Barion Pixel Mátrixok LU-felbontása | mateking
 

Már mutatjuk is, hogy mit jelent az LU-felbontás, hogyan számoljuk ki egy mátrix LU-felbontását és azt is megnézzük, hogy mire jó mindez valójában. LU-felbontás lépésről lépésre.

A képsor tartalma

Van itt ez a mátrix.

És most egy őrülten jó dolgot fogunk csinálni vele…

Felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára.

Nem sokkal később pedig azt is megtudjuk, hogy valójában mire jó mindez.

A módszert LU-felbontásnak nevezzük, és az egész a Gauss eliminációra épül.

Egy icipicit módosított Gauss eliminációra…

Ahhoz, hogy ezt a sor elején álló 6-ost megkapjuk…

Az első sort 3-mal kell szorozni.

Ehhez a 10-eshez pedig…

Hát igen, ehhez 5-tel.

Ezeket az értékes információkat eltároljuk itt alul.

És aztán jön a kinullázás, ahogy ez a Gauss-nál lenni szokott.

A folytatás is úgy működik, ahogy a Gauss-nál…

Csak éppen nem csinálunk ebből a 3-asból 1-est.

Marad így, ahogy van.

A 3-as alatt viszont ezt a 6-ost mindjárt kinullázzuk.

Ahhoz, hogy a 6-ost megkapjuk…

A második sort 2-vel kell szorozni.

Bekönyveljük ezt is ide az alsó mátrixba.

Aztán jön a kinullázás.

Végül már csak egyetlen dolog van hátra.

Ezt a mátrixot elnevezzük felső mátrixnak…

A másikat pedig alsónak.

Ja, és a főátlójába 1-eseket írunk.

Felülre meg nullákat.

És készen is van az LU-felbontás.

Nézzünk meg egy másikat is.

Ezzel a 3-assal kezdünk…

És alatta kinullázunk.

Ezeket a szorzókat felírjuk szépen ide.

Aztán jön a kinullázás.

Most ezzel a 2-essel folytatjuk…

Legyártjuk ezt a 4-est.

Ennek érdekében a második sort 2-vel kell szorozni.

Aztán kinullázunk.

És kész is.

Most pedig lássuk mire jó ez az egész.

Azon kívül persze, hogy remek szórakozás esős, hideg délutánokon…

A lényeg az U mátrixban van.

Az U mátrix segítségével meg tudjuk mondani, hogy mekkora az eredeti mátrix rangja, mennyi a determinánsa, segít az egyenletrendszerek megoldásában és az idegenek inváziója elleni harcban.

Az utóbbi esetben a hatékonysága még nem bizonyított.

Az eredeti mátrix rangja annyi, ahány nem nulla elem van az U mátrix főátlójában.

Rang=3

Az eredeti mátrix determinánsa az U mátrix főátlójában lévő elemek szorzata.

Hogyha pedig van egy ilyen egyenletrendszer:

Itt a valamilyen vektor…

Mondjuk ez.

Akkor ennek az egyenletrendszernek a megoldása is gyorsan leolvasható.

És most lássuk, ezen kívül mit tud még az LU-felbontás…

BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez