Az $f(x)$ függvény folytonos az $a$-ban, ha értelmezve van az $a$-ban, létezik és véges a határértéke az $a$-ban, és ami a lényeg:
\( \lim_{x \to a}{f(x)}=f(a) \)
Az $f(x)$ függvény folytonossá tehető az $a$-ban, ha létezik véges határértéke az $a$-ban.
Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
a) Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?
\( f(x)= \begin{cases} \frac{4x^2-9x-9}{x^2-7x+12}, &\text{ha } x\neq 3 \quad x\neq 4 \\ 17, &\text{ha } x=3 \end{cases} \)
b) Adjuk meg az $A$ és $B$ paramétereket úgy, hogy az aábbi függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{3x^2-16x+20}{x^2-5x+6}, &\text{ha } x\neq 2 \quad x\neq 3 \\ A, &\text{ha } x=2 \\B, &\text{ha } x=3 \end{cases} \)
c) Folytonossá tehető-e az alábbi függvény az x=1 és az x=3 helyen?
\( f(x)= \frac{ (x-1)(12x-4x^2)}{(x-1)(3-x)^4} \)
