- Rémes előzmények
- Függvények és inverz függvények
- Komplex számok
- Sorozatok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat
- L'Hospital-szabály, Taylor-sor, Taylor-polinom
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Differenciálegyenletek
Rémes előzmények
LU-felbontás
Egy mátrix LU felbontása azt jelenti, hogy a mátrixot felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára. Módszere a Gauss eliminációra épül.
LU-felbonthatóság feltétele
Egy nxn-es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első n-1 főminora nem nulla.
LU-felbontás bármely nxn-es mátrixra
Hogyha egy olyan mátrix LU felbontására van szükségünk, amelynek valamelyik (nem utolsó) főminora 0, akkor megtehetjük azt, hogy egy premutációs mátrix segítségével felcseréljük a sorait. Hiszen a sorcsere hatására a mátrix determinánsa, az egyenletrendszer megoldása stb. nem változnak.
Egységkör
Azt a kört a koordinátarendszerben, aminek középpontja az origo és a sugara 1, egységkörnek nevezzük.
Trigonometriai összefüggések
\( \tan{x} = \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \)
\( \cot{x} = \frac{ \cos{x} }{ \sin{x} } \)
\( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \quad \sin^2{\alpha} = 1-\cos^2{\alpha} \quad \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha} \)
\( \cos{\alpha} = \sin{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad \cos{\alpha} = \sin{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) } \quad \sin{\alpha} = \sin{ ( \pi - \alpha) }\)
\( \sin{\alpha} = \cos{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad -\sin{\alpha} = \cos{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) } \quad -\cos{\alpha} = \cos{ ( \pi - \alpha) }\)
\( \sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \quad \sin{(\alpha \pm \beta)} = \sin{\alpha} \cos{\beta} \pm \cos{\alpha} \sin{\beta} \)
\( \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} \quad \cos{(\alpha \pm \beta )} = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \)
\( \sin^2{\alpha}=\frac{1-\cos{2 \alpha}}{2} \)
\( \cos^2{\alpha}=\frac{1+\cos{2 \alpha}}{2} \)
Koszinusz
Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $x$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög koszinuszának, és így jelöljük: $\cos{ \alpha}$.
Szinusz
Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $y$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög szinuszának, és így jelöljük: $\sin{ \alpha}$.
Tangens
Egy $\alpha$ szög tangense az $\alpha$ szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \quad \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\cdot \pi \quad k \in Z \)
Paraméteres görbe egyenlete és deriváltja
A paraméteres görbe egyenlete a görbén mozgó pont pillanatnyi koordinátáit írja le.
\( x=x(t) \qquad y=y(t) \)
A paraméteres görbe deriválásával kapjuk a $v(t)$ sebességvektort, ami minden időpillanatban megadja a görbén mozgó $P$ pont sebességének irányát és nagyságát:
\( v(t)= \left( x'(t), y'(t) \right) \qquad \mid v(t) \mid = \sqrt{ ( x'(t) )^2 + ( y'(t) )^2 } \)
Görbe ívhossza
A görbe ívhossza a $t_0$ és $t_1$ időpillanatokhoz tartozó pontok között:
\( L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{ (x'(t))^2 + ( y'(t) )^2} \; dt \)
Szinuszos és koszinuszos egyenletek megoldása
A $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények periodikusak, ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat. Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben a periódus $2\pi$.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
$ \sin{x} = \frac{1}{2} $
akkor ennek a periodikussága miatt végtelen sok megoldása van, ezért írjuk oda a megoldások mögé, hogy $+2k\pi$.
További nehézség, hogy két megoldás is van, az egyiket a számológépünk adja, a másikat pedig...
Szinusz esetén úgy, hogy a két megoldás összegének $\pi$-nek kell lennie.
Koszinusz esetén pedig úgy, hogy a két megoldás mindig egymás minuszegyszerese.
inverzfüggvény
Minden függvény egy $x \mapsto y$ hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az $y \mapsto x$ fordított hozzárendelés.
Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amik két különböző $x$-hez különböző $y$-okat rendelnek, ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönesen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Adjuk meg az alábbi szögek szinuszának és koszinuszának pontos értékeit!
0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180°
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \cos{x} = \frac{1}{2} \)
b) \( \sin{3x} = -\frac{1}{2} \)
Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.
\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)
Oldjuk meg az alábbi két egyenletet a $[0,2\pi ]$ intervallumba eső számok halmazán
a) \( 2\cos{x} + 1 = 0 \)
b) \( 2\cos^2{x} - \cos{x} = 0\)
Adjuk meg az \( f(x)=16-x^2 \) függvény inverzát, ha
a) \( x \in \mathbb{R} \)
b) \( x \in \mathbb{R}^+ \)
c) \( -4 \leq x \leq 0 \)
d) \( -4 \leq x \leq 4\)
Mi az inverzfüggvénye?
a) \( f(x)=\sqrt{x-2} \)
b) \( f(x)=2^x \)
c) \( f(x)=3+\log_2{(x-5)} \)
d) \( f(x)=4+e^{2x-1} \)
e) \( f(x)=7+ \ln{ \frac{x+3}{4 }} \)
Kezdjük egy nagyon egyszerű dologgal.
Nézzük meg, hogyan működnek a függvények.
Nos itt van az x tengely, tele számokkal.
x tengely
A függvény pedig ezek közül a számok közül bizonyos számokhoz hozzárendel egy másik számot.
Mondjuk hozzárendeli a négyzetüket.
Ezt a függvényt így jelöljük, hogy
Legtöbbször ezt a harmadik jelölést fogjuk használni.
Azokat a szerencsés x-eket amikhez a függvény hozzárendel valamit, értelmezési tartománynak nevezzük és -el jelöljük.
Az x2-nél ez az egész x tengely.
De itt jön például a
ami negatív x-ekre nincs értelmezve.
Így aztán az értelmezési tartomány:
Az y tengelynek azt a részét, amit az x-ekhez hozzárendeltünk értékkészletnek nevezzük.
Az értékkészlet jele
Most pedig térjünk vissza az x2 függvényhez.
Az x2 függvény grafikonja egy parabola, a parabolának a csúcsa az origóban van.
De ha x helyére azt írjuk, hogy
nos akkor odébb megy.
A parabola csúcsa mindig ott van, ahol ez nulla.
Most éppen -nál.
Itt jön aztán mondjuk ez.
Ha a négyzeten kívül még hozzáadunk hármat,
nos az az y tengelyen tolja el 3-mal.
Ezt belső függvény transzformációnak nevezzük,
ezt pedig külsőnek.
Ha van egy ilyen, hogy
akkor a belső transzformáció miatt az x tengely mentén tolódik el,
a külső miatt pedig az y tengely mentén.
Lássuk mi történik, ha ide 2x-et írunk.
Nos ekkor az y tengely mentén van egy kis megnyúlás,
de ez nem annyira izgalmas.
Ami sokkal izgalmasabb, hogy az eltolódás is megváltozik.
És most lássuk, hogyan nézhet ki ez.
A -et már ismerjük.
Ezt kell arrébb tolnunk az x tengelyen lássuk csak…
3-mal.
Az y tengelyen pedig 2-vel.
Ha pedig van egy ilyen, hogy
nos akkor a 3x miatt kicsit megnyúlik,
aztán pedig a szokásos.
Ha a elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Ha belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor ezáltal az y tengelyre tükrözzük.
És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt mindkét tengelyre is.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha ezt ötvözzük az eddigi tologatással.
Nézzük meg például, hogy vajon hogyan nézhet ki ez a függvény.
Lesz egy kis eltolódás az x tengelyen,
aztán az y tengelyen is,
és végül a mínuszjel miatt egy tükrözés.
Ha a mínuszjel kívül van, nos akkor egészen más a helyzet:
Hát ez remek. Ez a külső függvénytranszformáció meg belső függvénytranszformáció igazán nagyon izgalmas elfoglaltság. Most pedig nézzük mi jöhet még.
A teljes négyzetté kiegészítés művészete.
Az előző képsorban látott függvény-transzformációk alapján megpróbáljuk ábrázolni ezt a függvényt.
Ahhoz, hogy eldönthessük, ez a függvény milyen transzformációknak esett áldozatául, először egy nagyon vicces dolgot kell csinálnunk vele.
Ezt a dolgot teljes négyzetté kiegészítésnek nevezzük és még később is sokszor kelleni fog, így hát essünk túl rajta.
A lényeg ez a két azonosság:
Most éppen ebbe az irányba használjuk majd őket.
Addig-addig nézegetjük a függvényt, amíg belelátjuk valamelyik azonosságot.
Lássuk csak mennyi lehet vajon b.
Nos ennyi:
És ezt már tudjuk ábrázolni, ha még emlékszünk az előző képsorra.
Nézzük meg ezt is:
Most pedig itt az ideje, hogy újabb függvényekkel ismerkedjünk meg.
A következő képsorban már jönnek is az exponenciális függvények.
Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy
de semmi ördögi nem lesz itt.
Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.
Hát nézzük meg.
Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor
a kitevők összeadódnak.
Ez lesz az első azonosság.
HATVÁNYAZONOSSÁGOK
Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.
De azért van itt egy apró kellemetlenség.
Már jön is.
Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.
Itt pedig a kitevő negatív lesz.
Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.
Nos így:
A kitevőket kell összeszoroznunk.
Itt van aztán ez, hogy
Na ez vajon mi lehet?
Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.
Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.
Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.
Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.
Ha van egy ilyen, hogy
nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.
Jön itt még néhány újabb képlet,
de most már lássuk a függvényeket.
Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.
Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.
Például egy ilyen szám a
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.
Ez a függvény tehát az ex.
Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.
Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Nos a logaritmus csak pozitív x-ekre van értelmezve.
Ha az alap 1-nél nagyobb, akkor a függvény növekszik.
Ha 1-nél kisebb, akkor csökken.
Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.
Ezt a kört egységkörnek nevezzük.
Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.
Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…
Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.
Itt van, mondjuk ez a P pont.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
Nos, ez a radián egész érdekesen működik:
a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.
Van itt ez a szög, ami fokban számítva
És most lássuk mi a helyzet radiánban.
A kör kerületének a képlete .
Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .
A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,
így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis
Nos így kapjuk, hogy
Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.
Kezdjük ezzel, amikor
Ezt jegyezzük föl.
A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.
Jön a Pitagorasz-tétel:
Most nézzük meg mi van akkor, ha
Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.
És most jön a Pitagorasz-tétel.
Az esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.
Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.
-nál túl sok számolásra nincs szükség.
Ahogyan –nál és -nál sem.
És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.
Az x koordinátát hívjuk Bobnak,
az y koordinátát pedig…
Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.
Legyen mondjuk koszinusz.
A másik pedig szinusz.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat.
Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben ez a periódus 2pi.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
nos akkor ennek a periodikusság miatt végtelen sok megoldása van.
Ráadásul van egy kék megoldás,
ezt adja a számológép, ez meg a periódus.
Na persze a számológéppel ezt úgy lehet kiszámolni, hogy
és van egy zöld.
Na, ezt már nem adja ki a számológép, hanem egy kis cselhez kell folyamodnunk.
A szinusz úgy működik, hogy mindig van egy kék megoldás, amit a számológép ad,
és van egy zöld megoldás, amit nekünk kell kiszámolni és úgy kapjuk,
hogy az összegüknek éppen pi-nek kell lennie.
Ezt nem árt megjegyezni.
Lássuk, mi a helyzet a koszinusszal.
Itt is lesz egy kék és egy zöld megoldás,
ráadásul mindkettőből végtelen sok.
A helyzet annyival egyszerűbb, mint a szinusz esetében, hogy itt
a kék és a zöld megoldás mindig egymás mínuszegyszerese.
A kéket adja a számológép.
és ha elé biggyesztünk egy mínuszjelet.
nos akkor meg is van a zöld.
A koszinusz tehát sokkal jobb, mint a szinusz.
Itt jön egy újabb remek történet.
A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást mindig a számológép adja,
a zöld megoldás pedig úgy jön ki, hogy a két szög összege mindig pi legyen.
Most pedig újabb állatfajták következnek.
Lássuk hogyan is néznek ezek ki.
Nos nem túl szépen.
Leginkább talán tapétamintának használhatnánk őket.
A vizuális élvezetek után most a trigonometriai képletek özönvízszerű áradata következik.
Csak a legfontosabb egymillió darab képletet nézzük meg.
A LEGFONTOSABB TRIGONOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK
Itt az egység sugarú körben van egy derékszögű háromszög,
amire felírjuk a Pithagorasz-tételt.
Nos talán ez a legfontosabb trigonometriai összefüggésünk.
Van ennek két mutáns változata is.
Most pedig újabb bűvészkedések következnek az egységsugarú körben.
És itt jön még néhány.
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Van itt ez a mátrix.
És most egy őrülten jó dolgot fogunk csinálni vele…
Felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára.
Nem sokkal később pedig azt is megtudjuk, hogy valójában mire jó mindez.
A módszert LU-felbontásnak nevezzük, és az egész a Gauss eliminációra épül.
Egy icipicit módosított Gauss eliminációra…
Ahhoz, hogy ezt a sor elején álló 6-ost megkapjuk…
Az első sort 3-mal kell szorozni.
Ehhez a 10-eshez pedig…
Hát igen, ehhez 5-tel.
Ezeket az értékes információkat eltároljuk itt alul.
És aztán jön a kinullázás, ahogy ez a Gauss-nál lenni szokott.
A folytatás is úgy működik, ahogy a Gauss-nál…
Csak éppen nem csinálunk ebből a 3-asból 1-est.
Marad így, ahogy van.
A 3-as alatt viszont ezt a 6-ost mindjárt kinullázzuk.
Ahhoz, hogy a 6-ost megkapjuk…
A második sort 2-vel kell szorozni.
Bekönyveljük ezt is ide az alsó mátrixba.
Aztán jön a kinullázás.
Végül már csak egyetlen dolog van hátra.
Ezt a mátrixot elnevezzük felső mátrixnak…
A másikat pedig alsónak.
Ja, és a főátlójába 1-eseket írunk.
Felülre meg nullákat.
És készen is van az LU-felbontás.
Nézzünk meg egy másikat is.
Ezzel a 3-assal kezdünk…
És alatta kinullázunk.
Ezeket a szorzókat felírjuk szépen ide.
Aztán jön a kinullázás.
Most ezzel a 2-essel folytatjuk…
Legyártjuk ezt a 4-est.
Ennek érdekében a második sort 2-vel kell szorozni.
Aztán kinullázunk.
És kész is.
Most pedig lássuk mire jó ez az egész.
Azon kívül persze, hogy remek szórakozás esős, hideg délutánokon…
A lényeg az U mátrixban van.
Az U mátrix segítségével meg tudjuk mondani, hogy mekkora az eredeti mátrix rangja, mennyi a determinánsa, segít az egyenletrendszerek megoldásában és az idegenek inváziója elleni harcban.
Az utóbbi esetben a hatékonysága még nem bizonyított.
Az eredeti mátrix rangja annyi, ahány nem nulla elem van az U mátrix főátlójában.
Rang=3
Az eredeti mátrix determinánsa az U mátrix főátlójában lévő elemek szorzata.
Hogyha pedig van egy ilyen egyenletrendszer:
Itt a valamilyen vektor…
Mondjuk ez.
Akkor ennek az egyenletrendszernek a megoldása is gyorsan leolvasható.
És most lássuk, ezen kívül mit tud még az LU-felbontás…
Most egy teljesen reménytelen vállalkozásba kezdünk bele…
Megpróbáljuk elkészíteni ennek a mátrixnak az LU-felbontását.
A dolog emiatt a 0 miatt eleve kudarcra van ítélve.
Hát, akkor ennyi volt. Azért legalább megpróbáltuk…
Az A mátrixnak nincs LU-felbontása.
Létezik viszont egy permutációs mátrix.
Ezt egy közönséges egységmátrixból kapjuk úgy, hogy néhány sorát fölcseréljük.
Hogyha most egy másik mátrixot megszorzunk ezzel a permutációs mátrixszal…
Akkor a sorcsere abban a mátrixban is megtörténik.
Nekünk itt éppen egy ilyen sorcserére van szükségünk.
Vesszük ezt a permutációs mátrixot…
És megszorozzuk vele az A mátrixot.
Csak arra vigyázzunk, hogy a sorcseréhez mindig balról kell szorozni.
És most jöhet az LU-felbontás.
Nem érdemes nagyon elkeserednünk amiatt, hogy csak ennek a sorcserés mátrixnak tudjuk megcsinálni az LU-felbontását.
Hiszen, ha belegondolunk, hogy mennyi kudarc ért már életünk során…
Nem, inkább ne ebbe gondoljunk bele.
Abba gondoljunk bele, hogy a sorcsere hatására a mátrix rangja nem változik…
az egyenletrendszer megoldásai sem változnak…
a mátrix determinánsa pedig csak előjelet vált.
Vagyis minden dolog, ami miért az LU-felbontást csináljuk ugyanúgy működik a sorcserés mátrixra is.
Végül még egy dolog.
A permutációs mátrixoknak van egy nagyon vicces tulajdonsága.
Ha megszorozzuk őket saját magukkal, akkor mindig az egységmátrixot kapjuk.
Mindezt arra tudnánk használni, hogy…
Bármely -es mátrixnak van alakú felbontása, ahol L és U a szokásos háromszögmátrixok és P egy permutációmátrix.
Számoljuk ki a rangját és a determinánsát ennek a B mátrixnak, és adjuk meg az LU-felbontását.
Az már biztos, hogy szükség lesz egy sorcserére.
És ha látjuk egy kicsit előre a jövőt…
Akkor nem ezeket a sorokat cseréljük föl.
Hanem ezeket.
Mégpedig ennek a permutációs mátrixnak a segítségével.
És most jöhet az LU-felbontás.
Végül válaszoljunk a kérdésekre.
A rang úgy tűnik 3.
A determináns pedig…
Csak éppen ezt még meg kell szorozni a permutációs mátrix determinánsával.
Van itt egy kis probléma.
Itt ez a teljesen tisztességes mátrix…
Ami ráadásul egy reguláris mátrix, vagyis a determinánsa nem nulla.
Hogyha azonban megpróbáljuk elkészíteni az LU-felbontását…
Ennél a résznél elakadunk.
A Gauss eliminációnál ilyenkor egy sorcserével megoldható a probléma…
De a sorcsere sajnos megváltoztatja az eredeti A mátrixot.
Ha csak meg kell oldanunk az egyenletrendszert, akkor ez persze nem gond.
De most igen.
Ha nem változtathatjuk meg az A mátrix sorainak eredeti sorrendjét, akkor az LU-felbontást nem tudjuk megcsinálni.
A problémát ez a blokk okozza.
Ebben a blokkban ugyanis két egymással összefüggő sor van.
A második sor az első sor 3-szorosa.
Ez okozza az elakadást.
Az elakadást bármelyik bal felső blokk okozhatja.
Ezeknek a blokkoknak a determinánsát főminornak vagy másként sarokfőminornak nevezzük.
Egy -es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első főminora nem nulla.
Ennél az A mátrixnál tehát az első két főminornak nem kéne nullának lennie…
Hát igen, a második főminor nulla, így aztán nincs LU-felbontás.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel.
Végülis kár előre azon aggódni, hogy létezik-e LU-felbontás.
Ez menet közben úgyis kiderül.
De most gyorsan nézzük meg, hogy kipróbáljuk ezt a főminoros módszerünket.
Remek hír, úgy néz ki, hogy most létezik LU-felbontás.
Már jön is az LU-felbontás.
Nézzünk meg még egyet.
Most nem bajlódunk itt a főminorokkal.
Lesz ami lesz, jöjjön azonnal az LU-felbontás.
A folyamat itt elakadt…
Mázli, hogy pont a végén.
Hogyha esetleg valakit érdekelnek az elméleti jellegű részletek, a B mátrix most olyan…
hogy az első főminor nem nulla…
a második főminor sem nulla…
de a harmadik igen.
Csak éppen ez már mindegy.
Kész az LU-felbontás.
És most itt az ideje megnézni, hogy mit kezdhetnénk azokkal a mátrixokkal, ahol az LU-felbontás folyamata menet közben elakad…
K
