Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:

Lássunk egy példát.

Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?

Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,

mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.

Kiszámoljuk a határértéket,

aztán a függvényértéket

és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.

Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.

Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.

És tessék, így már folytonos.

Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.

Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.

Egészen pontosan lehetetlen.

Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban

és létezik véges a határértéke az -ban.

Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az és paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.

A rajz most is csak fekete mágia.

Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.

Aztán nézzük mi van a 3-ban.

Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.

Sőt már egyszerűsítettünk is.

nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.

Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.

Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.

Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.

Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.

Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.

Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.

A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.

Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.