- Függvények tulajdonságai és ábrázolása
- Összetett függvény és inverzfüggvény
- Sorok
- Sorozatok határértéke
- Sorozatok vizsgálata, monotonitás, küszöbindex
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság, érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Integrálás
- Határozott integrálás, területszámítás
- Kétváltozós függvények
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis
- Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek
Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek
Együtthatómátrix
Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.
Gauss-elimináció
A Gauss-elimináció egy lineáris egyenletrendszerek megoldására használt algoritmus.
Az elimináció lényege, hogy egyenletrendszerünket visszavezetjük vagy valamely háromszög- vagy átlós mátrix alakra.
A Gauss-elimináció megengedett lépései:
- Két sort (egyenletet) felcserélhetünk
- Egy sort (egyenletet) nem nulla számmal szorozhatunk
- Egyik sorhoz (egyenlethez) hozzáadhatjuk egy másik sor (egyenlet) nem nulla számsorosát
Szuper-Gauss = elemi bázistranszformáció
Az elemi bázistranszformáció (Szuper-Gauss) a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy algoritmikus módja.
1. lépés: a generáló elem választása
Csak x-es oszlopból és e-s sorból választhatunk generáló elemet, nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy mínusz 1-et érdemes.
2. lépés: a bázistranszformáció
A generáló elem sorát osztjuk a generáló elemmel, oszlopát elhagyjuk.
A többi elemből kivonjuk a generáló elem neki megfelelő sorában és oszlopában lévő számok szorzatát, osztva a generálóelemmel.
3. lépés: megint generáló elem választás
Újra és újra végrehatjuk a bázistranszformációt, amíg az összes oszlop el nem tűnik
4. lépés: az utolsó transzformáció és a megoldás
Elemi bázistranszformáció
Az elemi bázistranszformáció (Szuper-Gauss) a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy algoritmikus módja.
1. lépés: a generáló elem választása
Csak x-es oszlopból és e-s sorból választhatunk generáló elemet, nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy mínusz 1-et érdemes.
2. lépés: a bázistranszformáció
A generáló elem sorát osztjuk a generáló elemmel, oszlopát elhagyjuk.
A többi elemből kivonjuk a generáló elem neki megfelelő sorában és oszlopában lévő számok szorzatát, osztva a generálóelemmel.
3. lépés: megint generáló elem választás
Újra és újra végrehatjuk a bázistranszformációt, amíg az összes oszlop el nem tűnik
4. lépés: az utolsó transzformáció és a megoldás
Egyenletrendszer végtelen sok megoldással
Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
Bázistranszformációval, ha maradnak $\underline{e}$-s sorok ahol már nem tudunk generáló elemet választani, olyankor mindig végtelen sok megoldás van, vagy nincs megoldás.
Ellentmondó egyenletrendszer
Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.
Szabadságfok
A bázistranszformáció során fent maradt x-ek úgynevezett szabadváltozók. A szabadságfok a szabadváltozók száma, tehát ahány $x_i$ fönt marad.
Mátrix inverze (négyzetes mátrix)
Négyzetes mátrixok inverzét a Gauss-elimináció segítségével úgy állíthatjuk elő, hogy megoldjuk az $Ax=b$ egyenletrendszert úgy, hogy a $b$ helyére beírjuk az egységmátrixot. Az eliminációs lépéseket addig kell végezni, amíg az egységmátrixot nem kapjuk az $A$ helyén, a $b$ helyén keletkezett mátrix pedig az $A$ mátrix inverze lesz.
Mátrix inverze nem négyzetes mátrixok esetében
Az inverz kiszámolása rettentő egyszerű dolog. Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot a szokásos táblázatba, és mellé írjuk az egységmátrixot. Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
\( x_1 + 2x_2 + x_3= 8 \)
\( 2x_1+x_2-x_3=1 \)
\( 2x_1-x_2+x_3=3 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.
\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)
\( x_1-x_3+x_4=2 \)
\( 2x_2+x_4=8 \)
\( x_1+x_4=5 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a bázis transzformáció segítségével.
a)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)
b)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)
Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a bázis transzformáció segítségével oldjuk meg.
\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)
\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)
Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)
\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)
\( x_2+2x_3+x_4=1 \)
\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)
\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)
Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a
\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.
Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és
\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)
Itt jön egy egyenletrendszer.
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
Hát ugye az nincs
az nincs és sincs
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
A nulla miatt ebben az oszlopban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész oszlop marad.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen.
Hát ezért éri meg így választani.
A nullák megkönnyítik az életünket.
Kiszámolni csak ezeket kell.
A nulla miatt ebben az oszlopban mindenki marad
Sőt, ebben a sorban is mindenki marad.
És ebben a sorban is.
Alig kell valamit számolni.
Ezt az egyet kell kiszámolni:
Nézzünk meg két nagyon izgalmas egyenletrendszert!
Ebben az egyenletrendszerben valójában
csak két egyenlet van.
A harmadik egyenlet ugyanis az első kettő összege.
Ilyen alapon lehetne még egy negyedik, ötödik,
sőt hatodik egyenlet is.
Valójában tehát csak két egyenlet van, vagyis több
az ismeretlen, mint ahány egyenlet, és ilyenkor
az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
Na ennyi elég
Ebben az egyenletrendszerben a harmadik egyenlet
szintén az első kettő összege, de van egy kis gond.
A jobb oldal ugyanis nem stimmel, mert 5 helyett 6 van.
Ilyenkor ugye nem tud egyszerre mindegyik egyenlet
teljesülni, vagyis az egyenletek ellentmondanak,
és ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.
Van tehát két egyenletrendszerünk, és mi előre tudjuk, hogy az egyiknek végtelen sok megoldása lesz, a másiknak pedig nem lesz megoldása.
Nézzük meg, hogy ha elkezdjük megoldani ezeket az egyenletrendszereket a jól bevált elemi bázistranszformációval, akkor vajon hogyan fog kiderülni, hogy az egyiknek
végtelen sok megoldása van, a másiknak pedig nincs megoldása.
Itt kezdődnek a problémák.
-at ugyanis nem tudjuk lehozni, mert 0-t nem választhatunk generáló elemnek.
A bázistranszformáció tehát úgy ér véget, hogy marad egy –s sor.
HA MARADNAK -S SOROK, AHOL MÁR NEM TUDUNK GENERÁLÓ ELEMET VÁLASZTANI, OLYANKOR MINDIG VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN, VAGY NINCS MEGOLDÁS.
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN
x-es oszlop
0
0
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR NINCS MEGOLDÁS
x-es oszlop
0
NEM 0
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
A fent maradt változók úgynevezett szabad változók, ők t, s és egyéb néven szerepelnek tovább a történetben.
A MEGOLDÁS:
ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:
SZABADSÁGFOK=ahány fönt marad
(most a szabadságfok 1)
RANG=ahány levihető
(most a rang 2)
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
Itt már nincs további teendő
Az és paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
Elkezdjük megoldani a bázistranszformációval.
Olyan sorban és oszlopban, ahol paraméter van, nem ajánlatos generáló elemet választani.
Ezeket tehát kerüljük el!
Van itt ez a marhajó 1-es, válasszuk ezt.
Elkerüljük a paramétereket, amíg lehet.
Most elkezdünk egy kicsit gondolkodni.
1.ESET és
végtelen sok megoldás
2.ESET és
nincs megoldás
3.ESET és
levihető és egy megoldás
Na ennyi gondolkodás elég is volt.
Az , és paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
Amíg lehet ne válasszunk generáló elemet olyan sorban vagy oszlopban,
amiben paraméter van.
van itt ez a remek 1-e, válaszzuk ezt!
Aztán ezt a másik 1-est választjuk. Marha nagy szerencsénk van a nullákkal.
A nulla miatt ebben a sorban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész sor marad ahogy van,
meg itt is,
sőt itt is.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen. A nullák megkönnyítik az életünket.
A bázistranszformáció itt elakad, a legalsó sorban ugyanis csupa nulla van, a felette
lévőben pedig paraméter.
Kezdjünk el kicsit gondolkodni!
1.ESET
nincs megoldás és bármi lehet.
2.ESET
nincs megoldás, és bármi lehet.
3.ESET és
ekkor levihető, végtelen sok megoldás, a szabadságfok egy
Van itt még valami.
Itt ugye, ha nem nulla van, akkor nincs megoldás.
De itt mindegy mi van, ha például ,
ennek akkor is van megoldása.
Ne felejtsük el ugyanis, hogy ezek
a feltételek csak -s sorokra vonatkoznak.
Ez -s sor, tehát itt
tényleg nincs megoldás.
Ebben a sorban viszont már x van,
így semmilyen szabálynak nem kell teljesülnie.
Számítsuk ki a
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az és vektor.
illetve
Akkor állítható elő az vektor, ha léteznek olyan számok, hogy
illetve
Ez tulajdonképpen két egyenletrendszer:
Ezeket kell megoldanunk. Ha van megoldás, akkor az adott vektor előállítható, ha nincs megoldás, akkor nem állítható elő.
megoldjuk:
van megoldás,
így az vektor előállítható
Például
Jön a szokásos, és persze nagyon izgalmas bázistranszformáció.
nincs megoldás,
ezért a vektor sajna nem állítható elő
A bázistranszformáció itt sajnos elakad, mert az -s sorokban már csak nullák vannak.
Ilyenkor vagy végtelen sok megoldás van vagy nincs megoldás.
Lássuk, hogyan áll elő az vektor!
Az egyenletrendszer megoldását a
szokásos módon olvassuk le.
és tetszőleges
Ha mondjuk és nulla, akkor
A vektorrendszer rangja annyi, ahány x-et lehoztunk, vagyis most éppen kettő.
Az független vektorok, és
Mekkora a vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a vektor?
A vektor akkor állítható elő, ha van olyan amire
A jobb oldalt átrendezzük úgy, hogy lássuk mennyi van az vektorokból
Mivel független vektorok, ha például a bal oldalon egy darab van,
akkor a jobb oldalon is egy darab kell, hogy legyen,
vagy ha a bal oldalon két van, akkor jobb oldalon is.
Érdemes megfigyelni, hogy ezt a táblázatot
rögtön a feladatból is felírhatjuk.
Nincs más dolgunk, mint összeszámolni, hány darab van,
aztán azt, hogy hány darab és végül hány .
A megoldás:
A vektor előáll:
A vektorrendszer rangja pedig, mivel mindhárom x-et lehoztuk,
így a jelek szerint három.
Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.
Az -es mátrix inverze egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát ha a szereplőket megcseréljük,
akkor lehet, hogy valami egészen más mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.
Mindkét mátrixot inverznek nevezzük
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,
hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis
Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.
Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,
és maradjunk ennél a sorrendnél.
Itt van például egy mátrix:
Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.
Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.
A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.
Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.
Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy meg meg stb.
De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy
miért.
A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak , és .
Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.
Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi , és
Ehhez végezzük el a szorzást!
A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.
Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.
Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.
Valójában elég egyetlen táblázat.
A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.
A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.
A kapott megoldás éppen az inverz.
Csak annyi dolgunk van, hogy
sorba rakjuk a sorokat:
Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:
Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,
és mellé írjuk az egységmátrixot.
Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.
Elérkezett az idő, hogy olyan mátrixok inverzét is kiszámoljuk, amelyek nem -esek.
Ilyenkor a jobb oldali inverz és a bal oldali inverz nem egyezik meg.
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Itt van például egy mátrix
A bal oldali inverz 3x2-es lesz
A jobb oldali inverz szintén 3x2-es lesz
Mindkettőt bázistranszformációval számoljuk ki
Itt sajnos van egy kis gond.
bal oldali inverz
most nincs
jobb oldali inverz
most épp van
Maradt egy -s sor, amiben nem
mindenki nulla, tehát nincs megoldás.
Itt viszont van megoldás,
a fönt maradt legyen mondjuk .
