- Rémes előzmények
- Függvények és inverz függvények
- Komplex számok
- Sorozatok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat
- L'Hospital-szabály, Taylor-sor, Taylor-polinom
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Differenciálegyenletek
Sorozatok
Nevezetes sorozatok határértékei 1
\( \frac{1}{n} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^2} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^3} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^k} \rightarrow 0 \)
Nevezetes sorozatok határértékei 2
\( n \rightarrow \infty \quad n^2 \rightarrow \infty \quad n^3 \rightarrow \infty \quad n^k \rightarrow \infty \)
Nevezetes sorozatok határértékei 3
\( \sqrt{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[3]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[4]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[k]{n} \rightarrow \infty \)
Nevezetes sorozatok határértékei 4
\( q^n \rightarrow \begin{cases} \infty \; \text{ha} \; q > 1 \\ 0 \; \text{ha} \; -1<q<1 \\ 1 \; \text{ha} \; q=1 \\ \text{div} \; \text{ha} \; q\leq -1 \end{cases} \)
e-hez tartó sorozatok határértéke
\( \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^n \rightarrow e^{\alpha} \)
\( \left( 1 + \frac{\alpha}{\text{IZÉ}} \right)^\text{IZÉ} \rightarrow e^{\alpha} \)
Ha IZÉ $ \rightarrow \infty$
Konvergens, divergens, oszcilláló sorozatok
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart, és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova. A sehova nem tartó sorozatok mindig oszcillálló sorozatok.
Rendőr-elv
Ha $a_n \rightarrow A$ és $c_n \rightarrow A$ és van olyan $n_0$, hogy minden $n > n_0$ esetén $a_n \leq b_n \leq c_n$ akkor $b_n \rightarrow A$.
Nevezetes sorozatok határértékei 5
\( \sqrt[n]{a} \rightarrow 1 \quad \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \quad \sqrt[n]{n^k} \rightarrow 1 \)
Nagyságrend a végtelenbe tartó sorozatoknál
A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe. A nagysagrendi rangsor:
\( \log_n << \sqrt[k]{n} << n^k << q^n << n! << n^n \)
Hova tart az $a_n=q^n$ sorozat
ha $q>1$?
ha $\mid q \mid < 1$ ?
ha $q=1$?
ha $q=-1$?
a) \( \lim{\frac{4n^3-3n}{n^2+5n+2}} = ? \)
b) \( \lim{\frac{n^3+4n^2+5}{n^4+5n^2+7}} = ? \)
c) \( \lim{\frac{n^3-6n^2+1}{n^2+5n+6}} = ? \)
d) \( \lim{\left( \frac{n^2+5n+3}{2n^2+7n} \right)^3} = ? \)
e) \( \lim{\frac{5^{n+2}+2^{n-3}+3^{2n+1}}{4^{\frac{n}{2}} +5\cdot 3^{2n+1}+ 10}} = ? \)
f) \( \lim{\frac{ \sqrt{n^2+1} + 2n }{ \sqrt[3]{n^2+6}-\sqrt[5]{n^3}+4n }} = ? \)
a) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) } = ? \)
b) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^2 } = ? \)
c) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^4 } = ? \)
d) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{n} \right)^n } = ? \)
e) \( \lim{ \left( 1+\frac{4}{n^3} \right)^{n^3} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{2n} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{n+4}{n-5} \right)^n } = ? \)
b) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-5} \right)^n } = ? \)
c) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{3n+4} \right)^n } = ? \)
d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+3n}{n^2+4n} \right)^{4n-7} } = ? \)
e) \( \lim{ \left( \frac{3n^2+2n^3}{5n^2+2n^3} \right)^{6n+4} } = ? \)
a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)
c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)
d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)
e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} +2n }{ \sqrt[3]{n^2+6} - \sqrt[5]{n^3} +4n } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4+1} - \sqrt{ 9n^4-5n^2} +1 }{ \sqrt[4]{n^6+5n^4} + \sqrt[5]{n^8} + \sqrt{4n^4-9n} } } = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{n^4-4n^2+5} + \sqrt{n^4+6n} } = ? \)
d) \( \lim{ \sqrt{n^4-5n^2+4}+n^2 } = ? \)
e) \( \lim{ \sqrt{n^4-n}-\sqrt{n^2+1} } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{5^n+4^n+3^n} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{4^n+3^n}{n^3+n^5+1} }} = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n} } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n-4^n} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{5^n-4^n-3^n-2^n}{n^4+n^3-n} }} = ? \)
a) \( \lim{ \left( 1+\frac{5}{n+\sqrt[n]{n}} \right)^n } = ? \)
b) \( \lim{ \left( 1+\frac{3n}{n^2+1} \right)^n } = ? \)
c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+4n+5}{n^2+5} \right)^n } = ? \)
Itt jön egy ilyen eset:
A trükk az, hogy leosztjuk –el.
A számlálót is és a nevezőt is.
Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.
Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.
Nézzünk meg egy másikat is.
Végülis osszuk le ezt is -el.
Lássuk mi jön ki.
A számláló 4-hez tart.
A nevező nullához.
Nos ez baj.
A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.
Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.
Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.
Először átalakítunk.
Aztán leosztunk.
A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.
Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
Van itt ez az n2,
de köbgyök alatt van.
Aztán itt van ez az n3,
de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.
Végül itt van ez az n,
na úgy tűnik ő nyert.
A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.
De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.
A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.
Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.
Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.
Íme itt is van egy sorozat.
Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.
index
A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.
Ez a sorozat például közeledik a nullához.
Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.
A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.
És így jelöljük: vagy így:
Itt jön egy másik sorozat.
Ez a sorozat még inkább nullához tart.
Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.
Aztán itt vannak ezek a sorozatok.
Nos ők a végtelenbe tartanak.
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI
Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.
Ők is végtelenbe tartanak.
És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az
Ha akkor
sehova
Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.
Ha mondjuk és akkor logikusnak tűnik, hogy
De az élet sajnos ennél bonyolultabb.
Előfordulhat ugyanis, hogy és .
Hova tart ilyenkor az összegük?
Nos a helyzet az, hogy az sorozat tarthat mínusz végtelenbe,
egy konkrét számhoz
és plusz végtelenbe.
A sorozat szintén.
Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.
Nézzük meg őket.
Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.
Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.
Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.
Lehet mínusz végtelen is
lehet 42 is
és lehet plusz végtelen is
A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.
Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.
Itt sajnos kicsit sok eset lesz.
Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.
A folytatás már nem túl izgalmas:
Aztán végre néhány egyértelmű eset:
Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.
Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.
Mindjárt az első:
De van még.
Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.
A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.
Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a esettel.
HA k KONKRÉT SZÁM
Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Konvergens
sorozatok
Divergens
sorozatok
Van
határérték
Nincs
határérték
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
A divergenciának azonban vannak fokozatai.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,
és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.
A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.
Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.
Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,
nos itt jön egy másik.
Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.
Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.
Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:
ha n páros
ha n páratlan
Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.
Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.
Az összeadásnál ez nem okoz problémát.
A kivonásnál…
se, ha nem rontjuk el.
És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.
Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,
így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.
Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.
Itt jön egy másik.
Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
És most lássunk valami egészen érdekeset.
Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.
Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…
jelre.
ugyanis szintén de
Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.
Innentől már a szokásos.
Itt jön aztán még egy:
És még egy:
Ha itt összeadás van, akkor kész is.
De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
