- Függvények tulajdonságai és ábrázolása
- Összetett függvény és inverzfüggvény
- Sorok
- Sorozatok határértéke
- Sorozatok vizsgálata, monotonitás, küszöbindex
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság, érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Integrálás
- Határozott integrálás, területszámítás
- Kétváltozós függvények
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris programozás, LP feladatok grafikus megoldása
- Lineáris függetlenség, bázis
- Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek
Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
Függvény monotonitása és az első derivált
Ha a függvény deriváltja pozitív, akkor a függvény nő,
Ha a függvény deriváltja negatív, akkor a függvény csökken.
Függvény konvexitása és a második derivált
Konkávnak nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "szomorú hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes felett halad.
Konvexnek nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "vidám hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes alatt halad.
A függvény hangulatáról a második derivált szolgáltat információt.
Ha a második derivált negatív, akkor a függvény konkáv, ha pozitív, akkor konvex
Stacionárius pont egyváltozós függvényre
Az $f(x)$ függvény stacionárius pontja $x_0$, ha $f$ differenciálható az $x_0$ környezetében és $f'(x_0)=0$
Értelmezési tartomány
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
Függvény esetén azokat a szerencsés $x$-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy $y$ számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.: $ f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} $ értelmezési tartománya $ \forall x \in R \setminus \{ -3 \} $, mert nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát a nevező nem lehet nulla ($x \neq 3$)
Elaszticitás gazdasági feladatokban
Az elaszticitás képlete:
\( E(x)=\frac{x}{f(x)}\cdot f'(x) \)
Egy függvény elaszticitása azt mondja meg, hogyha 1%-kal növeljük az x-et, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke.
$E=0$ Teljesen rugalmatlan
$\mid E \mid < 1$ Rugalmatlan
$\mid E \mid = 1$ Egységnyi rugalmasságú
$\mid E \mid > 1$ Rugalmas
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=4xe^{1-x} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=4xe^{6-x} \)
a) Egy részvény árfolyamának napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel nyolc és este hat óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer dollárba megadva
\( f(x)=(x-12)^2 e^{ - \frac{x}{2} }+10 \qquad 8 \leq x \leq 18 \)
Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam? A nap melyik órájában volt az árfolyam minimális, illetve maximális?
b) Egy termék keresleti függvénye
\( f(x)=10^6 \frac{1}{100+x^2} \)
ahol x termék egységárát jelöli. Milyen egységár esetén maximális az árbevétel?
c) Egy termék fajlagos nyeresége dollárban megadva
\( \pi (x) = e^{ \frac{-x^2}{2} + 2 } \)
ahol x a hetente eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban.
Milyen eladási szám esetén optimális a heti teljes nyereség?
a) Egy vasúti alagút építése során minél mélyebbre helyezik a nyomvonalat, annál hosszabb alagutat kell fúrni és maga az építkezés is egyre drágább lesz. Az eredetileg kijelölt nyomvonal 340 méteres tengerszintfeletti magasságban halad és az építési költség 5,6 milliárd svájci frank. A nyomvonal $x$ méterrel mélyebbre helyezése az eredeti költséget ennyivel növeli: $a(x)=40x^4+160x^3$ frank.
A mélyebben futó nyomvonalnak az előnye, hogy az áthaladó vonatoknak a hegységben történő átkelés során kisebb szintkülönbséget kell megtenniük. Ennek évenkénti gazdasági haszna: $p(x)=80x^3$ frank.
Hogyha az alagút átadását követő 40 éves periódust vizsgálunk, hány méterrel lenne érdemes mélyebbre helyezni a nyomvonalat, hogy a lehető legnagyobb legyen a megtérülés?
b) Egy termék árbevétel függvénye $R(x)=12400x^2-4000x^3$, a költségfüggvénye pedig $C(x)=400x^2+2000$, ahol $x$ a termék ára dollárban. Milyen egységár esetén maximális a profit és mekkora ez a profit?
Egy termék keresleti függvénye
\( f(x)=20000x^2-1000x^3-72000x \)
ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.
a) Milyen ár esetén maximális az árbevétel?
b) Mekkora a keresleti függvény elaszticitása 5 eurós ár esetén?
Egy másik termék keresleti függvénye
\( f(x)=260x^3-11x^4 \)
ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.
A termék fajlagos költsége (tehát az egy termékre jutó költség) 12 euró.
a) Milyen ár esetén lesz maximális a profit?
b) Mekkora a keresleti függvény elaszticitása 16 eurós és 21 eurós ár mellett?
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x\cdot e^{ \frac{-1}{x} } \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=2 \ln{(x-3)}-(x-3)^2 \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3x}{x^2-4} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3x}{(4-x)^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x+2+\frac{8}{x^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x+2+\frac{9}{x-3} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3-x}{x^4} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \ln{(x-1)^2}+\ln{(x+1)^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= e^{4x-2x^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x^2 \ln{x} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x^2 \ln{x} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^3+3x^2 \)
