Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Gazdasági matematika ÚJ

Kategóriák
  • Függvények tulajdonságai és ábrázolása
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorok
  • Sorozatok határértéke
  • Sorozatok vizsgálata, monotonitás, küszöbindex
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság, érintő egyenlete
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • Integrálás
  • Határozott integrálás, területszámítás
  • Kétváltozós függvények
  • Mátrixok és vektorok
  • Lineáris függetlenség, bázis
  • Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek

Mátrixok és vektorok

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Mátrixok
02
 
Néhány speciális mátrix
03
 
Vektorok
04
 
Oszlopösszegzés, sorösszegzés, oszlop és sor kiemelése
05
 
Néhány izgalmas mátrixművelet
06
 
Nézzünk még néhány műveletet

Mátrix

Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

pl.: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrix számmal osztása

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

pl.: \( \frac{\begin{pmatrix} 6 & 9 & -12 \\ 3 & 3 & 15 \end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrix számmal szorzása

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

pl.: \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 21 & -6 \\ 6 & 6 & 3 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixok kivonása

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixok összeadása

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 11 & 5 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix} \)

A mátrixok összeadása kommutatív, azaz

\( A + B = B + A \)

És asszociatív, azaz

\( (A+B)+C = A+(B+C) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixok szorzása

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával.

Ha az A mátrix m x n-es a B mátrix pedig n x k-s, akkor az eredménymátrix m x k-s lesz.

Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

pl.: \( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 32 & 33 \\ 7 & 29 & 22 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixösszeadás tulajdonságai

Két mátrixot csak akkor adhatunk össze, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

A mátrix összeadás kommutatív:

\( A + B = B + A \)

És asszociatív:

\( (A+B)+C = A+(B+C) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixszorzás tulajdonságai

A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz:

\( A \cdot B \neq B \cdot A \)

De asszociatív, azaz:

\( ( A \cdot B ) \cdot C = A \cdot ( B \cdot C ) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Diagonális mátrix

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egységmátrix

Az egységmátrix olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely $A$ mátrixra $A \cdot I = A$.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

pl.: \( I_{2 x 2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Inverz mátrix

Az inverz mátrix jele $A^{-1}$ és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

$ A \cdot A^{-1} = I $ (jobb inverz)

$ A^{-1} \cdot A = I$ (bal inverz)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kvadratikus mátrix

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szimmetrikus mátrix

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

pl.: \( A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Transzponált

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése. Jele $A^T$ vagy $A^*$

pl.:

\(  A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix} \Rightarrow  A^T= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 7 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Diadikus szorzat

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

Pl.: \( \underline{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

\( \underline{a} \cdot \underline{b}^T = \begin{pmatrix} 12 & 3 & 6 \\ 8 & 2 & 4 \\ 20 & 5 & 10 \end{pmatrix} \)

Tulajdonságok:

nem kommutatív

nem asszociatív

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Skaláris szorzat

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Pl.: \( \underline{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

\( \underline{a}^T \cdot \underline{b} = 3 \cdot 4 + 2\cdot 1 + 5\cdot 2 = 24 \)

Tulajdonságok:

kommutatív: \( \underline{a}^T \cdot \underline{b} = \underline{b}^T \cdot \underline{a} \)

nem asszociatív: \( \left( \underline{a}^T \cdot \underline{b} \right)^T \cdot \underline{c} \neq \underline{a}^T \cdot \left( \underline{b}^T \cdot \underline{c} \right) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektor számmal osztása

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Pl.: \(  \frac{ \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 15\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 5\end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektor számmal szorzása

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Pl.: \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 15 \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektorok kivonása

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

Pl.: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 2\\ -8\end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektorok összeadása

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Pl.: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Tulajdonságok:

kommutatív: \( \underline{a} + \underline{b} = \underline{b} + \underline{a} \)

asszociatív: \( ( \underline{a} + \underline{b} ) + \underline{c} = \underline{a} + ( \underline{b} + \underline{c} ) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Végezzük el az alábbi műveleteket.

a) \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

b) \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}  \)

c) \( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \)

d)  \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Adjuk meg az alábbi mátrixok transzponált mátrixait!

a) \( A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix} \)

b) \( B=\begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

c) \( C=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Végezzük el az alábbi műveleteket.

a) \( 3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3  \\ 5 \end{pmatrix} \)

b) \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4  \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2  \\ 7 \end{pmatrix} \)

c)  \( \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1  \\ 2 \end{pmatrix} \)

d)  \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1  & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Végezzük el az alábbi műveleteket.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{l}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

a)

\( A \cdot \underline{l} = ?\)

\( \underline{l}^T \cdot A = ?\)

b) Mi történik, ha beszorozzuk az A mátrixot az $\underline{e}_2$ egységvektorral?

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

a) Egy áruszállító cég hat különböző országba szállít 5-féle terméket. Az $A$ mátrix azt írja le, hogy az egyes országokba hány darabot szállítanak a különböző termékekből. A $B$ mátrix pedig a szállítási költséget adja meg termékenként és országonként EUR-ban.

\( A = \begin{pmatrix} 450 & 67 & 765 & 310 & 70 \\ 610 & 87 & 964 & 510 & 88 \\ 480 & 72 & 710 & 321 & 76 \\ 756 & 96 & 864 & 412 & 91 \\ 656 & 75 & 689 & 311 & 56 \\ 340 & 24 & 457 & 233 & 23 \end{pmatrix} \quad B =\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & 2 & 2 & 2 \\ 5 & 8 & 4 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Írjuk föl mátrixműveletek segítségével ezeket:

1) A Németországba (2. sor) szállított termékek száma összesen.

2) A 4-es termékből (4. oszlop) Svájcba (3. sor) szállított mennyiség.

3) A 2-es termék (2. oszlop) Olaszországba (5. sor) szállításának összköltsége.

4) A Németországba (2. sor) szállított összes termék teljes szállítási költsége.

5) Az összes elszállított termék.

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Van itt néhány vektor, és végezzük el velük a következő műveleteket.

\( A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \end{pmatrix}  \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}  \)

\( C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7 \\ 3 & 1 & 8  \end{pmatrix} \quad \underline{d}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \)

\( E=< 2 \; 5 \; 7 > \)

a) \( A \cdot \underline{b} \)

b) \( A \cdot C \)

c) \( A \cdot C^* \)

d) \( \underline{b^*} \cdot \underline{d} \)

e) \( \underline{b} \cdot \underline{d^*} \)

f) \( A^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mátrixok

A mátrixok teljesen ártalmatlan teremtményei a matematikának.

Egy -as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll.

A mátrixokat az ABC nagy betűivel jelöljük. Itt van például ez:

Ez egy (2X3)-as mátrix.

A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,

és egy oszlopindexük.

A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,

és egy oszlopindexük.

Egy -as mátrix, ami  n  darab sorból és  k  darab oszlopból áll,

tehát valahogy így néz ki:

A mátrixok marhára hasznosak számunkra, erről fog szólni lényegében az egész lineáris algebra témakör.

Mielőtt azonban hasznosságukról személyesen is megbizonyosodhatnánk, előbb nézzük meg milyen műveleteket végezhetünk velük.

1.SKALÁRSZOROS

A skalár nem egy betegség, azt jelenti, hogy valamilyen szám, legtöbbször valós szám.

2.ÖSSZEADÁS

Egy -as mátrixhoz csak egy másik -as mátrixot adhatunk hozzá.

3.SZORZÁS

Na ez a legizgalmasabb.

Egy -as mátrixszal csak egy -es mátrixot szorozhatunk.

A szorzat mátrixnak annyi sora lesz, mint A-nak és annyi oszlopa, mint B-nek, elemei pedig úgy keletkeznek, hogy az A egyik sorát szorozzuk B-nek egy oszlopával

Jön a trükk, tudományos nevén Falk-séma. Ennek az a lényege, hogy a mátrixokat sarkosan helyezzük el, valahogy így:

Kész a szorzat!

A mátrixok szorzásának egyik érdekes tulajdonsága,

hogy nem kommutatív.

Ha például megpróbáljuk ezt a szorzást fordítva elvégezni,

kiderül, hogy nem is lehet.


Néhány speciális mátrix

Ismerkedjünk meg néhány speciális mátrixfajtával.

KVADRATIKUS MÁTRIX 

négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa

példa:

DIAGONÁLIS MÁTRIX

olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák

példa:

A diagonális mátrixoknak tehát csak a főátlója érdekes, mivel az összes többi elem nulla.

Ezért aztán vannak akik csak a főátló elemeket írják le. Ez a fura jel

valójában egy diagonális mátrix

EGYSÉGMÁTRIX

olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely  mátrixra  

az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy

INVERZ MÁTRIX

jele , és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

  (jobb inverz)         (bal inverz)

Később látni fogjuk, hogy nem is olyan egyszerű elővarázsolni egy mátrix inverzét.

Ez az inverz dolog valós számoknál sokkal könnyebb, ott ugyanis

  inverze      mert ugye 

  inverze      mert ugye 

TRANSZPONÁLT

a mátrix sorainak és oszlopainak a felcserélése, jele  vagy                                

SOR OSZLOP  OSZLOP SOR

példa:

        vagy       

Azokat a mátrixokat, amelyek transzponáltja önmaga szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Itt van például egy szimmetrikus mátrix:

Mindezek jelenleg nem tűnnek túl izgalmasnak, de hamarosan majd elérkezik az idő, amikor kelleni fognak.

Most viszont jöjjenek a vektorok!


Vektorok

Azokat a mátrixokat, amiknek csak egyetlen oszlopuk van, vektoroknak nevezzük.

A vektorokat az abc kis betűivel jelöljük és aláhúzzuk őket.

Itt van például két vektor:

Az  vektor -es vektor, a  pedig -es, de a  megemlítése teljesen felesleges, hiszen éppen azért nevezzük őket vektoroknak, mert csak egyetlen oszlopuk van.

Bőven elegendő tehát csak arról említést tenni, hogy hány darab számot tartalmaz maga a vektor. Ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük.

Megnyugtató, hogy amit a geometriában vektornak tekintünk,

és amit az imént vektorként definiáltunk megfeleltethetők egymásnak.

Ha ugyanis veszünk mondjuk a térben három egyenest úgy,

hogy egymásra merőlegesek legyenek majd pedig

ellátjuk őket egy skálázással, akkor a geometriai vektorok

egyértelműen megfeleltethetők számhármasoknak.

Vagyis amikor vektorokról beszélünk, egyszerre gondolhatunk

-es mátrixokra és  geometriai alakzatokra.

Lássuk milyen műveleteket tudunk vektorokkal végezni.

MŰVELETEK VEKTOROKKAL

1. SKALÁRSZOROS 

példa:

2. ÖSSZEADÁS          

példa:

TULAJDONSÁGOK:

kommutatív:

asszociatív:

3. SZORZÁS 

skaláris szorzat:                                       diadikus szorzat:

TULAJDONSÁGOK:

kommutatív:

nem asszociatív:

 és  

     és

a skaláris szorzat:

diadikus szorzat:

TULAJDONSÁGOK:

nem kommutatív

nem asszociatív

példa:

 és

a diadikus szorzat:

A kétféle szorzás közül a skaláris szorzat

nekünk sokkal hasznosabb lesz, így hát

elbúcsúzunk a diadikus szorzattól.

A skaláris szorzatra pedig bevezetünk

egy egyszerű jelölést.

Ezzel megspóroltunk néhány *-ot.

De lássuk mire jó még a skaláris szorzat.


Nézzünk még néhány műveletet

Van itt néhány mátrix és vektor és el kéne végezni velük pár műveletet.

Hát menjünk szépen sorban.

Ezzel van egy kis probléma.  nem elvégezhető.

Mátrixok hatványozására sajnos nincsen semmilyen trükk, tehát ha ki kell számolnunk ennek a mátrixnak a négyzetét, akkor négyzetre emelést úgy tudjuk elvégezni, hogy megszorozzuk önmagával.

Ha mondjuk a negyedik hatványára lenne szükség, akkor az bizony elég sokáig tart.

De szerencsére csak a négyzete kell.

Már csak  van hátra. Ezzel marhanagy mázlink van,  ugyanis egy diagonális mátrix.

A diagonális mátrixokat pedig könnyű hatványozni, egyszerűen a főátló elemeit külön-külön hatványozzuk.

Ez a módszer sajnos csak diagonális mátrixokra működik, de ott szuperül.

Ha négyszer egymás után összeszoroznánk, persze akkor is ugyanez jönne ki,

csak kicsit lassabban, akinek van kedve próbálja ki és nézze meg.


Oszlopösszegzés, sorösszegzés, oszlop és sor kiemelése

Néhány izgalmas mátrixművelet

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim