Gazdasági matematika ÚJ epizód tartalma:
A függvények folytonossága egy nagyon fontos fogalom a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. A folytonosság, Bal és jobb oldali folytonosság, Függvények határértéke, A függvény határérték kiszámolása, 0/0 és szám/0 esetek, Bal oldali határérték, Jobb oldali határérték, Kétoldali határérték, Függvény folytonosság feladatok.
Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:
Lássunk egy példát.
Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,
mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.
Kiszámoljuk a határértéket,
aztán a függvényértéket
és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.
Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.
Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.
És tessék, így már folytonos.
Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.
Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.
Egészen pontosan lehetetlen.
Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban
és létezik véges a határértéke az -ban.
Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az és paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.
A rajz most is csak fekete mágia.
Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.
Aztán nézzük mi van a 3-ban.
Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.
Sőt már egyszerűsítettünk is.
nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.
Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.
Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.
Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.
Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.
Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.
Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.
A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.
Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.
Gazdasági matematika ÚJ epizód.