- Függvények tulajdonságai és ábrázolása
- Összetett függvény és inverzfüggvény
- Sorok
- Sorozatok határértéke
- Sorozatok vizsgálata, monotonitás, küszöbindex
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság, érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Integrálás
- Határozott integrálás, területszámítás
- Kétváltozós függvények
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis
- Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek
Függvények tulajdonságai és ábrázolása
Értékkészlet
Adott az $f: A \mapsto B$ függvény. A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a $B$ halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely $A$ halmazbeli elemekhez.
Az értékkészlet jele az angol range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés: $R_f$ vagy az akadálymentesített jelölése: É.K.
Értelmezési tartomány
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
Függvény esetén azokat a szerencsés $x$-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy $y$ számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.: $ f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} $ értelmezési tartománya $ \forall x \in R \setminus \{ -3 \} $, mert nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát a nevező nem lehet nulla ($x \neq 3$)
Függvénytranszformációk
Belső függvénytranszformáció: $f(x+a)$, ez úgy működik, hogy az $x$ tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
Külső függvénytranszformáció: $f(x)+a$, ez pedig az $y$ tengelyen tolja el a függvényt.
Függvény szorzása számmal: $a\cdot f(x)$, ilyenkor megnyújtjuk a függvényt az $y$ tengely szerint.
Függvény változójának szorzása egy számmal: $f(a \cdot x)$, ilyenkor az $x$ tengely szerint nyújtjuk a függvényt.
Függvény monotonitása
Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton növekedőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \leq f(x_2) $
Szigorúan monoton növekedő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) < f(x_2) $
Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton csökkenőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \geq f(x_2) $
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) > f(x_2) $
Függvény szélsőértéke
Függvény szélsőértékén a maximumát illetve minimumát értjük.
Precízebben:
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) maximuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \leq f(x_0)$.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) minimuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \geq f(x_0)$.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális maximuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a maximum.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális minimuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a minimum.
Függvény konvexitása
Konkávnak nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "szomorú hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes felett halad.
Konvexnek nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "vidám hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes alatt halad.
Függvények paritása
Minden olyan függvényt, ami az $y$ tengelyre szimmetrikus, páros függvénynek hívunk. Ezek a függvények azt tudják, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = f(x) \)
Azokat a függvényeket, amelyek az origóra szimmetrikusak, páratlan függvénynek nevezzük. A páratlan függvények úgy működnek, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = - f(x) \)
Polinomfüggvény
Ha az $x$ különböző pozitív egész kitevős hatványait összeadjuk vagy kivonjuk, akkor polinomokat kapunk.
A polinomfüggvény általános alakja:
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 \)
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=(x-3)^2 \)
b) \( f(x)=(-x-2)^2 \)
c) \( f(x)=(x-4)^2-3 \)
d) \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)
e) \( f(x)=-\sqrt{x} \)
f) \( f(x)=\sqrt{-x} \)
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
a) \( f(x)=(x-3)^2 \)
b) \( f(x)=x^2-3 \)
c) \( f(x)=(x-4)^2-8 \)
d) \( f(x)=(x+2)^2-4 \)
e) \( f(x)=2\cdot x^2 \)
f) \( f(x)=3\cdot(x-4)^2-5 \)
g) \( f(x)=(-x+3)^2-8 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^2-6x+7 \)
b) \( f(x)=x^2+5x+6 \)
c) \( f(x)=3x^2-12x+9 \)
d) \( f(x)=-2x^2+2x-12 \)
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
\( f(x)=x^2 \)
\( f(x)=x^3 \)
\( f(x)=x^4 \)
\( f(x)=x^5 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\sqrt{x-5} \)
b) \( f(x)=\sqrt{6-2x} \)
c) \( f(x)=-\sqrt{3x+6} \)
d) \( f(x)=\sqrt{2x-4}+3 \)
e) \( f(x)=\sqrt{4x-12}+1 \)
f) \( f(x)=\sqrt{4-2x}-3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x-5| \)
b) \( f(x)=|7-x| \)
c) \( f(x)=|6-2x| \)
d) \( f(x)=|x+5|-3 \)
e) \( f(x)=|3x-12|+1 \)
f) \( f(x)=2-|4-2x| \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x^2-4| \)
b) \( f(x)=|x^2-5x| \)
c) \( f(x)=||x|-3| \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)
b) \( f(x)=\frac{x+3}{x-2} \)
c) \( f(x)=\frac{2x+5}{x+3} \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=3^{x-5} \)
b) \( f(x)=3^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-2^{x-3}+4 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=e^{x-5} \)
b) \( f(x)=e^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-e^{x-3}+4 \)
d) \( f(x)=e^{3-x}+3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\ln{(x-5)} \)
b) \( f(x)=\ln{(x-2)}+3 \)
c) \( f(x)=-\ln{(x-3)}+4 \)
d) \( f(x)=\ln{(2-x)}+3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x|-3 \)
b) \( f(x)=|x-3| \)
c) \( f(x)=|x-3|-5 \)
d) \( f(x)=-|x+1|+2 \)
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különbözö x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
A kölcsönösen egyértelmű függvények az injektív függvények.
Itt jön aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.
Egy függvény szürjektív, hogyha az egész B halmaz előáll képként, vagyis B minden eleme hozzá van rendelva valamelyik A-beli elemhez.
Hát ez most éppen nem mondható el, a napsütés ugyanis kimarad…
Hogyha mondjuk csütörtökön sütne egy kicsit a nap…
Na, az segítene a dolgon.
Ez a függvény így már szürjektív.
És így is szürjektív.
Hogyha ráadásul még injektív is lenne…
Ehhez egy kicsit változatosabb időjárásra lesz szükség…
Akkor ez egy injektív és szürjektív függvény, amit úgy hívunk, hogy bijektív.
Az x2 függvény grafikonja egy parabola.
A parabola csúcsa az origóban van.
Nézzük, mi történik akkor…
ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.
Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...
A parabola csúcsa mindig oda tolódik,
ahol ez nulla.
Ez pedig akkor nulla, ha x=3.
Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…
és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.
Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…
egészen más dolog történik.
Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.
Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…
Kezdjük ezzel a résszel itt…
Aztán itt van még ez is.
Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.
És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.
Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.
Hogyha itt van például ez a függvény:
A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…
Egészen pontosan ide.
Az y tengely mentén pedig ide.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.
Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…
Vagy éppen a mínusz kétszeresére.
És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.
Végül itt jön még ez is:
De szenvedéseink tovább folytatódnak…
Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a függvény segítségével.
Ha a elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt
mindkét tengelyre is.
Lássuk, hogyan néz ki például ez…
A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…
Itt belül az x előtt viszont igen.
Na persze még el is van tolva…
Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…
Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.
2-vel pedig fölfelé.
És talán még egy utolsó nem árthat meg:
A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.
Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
Csak sajnos ez nem igazán látszik…
mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.
Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a függvényen.
De azért így a végén még nézzük meg ezt:
Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
