- Rémes előzmények
- Függvények és inverz függvények
- Komplex számok
- Sorozatok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat
- L'Hospital-szabály, Taylor-sor, Taylor-polinom
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Differenciálegyenletek
Deriválás
Differenciahányados
A deriválás lényege, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig úgy, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Az érintő meredekségét pedig úgy kapjuk meg, hogy veszünk rengeteg szelőt, amelyek egyre jobban "rásimulnak" az érintőre, és így a szelők meredekségének a határértéke lesz az érintő meredeksége. A szelők meredekségét írja le a differenciahányados:
\( \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0} \)
Differenciálhányados
A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados:
\( m= \lim_{x \to x_0}{ \frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)
Ezt nevezzük a függvény $x_0$ pontban vett deriváltjának. Hogyha a derivált ebben a pontban pozitív, az azt jelenti, hogy pozitív meredekségű érintő húzható a függvényhez. Vagyis a függvény ebben a pontban növekszik. Ha pedig a derivált ebben a pontban negatív, akkor negatív meredekségű érintő húzható a függvényhez, és így a függvény csökken. A derivált tehát a függvény növekedési és csökkenési szakaszait képes nekünk megmutatni, és hatalmas szerepe van a függvények viselkedésének vizsgálatánál.
Nevezetes függvények deriváltjai
\( (c)'=0 \quad \left( x^n \right)' = n x^{n-1} \quad \left( e^x \right)' = e^x \quad \left( a^x \right)' = a^x \ln{a} \)
\( ( \ln{x} )' = \frac{1}{x} \quad ( \log_a{x} )' = \frac{1}{x} \frac{1}{\ln{a}} \quad ( \sin{x} )' = \cos{x} \quad ( \cos{x} )' = - \sin{x} \)
\( ( \tan{x} )' = \frac{1}{\cos^2{x} } \quad ( \arcsin{x} )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad ( \arccos{x} )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2} \)
Deriválási szabályok
$f$ és $g$ deriválható függvények, és $c$ valós szám esetén a deriválási szabályok:
\( (cf)' = cf' \quad \left( \frac{f}{c} \right)' = \frac{f'}{c} \)
\( (f+g)' = f' + g' \)
\( (fg)' = f'g + fg' \)
\( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{ f'g - fg'}{g^2} \)
\( \left( \frac{c}{f} \right)' = \frac{-cf'}{f^2} \)
\( \left( f \left( g(x) \right) \right)' = f' \left( g(x) \right) g'(x) \)
A deriválási szabályok megmutatják, hogyan kell egy függvény konstans-szorosát deriválni, hogyan kell két függvény összegét vagy épp különbségét deriválni, mi lesz két függvény szorzatának a deriváltja, mi lesz két függvény hányadosának a deriváltja. Van két extra deriválási szabály is, amit érdemes tudni, az egyik amikor egy függvényt osztunk egy számmal, a másik pedig amikor egy számot osztunk el egy függvénnyel. Mindkét esetben törtet deriválunk, de nem kell a trötek deriválására használt eléggé komplikált képletet használni, hanem ezekre az esetekre vannak egyszerűbb képletek. Végül pedig jön az összetett függvények deriválási szabályavagyis a lánc-szabály.
A lánc-szabály
A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya. Ha $f$ és $g$ deriválható függvények, akkor az $f$ és $g$ függvények összetételéből kapott függvény deriváltja:
\( \left( f \left( g(x) \right) \right)' = f' \left( g(x) \right) g'(x) \)
Ezt a képletet nevezzük lánc-szabálynak, és érdemes alaposan begyakorlni, ugyanis ez szokta a legtöbb gondot okozni a deriválással kapcsolatos feladatok megoldása közben.
Hiperbolikus függvények azonosságai
A $ \sinh{x}$ és $ \cosh{x}$ hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok:
\( \cosh^2{x} - \sinh^2{x} = 1 \)
\( \sinh{2x} = 2 \sinh{x} \cdot \cosh{x} \)
\( \cosh{2x} = \cosh^2{x} + \sinh^2{x} \)
\( \sinh{ (x \pm y) } = \sinh{x} \cdot \cosh{y} \pm \cosh{x} \cdot \sinh{y} \)
\( \cosh{ (x \pm y) } = \cosh{x} \cdot \cosh{y} \pm \sinh{x} \cdot \sinh{y} \)
Hiperbolikus függvények deriváltjai
\( ( \cosh{x} )' = \sinh{x} \)
\( ( \sinh{x} )' = \cosh{x} \)
\( (\tanh{x} )' = \frac{1}{\cosh^2{x} } \)
Hiperbolikus függvények inverzei
A $\cosh{x}$ függvény inverze:
\( \text{arcosh} x = \ln{ \left( x+\sqrt{x^2-1} \right) } \)
A $\sinh{x}$ függvény inverze:
\( \text{arsinh} x = \ln{ \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) } \)
A $\tanh{x}$ függvény inverze:
\( \text{artanh} x = \frac{1}{2} \ln{ \left( \frac{1+x}{1-x} \right)} \)
Hiperbolikus függvények inverzeinek deriváltjai
\( ( \text{arcosh} x )' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \)
\( ( \text{arsinh} x )' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \)
\( ( \text{artanh} x )' = \frac{1}{1-x^2} \)
Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( \left( 5\cdot x^3 \right)' = \; ? \)
b) \( \left( \frac{x^5}{7} \right)' = \; ? \)
c) \( \left( x^2+\ln{x} \right)' = \; ? \)
d) \( \left( x^3 \cdot \ln{x} \right)' = \; ? \)
e) \( \left( \frac{x^2}{\ln{x}} \right)' = \; ? \)
f) \( \left( \frac{5}{x^3+2} \right)' = \; ? \)
Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( \left( \sin{ \left( x^6+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)
b) \( \left( \left( 3^x +\ln{x} \right)^4 \right)' = \; ? \)
c) \( \left( 5^{x^3+x} \right)' = \; ? \)
d) \( \left( \ln{\left( x^4+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)
Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^x \)
b) \( f(x)=(\cos{x})^{ \sin{x}} \)
Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( \cosh{x} \)
b) \( \sinh{x} \)
c) \( \tanh{x} \)
d) arcosh x
e) arsinh x
Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^{100}+x^7+7^x+\sqrt{42} \)
b) \( f(x)= \frac{ x^6-4x^4+7^x}{42} \)
c) \( f(x)= \sqrt[5]{x}+x^2 \cdot \sqrt[3]{x} \)
d) \( f(x)= \sqrt[3]{ x\cdot \sqrt[5]{x^3} } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)=\sqrt[4]{x^3 + \sqrt[7]{x}} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[4]{e^x} + \sqrt[3]{e^x} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \left( x^6-x^2+6 \right) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \ln{x} -3^x}{ \sqrt[5]{x^4} + x^2 } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ 3x }{ (4-x)^2 } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ 3x }{ \sqrt{ e^x +1 } } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \lg{3x} + e^2 }{ \sqrt[3]{ 4-x } } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ e^{4x} - \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{ (4-2x)} +7 } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( x^5-4^x \right) \left( \ln{x} - \sqrt[6]{x^7} \right) \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \frac{ x^5 - 2^x }{ \sqrt[4]{x-6} +e^2} } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \sqrt[3]{ \frac{ x^4 - e^x}{5^{2x-4} -\ln{ \pi} }} } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ e^{4x}- \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{(4-2x)} +7} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( \frac{5^x+\ln{x}}{ \sqrt{1-x} + x^6} \right)^4 \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[5]{ \left( \ln{x} -5^{6-2x} + (4x+5)^3 -x \right)^4 } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[4]{ \left( x^5 - \ln{ \left( x^3+x \right) } - 6^{3-x} + \sqrt{\pi} \right)^7 }} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{5}{ \sqrt[3]{ 6x^5 - \lg{ ( 3-2x) } - 2^{4-x} }} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \lg{ \frac{7 x^4 + 2^x }{ \sqrt{3} + \sqrt[4]{x} }} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ 7^{2x+3} -4x^3}{5 \ln{x} + \sqrt[4]{x^7+x}} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-5x} }{ 7+ \sqrt[3]{1+2x^4+x^8} } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( 5^x+ \lg{ \left( 9x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ (6-x)^2} + 4e^x \right) \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 6^x + \lg{x} }{ \ln{2} + 3x^8} } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[7]{5-3x} \cdot \left( e^{x^2+x} + 4\lg{x} \right) \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \left( \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-x} }{ 7+ \sqrt[3]{ x^4+x^6} } \right)^5 } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{ \left( 7^{1-x} + \lg{x} \right)^4}} \cdot e^{x^2-x^3} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{1}{ \lg{ \left( x^3+x \right)} +3^x } \cdot e^{x^4-4x^2} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[5]{ \frac{1}{ \left( 3^{6-x} + \lg{x} \right)^4 } }\cdot \ln{ \left( x-x^{100} \right)} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \sqrt[4]{ \left( \frac{3^x - \log_{\sqrt{7}}{x}}{5x^3-\sqrt[7]{x}} \right)^3 }} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \left( \frac{1}{x^{100} + 5^x}\cdot \frac{1}{\ln{x}} \right) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[7]{ \frac{ \left(x^2-e^x \right)^4}{100}} \cdot \frac{1}{\ln{ \left( x^{100} + x^2 \right)}} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 3^x + \lg^2{x}}{\ln^3{x^2} +x^7} } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( 4^x + \lg^2{ \left( 5x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ \ln^2{ \left( x^4-3 \right)}} +4x^5 \right) \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \log_{3}^5{ \left( x^4 + x \right)} - 4^{x^3-x}}{ 5 \ln^2{ \left( x^3-4 \right)} + \sqrt[4]{ x^7+7^x} } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^2{ \left( \lg{x^4} \right) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^3{ \left( \lg^2{x} \right) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^3{x} \right) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^5{x^3} \right) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^4{ \sqrt[5]{ \ln^6{ \sqrt{x^3}}}} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \tan{\left( \frac{ \sqrt{x} +4}{x^3} \right) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \sin{(6-x)} + \tan{ \ln{x}}}{ e^{ \cos{x}} + \ln{ \tan{x}}} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \arctan{x^3} \cdot \tan^3{x} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sin^2{x} + \sin{x^2} + \arctan{ \left( e^x +x \right)} \cdot \tan{x} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \cos^4{ ( \ln{\tan{x}})} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \arctan^4{ \left( \cos{ \ln{x}} + \sin{ e^x} \right)} \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sin^4{ ( \tan{x} )} + \tan^4{ ( \sin{x} ) } \)
Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[7]{x^4-5^x+\ln{ \left( x^3+6x^4 \right)} + e^{\pi}} \)
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
