cdot \sin{(x-4)} }{ x^2-9x+20 } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= x^2 \cdot \arctan{ \frac{1}{x^2-4x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \begin{cases} e^{ - \frac{1}{x^2}}, &\text{ha } x<0 \\ \frac{ \arctan{ \frac{1}{x}} }{\sin{x}}, &\text{ha } x>0  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin^2{x} }{ 1-\cos{x} }, &\text{ha } x<0 \\ \arctan{ \frac{x}{x-1} }, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ A(x+\ln{x}), &\text{ha } 1\leq x < 2  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \begin{cases} \arctan{ \frac{x-5}{x-4} }, &\text{ha } x<4 \\ A \cdot \cosh^4{(x-4)}, &\text{ha } x\geq 4  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} e^x+1, &\text{ha } x\leq 0 \\ x+1, &\text{ha } 0<x<1 \\ x^2, &\text{ha } 1 \leq x  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} e^x, &\text{ha } x\geq 0 \\ x^2+1, &\text{ha } x<0  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

29.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} 1-x, &\text{ha } x\geq 0 \\ x^2+1, &\text{ha } x<0  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

30.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^2+x+1} - \sqrt{x^2+1} \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

31.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} x^2, &\text{ha } x<1 \\ 2-x^2, &\text{ha } x\geq 1  \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

32.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{1} \frac{x^3-3x^2}{2x-2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

33.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{+ \infty} \left( \frac{x-1}{x+3} \right)^{x^2+5} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

34.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{+\infty} \left( \frac{2x+1}{2x-4} \right)^{\frac{x}{3}+2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

35.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{+\infty} \frac{2x^3-3x^2+6x+1}{(2x-1)^3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

36.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^5+6x^2-1}{2x^3+4x^5+x+3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

37.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^5+3x^2+2}{2x^5+4x^3+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mi a függvényhatárérték?

Beszéljünk a határértékekről.

Van itt egy ártalmatlan függvény

amit kicsit izgalmasabbá teszünk ezzel a feltétellel.

Amikor a függvény még az unalmas  volt, a 3-hoz azt rendelte hozzá, hogy 6.

De amióta izgalmasabbá tettük, nos azóta már 8-at.

Ezt a tényt így jelöljük, hogy

és úgy mondjuk, hogy a függvény a 3-ban 8-at vesz föl.

Ezt nevezzük függvényértéknek.

Ugyanakkor, ha az x-ekkel közelítünk a 3-hoz,

akkor a függvényértékek közelítenek a 6-hoz.

A másik oldalról is.

Ezt a tényt, hogy ha  akkor  úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke 6 és így jelöljük:

Lássuk, mi van akkor, ha mondjuk .

A függvényérték

A határérték kiszámolásához föl kell tennünk magunknak azt a kérdést, hogy ha ,

akkor hova tart .

Nos a jelek szerint  

és a határérték tehát

Vannak tehát olyan x-ek a függvény életében, ahol a határérték és a függvényérték nem egyezik meg és vannak olyanok, ahol megegyezik.

A mi függvényünk esetében egyetlen olyan x van, ahol a határérték és a függvényérték eltér.

Ez éppen x = 3, ahol a függvénnyel ez a kis kellemetlenség történik.

Itt a függvény ugrik egyet, mindenhol máshol teljesen normálisan viselkedik.

Ezt a normális viselkedést úgy fogjuk nevezni, hogy a függvény folytonos.

Folytonosnak nevezzük a függvényt azokban az x-ekben ahol a határértéke és a függvényértéke megegyezik.

A folytonosság kimutatásra pedig éppen ez lesz a módszerünk:

Kiszámoljuk a határértéket, aztán kiszámoljuk a függvényértéket, végül pedig föltesszük magunknak azt a kérdést, hogy az így kapott két szám megegyezik-e vagy sem.

Nézzünk meg néhány határértéket.

Itt van például az  függvény.

Lássuk mennyi ez a határérték:

Nos ez egy folytonos függvény, ha a 2-t behelyettesítjük az jön ki, hogy

Hasonlóan nagy erőfeszítésekkel jár kiszámolni ezt is:

Mielőtt azonban túlzottan elbíznánk magunkat, nézzük meg ezt:

Ha itt x helyére 2-t írunk az jön ki, hogy

Ezzel pedig vannak bizonyos problémák. Aki nem hiszi, írja be a számológépbe és meglátja.

Szerencsére itt jön egy trükk.

Szorzattá alakítjuk a számlálót:

Aztán egyszerűsítünk.

És ebbe már be lehet helyettesíteni a 2-t.

Ha tehát itt van egy ilyen kellemetlenebb ügy, mint például ez:

Akkor a legfontosabb, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat,

aztán próbáljunk meg szorzattá alakítani.

Utána egyszerűsítünk,

és így már be lehet helyettesíteni.

A következő képsorból kiderül, hogy ez az egész egyszerűbb, mint azt valaha is gondoltuk volna.


A határérték kiszámolása

Hogyan tudjuk kiszámolni ezt a határértéket?

Az első lépés, hogy helyettesítsük be a függvénybe az -t.

Nézzük meg mit kapunk.

Ha amit kapunk értelmezhető, akkor kész is vagyunk.

Az így kapott szám a határérték.

Ha amit kapunk nem értelmezhető,

na akkor baj van.

Ilyenkor általában ez a két eset szokott lenni,

néha van egy harmadik.

Lássuk mi a teendő az első két esetben.

Ilyenkor a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.

Ilyenkor csak a nevezőt alakítjuk szorzattá.

Ilyenkor is történik majd valami.

Vagyis mindig azt kell szorzattá alakítani, aki nulla.

Ha mindkettő nulla, akkor mindkettőt,

ha csak a nevező nulla, akkor csak a nevezőt.

Lássuk hogyan.

Nos így.

Itt ez a bizonyos  ugye az a szám, ahova x tart.

Ha éppen  akkor tehát 4.

Már csak annyi dolgunk van, hogy kitaláljuk ezeket.

Erre másodfokú esetben van egy trükk.

Ez most pont másodfokú, úgyhogy nézzük meg.

Föl kell tennünk magunknak néhány kérdést.

Az első kérdés: mit írjunk ide,

hogy kijöjjön az x2?

Az x jó ötletnek tűnik.

Eddig minden OK.

Most nézzük ezeket.

Na őket nem kell nézni.

Csak arra jók, hogy összezavarjanak minket, úgyhogy vegyük is őket halványabbra.

Amit nézni kell az ez.

És válaszolnunk kell arra a kérdésre, hogy a mínusz 4-et menyivel kell szoroznunk ahhoz, hogy 20-at kapjunk.

Ugyanez a trükk van alul is.

Nézzünk meg még egyet.

Azzal kezdjük, hogy behelyettesítjük a 2-t.

Ha ugyanis az jön ki, hogy 42, akkor kész is, nem kell csinálnunk semmit.

De nincs szerencsénk.

Így aztán megint jön a szorzattá alakítás.

Lássuk hogyan lesz 4x2.

Hasonló izgalmak várhatók alul is.

Most pedig lássuk ezeket.

Ez a másik eset kicsit kellemetlenebb lesz.

Itt ugyanis csak a nevezőt alakítjuk szorzattá,

és emiatt nem tudunk egyszerűsíteni.

De nézzünk egy konkrét példát.

Most is azzal kezdünk, hogy behelyettesítjük a 2-t, mert hátha szerencsénk lesz és kapunk egy konkrét számot.

Nincs szerencsénk.

Így aztán szorzattá alakítunk alul.

Felül ebben az esetben nincs értelme szorzattá alakítani,

de egyébként az -et nem is lehet.

Az tehát marad.

Alul a szokásos bűvészkedés következik.

És most jön ez a rész.

Ide már be lehet helyettesíteni a 2-t,

ezzel a résszel meg nagyon vicces dolgok fognak történni.

Vessünk egy pillantást erre a függvényre.

Ha  akkor .

De csak balról.

Ha ugyanis  jobbról

akkor

Ez nagyon érdekes és a következő jelölés van rá forgalomban:

Ilyenkor, amikor a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, azt mondjuk, hogy nem létezik határérték.

És még egy dolog.

Már az általános iskolában is tudtuk, hogy nullával nem lehet osztani. Ennek tehát nincs értelme:

Ezeknek viszont van.

Ha a nevező negatív számokon keresztül tart nullához, akkor a tört negatív végtelenbe tart.

Ha a pozitív számokon keresztül, akkor pedig plusz végtelenbe.

Mindez azért érdekes, mert így rajz nélkül is meg tudjuk oldani az előző feladatot.

Itt kezdtünk el rajzolgatni.

Most rajz helyett behelyettesítünk.

Ez így nem értelmezhető, de…

Meg kell nézni külön balról és jobbról.

Ha  akkor  és  negatív.

Ha viszont  akkor  és  pozitív.

Az eredmény így is ugyanaz: nincs határérték.


Néhány izgalmasabb határérték

Lássunk néhány határértéket.

Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.

A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.

Aztán a szétválasztás.

Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.

A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.

Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.

De azért nem mindig.

Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.

Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.

Vagy mínusz végtelen.

Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.

Ha a kitevő páros, akkor van határérték.

Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.

Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.

Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.

A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.

De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.

Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.

Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.

Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.

Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.

Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.

Lássuk mit lehetne kiemelni.

Aztán alul szorzattá alakítunk.

És egyszerűsítünk.

Itt is először kiemelünk,

aztán szorzattá alakítunk.

Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.

Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:

Lássuk mihez kezdhetnénk velük.

Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.

Behelyettesítjük a 3-at,

kiderül, hogy 0/0 típus.

Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.

Felül ki lehet emelni x3-öt.

Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.

Felül mondjuk x3 kiemelhető,

de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.

 A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.


Bonyodalmak magasabb fokú esetekben

Lássunk néhány határértéket.

Most pedig az előző képsorban bemutatott bűvészmutatványok következnek.

A számláló marad, a nevezőben megint jönnek a bűvészmutatványok.

Aztán a szétválasztás.

Ebbe a részbe már be is lehet helyettesíteni.

A bal oldali és a jobb oldali határérték nem egyezik meg, így nincs határérték.

Ezekben a szám/nulla esetekben általában ez szokott lenni.

De azért nem mindig.

Ha a nevező valami a négyzeten, akkor az tuti pozitív.

Ilyenkor létezik határérték és az plusz végtelen.

Vagy mínusz végtelen.

Ha a nevező valami a köbön, akkor az lehet ilyen is olyan is.

Ha a kitevő páros, akkor van határérték.

Ha a kitevő páratlan, akkor nincs.

Itt jön aztán néhány izgalmasabb ügy.

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük a 4-et.

Nos ez azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is szorzattá kéne alakítani.

A számlálóban kiemelünk x-et és meg is van a szorzattá alakítás.

De sajnos a nevezőben található gyökjel kisebb problémákat okoz.

Valahogyan ott is elő kéne varázsolnunk -et, de ehhez egy trükkre van szükség.

Gyökteleníteni fogjuk a nevezőt.

Itt jön néhány eset, amikor magasabb fokú kifejezések vannak a határértékekben.

Ezekben az esetekben általában érdemes kiemeléssel kísérletezni.

Ez legtöbbször sikerül is. Néha nem, ilyenkor az erősebb idegzetűek próbálkozhatnak polinom osztással, a gyengébb idegzetűeknek pedig érdemes kétségbe esni.

Lássuk mit lehetne kiemelni.

Aztán alul szorzattá alakítunk.

És egyszerűsítünk.

Itt is először kiemelünk,

aztán szorzattá alakítunk.

Kis izgalmak azért adódnak az egyszerűsítésnél.

Szükség lehet néhány újabb azonosságra is. Nos itt volnának:

Lássuk mihez kezdhetnénk velük.

Most pedig jöjjön egy igazán vicces ügy.

Behelyettesítjük a 3-at,

kiderül, hogy 0/0 típus.

Így aztán a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítanunk.

Felül ki lehet emelni x3-öt.

Sajnos azonban van egy kis probléma, ugyanis a számláló és a nevező is negyedfokú.

Felül mondjuk x3 kiemelhető,

de az izé kitalálásához rettenetes polinomosztásra lesz szükség.

 A valami és az izé kitalálásához ezért rettenetes polinomosztásra lesz szükség.


A folytonosság

Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:

Lássunk egy példát.

Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?

Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,

mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.

Kiszámoljuk a határértéket,

aztán a függvényértéket

és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.

Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.

Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.

És tessék, így már folytonos.

Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.

Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.

Egészen pontosan lehetetlen.

Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban

és létezik véges a határértéke az -ban.

Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az  és  paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.

A rajz most is csak fekete mágia.

Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.

Aztán nézzük mi van a 3-ban.

Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.

Sőt már egyszerűsítettünk is.

 nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.

Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.

Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.

Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.

Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.

Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.

Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.

A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.

Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.


Függvények szakadásának típusai

A FÜGGVÉNYEK ÉLETÉBEN FELMERÜLŐ PROBLÉMÁK.

Ha létezik véges határérték az a-ban és ez megegyezik a függvényértékkel, nos akkor a függvény folytonos.

Ha létezik véges határérték, az a-ban, de ez nem egyezik meg a függvényértékkel, akkor megszüntethető szakadás van.

Ha a bal oldali és a jobb oldali határérték két különböző szám az a-ban, akkor a szakadás nem megszüntethető és ugrásnak hívjuk.

Ha a bal és jobb oldali határérték nem is véges az a-ban, akkor pláne nem tehető folytonossá a függvény.

Végül meglehetősen patologikus esetek is vannak, amikor még csak jobb vagy bal oldali határérték sem létezik.

oscillating discontinuity

removable

jump discontinuity

Itt jön egy érdekes függvény:

A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.

Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.

Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.

4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen

az x=1 helyen?


Függvények folytonosságának vizsgálata

Függvény határérték végtelenben

FELADAT | függvények határértéke

FELADAT | függvények határértéke

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | függvények folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

FELADAT | Függvények határértéke és folytonossága

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim