Differenciálegyenletek

A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények.

Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.

Ha ez a bizonyos függvény egyváltozós, akkor a differenciálegyenletet közönséges differenciálegyenletnek nevezzük, ha a függvény többváltozós, akkor parciális differenciálegyenletnek.

A szereposztás a következő

A függvény változója

A függvény

 röviden

És itt egy egyenlet

Rend

Azt mondja meg, hogy a függvény maximum hányadik deriváltja szerepel az egyenletben.

Linearitás

Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek az egyenletben, akkor az egyenlet lineáris.

Itt például a rend 2.

Itt például a fokszám 3.

És most térjünk rá a legviccesebb kérdésre, a megoldásra.

A differenciálegyenleteket különböző típusok szerint fogjuk csoportosítani, aztán pedig megnézzük, hogy ezeket a típusokat hogyan kell megoldani.

Végül van itt még egy kis gubanc.

Bizonyos elvetemült fizikusok ugyanis nem x-el jelölik a változót hanem t-vel, és ilyenkor a függvény nem y, hanem x.

Ennek az a magyarázata, hogy a differenciálegyenletek gyakran olyan folyamatokat írnak le, ahol a változó az idő, aminek a jele t.

 Ha a változót t-vel jelöljük és a függvényt x-el, nos akkor az egyenlet:

És a deriválás jele ilyenkor pont.

Most pedig lássuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket.

Lássuk mit tehetnénk ezzel.

-t lecseréljük arra, hogy

Beszorzunk dx-el.

Most jön a szétválasztás: minden y-os dolgot a dy-os oldalra viszünk és minden x-eset a dx-es oldalra.

Mindkét oldalt integráljuk és megkapjuk a megoldást.

A +C ilyenkor elég csak az egyik oldalra.

ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:

Ha y konstans nulla, akkor itt nem oszthattunk volna vele.

Lássuk y=0 megoldás-e

Úgy tűnik igen.

PARTIKULÁRIS MEGOLDÁS:

A partikuláris megoldást úgy kapjuk, ha a C-t rögzítjük.

Mondjuk nagyon boldoggá tenne minket egy olyan megoldás, amikor y(0)=666

Van itt aztán egy másik egyenlet, nézzük meg ezt is.

Most pedig, megszabadulunk a logaritmusoktól.

Van egy ilyen, hogy

Így aztán pápá logaritmus.

Itt C valamilyen konstans, így ec egy másik valamilyen konstans, hívjuk D-nek.

Meg kell még néznünk, hogy az y=0 megoldás-e.

Úgy látszik igen.

A partikuláris megoldás most is azt jelenti, hogy D-t rögzítjük valamilyen számnak.

Mondjuk szeretnénk, hogy teljesüljön.

Itt van aztán egy viccesebb ügy.

Van egy ilyen, hogy így aztán pápá tangens.

Hát ez megvolna.

Most pedig lássunk egy újabb differenciálegyenlet-típust.

1.A  Homogén fokszámú differenciálegyenlet

Kezdjük azzal, hogy tisztázzuk, mit is jelent a homogén fokszám.

Van itt egy ilyen

nos ez egy polinom, de nem ez az érdekes.

Ha ebben elvégezzük az  helyettesítést,

akkor voila, miden tagban megjelenik .

Na ezt a remek adottságot nevezzük homogenitásnak.

Ez a polinom például nem homogén fokszámú:

Ha ugyanis  akkor x-nek miden tagban más-más kitevője van.

Hát ennyit a homogén fokszámról és akkor lássuk, hogyan hasznosíthatnánk ezen ismereteinket a differenciálegyenletek megoldásánál.

Oldjuk meg ezt.

Az egyenlet nem szeparábilis, ha ugyanis leosztanánk -el…

akkor oldalán biztosan marad -es tag.

Ez pedig ártalmas a megoldás szempontjából.

Ha viszont nem osztunk le, akkor pedig oldalán marad y.

Szerencsére viszont a fokszám homogén.

A -es résznél is a fokszám kettő…

és a -os résznél is.

 helyettesítés, röviden

Ez az egyenlet már szeparábilis, úgyhogy most jöhet a szétválasztás.

Megoldjuk a szeparábilis egyenletet, ahol y helyett most u-ra hajtunk.

És amikor u már megvan, visszacsináljuk y-ra.

Nézzünk meg egy másikat is.

Van egy ilyen, hogy így aztán pápá tangens.

Végülis miért ne néznénk meg még egy homogén fokszámú egyenletet.

Az egyenlet nem szeparábilis, viszont a fokszám homogén.

Úgy tűnik a fokszám 4.

Ez jó jel, jöhet a szokásos helyettesítés.

Most pedig megszabadulunk a logaritmusoktól.

2. Egzakt differenciálegyenlet

Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…

létezik egy olyan függvény, hogy

Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:

Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos  függvényt.

Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.

Ezt kétféleképpen is megtehetjük.

Vagy deriválással, vagy integrálással.

Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.

Az egyenletben szereplő  és  függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .

Ezt integrálással deríthetjük ki.

De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:

(rémes vérfertőzés)

Ezt deriválással ellenőrizhetjük.

Nos, deriválni jobb.

Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,

utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.

Remek terv, lássunk egy feladatot.

Van itt egy egyenlet:

Lássuk, vajon egzakt-e.

Az egyenlet akkor egzakt, ha

Nos úgy tűnik igen.

Az egzakt egyenletek megoldása  ahol

A megoldást integrálással kapjuk:

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos  lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.

Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.

Most hasonlítsuk össze az eredetivel.

Úgy tűnik, hogy

Hát ez megvolna.

Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,

vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.

Sajnos ez nem mindig sikerül.

De most igen.

Lássunk egy másikat is.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Lássuk most éppen mi lesz.

Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.

Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.

Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.

Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.

Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.

Erről fog szólni a következő képsor.

Van itt ez az egyenlet

ami sajnos nem egzakt, mert

A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.

Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.

Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.

A jelek szerint igen.

Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:

Végül kiderítjük mi lehet a .

Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.

Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.

A válasz most jön.

Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.

Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:

Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.

Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,

vagy a második csak x-et tartalmaz,

nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.

Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.

De a második az jó.

Az integráló tényező megtalálása

Itt jön aztán egy másik egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

Nos nem igazán.

Úgyhogy jön az integráló tényező.

Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…

szóval sajna nem jó.

A második bíztató…

Nos ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.

Na és még itt van ez a  is.

Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.

Íme, itt egy egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint nem egzakt.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Némi átalakítás után…

Nos, ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.

Itt jön aztán még egy egyenlet:

Lássuk, egzakt-e.

Hát nem.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Most mindegy melyiket használjuk.

De ez könnyebbnek látszik.

Most pedig jöhet a megoldás.

2. Egzakt differenciálegyenlet

Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…

létezik egy olyan függvény, hogy

Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:

Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos  függvényt.

Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.

Ezt kétféleképpen is megtehetjük.

Vagy deriválással, vagy integrálással.

Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.

Az egyenletben szereplő  és  függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .

Ezt integrálással deríthetjük ki.

De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:

(rémes vérfertőzés)

Ezt deriválással ellenőrizhetjük.

Nos, deriválni jobb.

Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,

utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.

Remek terv, lássunk egy feladatot.

Van itt egy egyenlet:

Lássuk, vajon egzakt-e.

Az egyenlet akkor egzakt, ha

Nos úgy tűnik igen.

Az egzakt egyenletek megoldása  ahol

A megoldást integrálással kapjuk:

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos  lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.

Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.

Most hasonlítsuk össze az eredetivel.

Úgy tűnik, hogy

Hát ez megvolna.

Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,

vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.

Sajnos ez nem mindig sikerül.

De most igen.

Lássunk egy másikat is.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Lássuk most éppen mi lesz.

Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.

Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.

Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.

Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.

Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.

Erről fog szólni a következő képsor.

Van itt ez az egyenlet

ami sajnos nem egzakt, mert

A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.

Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.

Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.

A jelek szerint igen.

Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:

Végül kiderítjük mi lehet a .

Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.

Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.

A válasz most jön.

Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.

Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:

Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.

Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,

vagy a második csak x-et tartalmaz,

nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.

Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.

De a második az jó.

Az integráló tényező megtalálása

Itt jön aztán egy másik egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

Nos nem igazán.

Úgyhogy jön az integráló tényező.

Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…

szóval sajna nem jó.

A második bíztató…

Nos ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.

Na és még itt van ez a  is.

Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.

Íme, itt egy egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint nem egzakt.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Némi átalakítás után…

Nos, ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.

Itt jön aztán még egy egyenlet:

Lássuk, egzakt-e.

Hát nem.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Most mindegy melyiket használjuk.

De ez könnyebbnek látszik.

Most pedig jöhet a megoldás.

2. Egzakt differenciálegyenlet

Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…

létezik egy olyan függvény, hogy

Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:

Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos  függvényt.

Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.

Ezt kétféleképpen is megtehetjük.

Vagy deriválással, vagy integrálással.

Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.

Az egyenletben szereplő  és  függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .

Ezt integrálással deríthetjük ki.

De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:

(rémes vérfertőzés)

Ezt deriválással ellenőrizhetjük.

Nos, deriválni jobb.

Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,

utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.

Remek terv, lássunk egy feladatot.

Van itt egy egyenlet:

Lássuk, vajon egzakt-e.

Az egyenlet akkor egzakt, ha

Nos úgy tűnik igen.

Az egzakt egyenletek megoldása  ahol

A megoldást integrálással kapjuk:

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos  lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.

Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.

Most hasonlítsuk össze az eredetivel.

Úgy tűnik, hogy

Hát ez megvolna.

Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,

vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.

Sajnos ez nem mindig sikerül.

De most igen.

Lássunk egy másikat is.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Lássuk most éppen mi lesz.

Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.

Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.

Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.

Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.

Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.

Erről fog szólni a következő képsor.

Van itt ez az egyenlet

ami sajnos nem egzakt, mert

A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.

Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.

Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.

A jelek szerint igen.

Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:

Végül kiderítjük mi lehet a .

Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.

Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.

A válasz most jön.

Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.

Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:

Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.

Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,

vagy a második csak x-et tartalmaz,

nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.

Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.

De a második az jó.

Az integráló tényező megtalálása

Itt jön aztán egy másik egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

Nos nem igazán.

Úgyhogy jön az integráló tényező.

Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…

szóval sajna nem jó.

A második bíztató…

Nos ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.

Na és még itt van ez a  is.

Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.

Íme, itt egy egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint nem egzakt.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Némi átalakítás után…

Nos, ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.

Itt jön aztán még egy egyenlet:

Lássuk, egzakt-e.

Hát nem.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Most mindegy melyiket használjuk.

De ez könnyebbnek látszik.

Most pedig jöhet a megoldás.

Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet

Az elsőrendű lineáris egyenlet általános alakja úgy néz ki, hogy van benne egy  és van benne egy elsőfokú .

Az egyenlet megoldása vicces lesz, egy kis bűvészkedésre lesz szükség.

Beszorozzuk az egyenletet egy függvénnyel,

és ennek hatására, bal oldalon a szorzat függvény deriválási szabályát vizionáljuk.

Egy kis gubanc azért adódik ezzel, az eleje ugyanis stimmel,

de a vége…

nos ahhoz az kell, hogy

Ez egy könnyű szeparábilis egyenlet, amit meg is oldunk.

Válasszuk a pluszosat.

A megoldást tehát úgy kezdjük, hogy beszorozzuk az egyenletet ezzel a bizonyos -el, és így a bal oldalon egy szorzat deriváltja jeleneik meg.

Ez tehát az első lépés.

Kiszámoljuk a függvényt:

Beszorozzuk az egyenletet -el, hogy a bal oldal egy szorzat deriváltja legyen.

 Aztán pedig integrálunk.

Végül mindkét oldalt integráljuk.

Lássunk erre egy példát.

Itt jön a függvény:

Lássuk hogyan tudnánk integrálni a –et.

Nos, valahogy így:

Csak van itt egy kis gond, ugyanis

De ezen lehet segíteni.

Válasszuk mondjuk a pluszosat.

Most, hogy végre megvan a  függvény, jöhet a beszorzás.

És most álljunk meg egy picit.

Az egyenlet bal oldala  hiszen ezen fáradoztunk eddig.

Ez igazán remek, most már csak integrálni kell…

és kész.

Nézzünk meg egy másikat is.

Lássuk -et:

A jelek szerint tehát be kell szorozni x-el.

Nos, így éppen visszakaptuk az eredeti egyenletet, de aggodalomra semmi ok, már jó úton vagyunk.

És most jöhet az integrálás.

Hát ezt is megoldottuk.

Végül itt jön még egy egyenlet.

És most jöhet a beszorzás.

Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet

A most következő típus speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek.

Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a  függvény ilyenkor valamilyen konstans.

Erre a speciális esetre nézünk meg egy teljesen új megoldási módszert.

Megoldhatnánk persze az egyenletet úgy is, ahogyan az előző képsorban tettük, de most egy sokkal viccesebb megoldás jön.

 Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:

Ez egy nagyon egyszerű egyenlet

A homogén egyenlet:

A homogén megoldás:

Az egyenlet általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.

Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki egy próbafüggvény módszernek nevezett nagyon vicces eljárással.

A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg:

 másodfokú polinom:

exponenciális kifejezés:

szinusz vagy koszinusz:

Van itt ez az egyenlet:

Most elkezdjük keresni a partikuláris megoldást.

Az, hogy pontosan mi is lesz ez a partikuláris megoldás, nos ez mindig a jobb oldali függvénytől függ.

A jelek szerint, most szinusz és koszinusz lesz a partikuláris megoldásban:

Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.

A partikuláris megoldás most polinom-típusú lesz.

Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és kiderítjük, hogy mennyi A, B és C.

Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.

Azokban az esetekben, amikor a partikuláris megoldás exponenciális kifejezéseket is tartalmaz, nos olyankor adódhatnak bizonyos problémák.

Erről szól a következő képsor.

Ha a partikuláris megoldás tartalmaz –es tagot, nos akkor a megoldás során adódhatnak bizonyos problémák.

Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:

Aztán rátérünk a partikuláris megoldásra.

Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

És most lássuk mi az a rezonancia.

Ez olyankor fordul elő, amikor a partikuláris megoldásban szerepel  és a kitevője éppen megegyezik a homogén megoldás kitevőjével.

Jelenleg a kitevők nem egyeznek meg, tehát nincsen rezonancia.

De most már van.

Lássuk, mi történik ilyenkor.

Vagyis éppen megegyezik a homogén megoldással.

Ezt nevezzük rezonanciának.

És ilyenkor bejön ide egy x.

Nézzünk meg egy másikat is.

A homogén megoldás a szokásos:

A partikuláris megoldásban lesz egy elsőfokú kifejezés,

egy  

és egy másik  ahol rezonancia van.

Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet

A most következő típus speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek.

Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a  függvény ilyenkor valamilyen konstans.

Erre a speciális esetre nézünk meg egy teljesen új megoldási módszert.

Megoldhatnánk persze az egyenletet úgy is, ahogyan az előző képsorban tettük, de most egy sokkal viccesebb megoldás jön.

 Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:

Ez egy nagyon egyszerű egyenlet

A homogén egyenlet:

A homogén megoldás:

Az egyenlet általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.

Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki egy próbafüggvény módszernek nevezett nagyon vicces eljárással.

A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg:

 másodfokú polinom:

exponenciális kifejezés:

szinusz vagy koszinusz:

Van itt ez az egyenlet:

Most elkezdjük keresni a partikuláris megoldást.

Az, hogy pontosan mi is lesz ez a partikuláris megoldás, nos ez mindig a jobb oldali függvénytől függ.

A jelek szerint, most szinusz és koszinusz lesz a partikuláris megoldásban:

Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.

A partikuláris megoldás most polinom-típusú lesz.

Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és kiderítjük, hogy mennyi A, B és C.

Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.

Azokban az esetekben, amikor a partikuláris megoldás exponenciális kifejezéseket is tartalmaz, nos olyankor adódhatnak bizonyos problémák.

Erről szól a következő képsor.

Ha a partikuláris megoldás tartalmaz –es tagot, nos akkor a megoldás során adódhatnak bizonyos problémák.

Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:

Aztán rátérünk a partikuláris megoldásra.

Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

És most lássuk mi az a rezonancia.

Ez olyankor fordul elő, amikor a partikuláris megoldásban szerepel  és a kitevője éppen megegyezik a homogén megoldás kitevőjével.

Jelenleg a kitevők nem egyeznek meg, tehát nincsen rezonancia.

De most már van.

Lássuk, mi történik ilyenkor.

Vagyis éppen megegyezik a homogén megoldással.

Ezt nevezzük rezonanciának.

És ilyenkor bejön ide egy x.

Nézzünk meg egy másikat is.

A homogén megoldás a szokásos:

A partikuláris megoldásban lesz egy elsőfokú kifejezés,

egy  

és egy másik  ahol rezonancia van.

Az egyenlet homogén megoldása, Az inhomogén rész megoldása, Próbafüggvény-módszer, Partikuláris megoldás, Az általános megoldás.

Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet

Íme itt van ez az egyenlet.

Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.

Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.

Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.

De szerencsére ez a típus kivétel.

Lássuk mit kell tenni vele.

Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami

Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.

Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.

A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.

A differenciálegyenlet megoldása:

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van  és  akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van

És most lássuk a megoldást.

A karakterisztikus egyenlet:

Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.

Itt jön a karakterisztikus egyenlet:

Hát ez se volt túl nehéz.

Végül nézzük meg a harmadik típust.

Nos itt van egy kis gond.

Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.

Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy 

Most pedig lássuk a megoldást.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.

Lássuk, mi történik olyankor.

A homogén egyenlet és megoldása:

Ha két valós megoldása van:

Ha egy valós megoldása van:

Ha két komplex megoldása van:

Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)

Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.

Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,

utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.

A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos

karakterisztikus egyenletet.

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.

Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.

De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,

vagy éppen trigonometrikus.

A partikuláris megoldás

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

És az általános megoldás:

Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.

Van azonban itt még egy kis bökkenő.

Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.

A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.

Most tehát nincs rezonancia,

de a következő képsorban lesz…

A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.

Van itt ez az egyenlet:

A homogén egyenlet megoldása:

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.

A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.

A konstans szorzó ilyenkor nem számít.

És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.

Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.

Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.

Megjelent a rezonancia.

Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.

Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…

így aztán kell még egy x-es szorzó.

Ezt hívjuk kettős rezonanciának.

A megoldás innentől a szokásos.

Szokásosan unalmas.

Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.

Van itt ez a két egyenlet:

A karakterisztikus egyenletek:

A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy

Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha

És ilyenkor a próbafüggvény:

Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet

Íme itt van ez az egyenlet.

Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.

Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.

Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.

De szerencsére ez a típus kivétel.

Lássuk mit kell tenni vele.

Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami

Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.

Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.

A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.

A differenciálegyenlet megoldása:

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van  és  akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van

És most lássuk a megoldást.

A karakterisztikus egyenlet:

Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.

Itt jön a karakterisztikus egyenlet:

Hát ez se volt túl nehéz.

Végül nézzük meg a harmadik típust.

Nos itt van egy kis gond.

Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.

Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy 

Most pedig lássuk a megoldást.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.

Lássuk, mi történik olyankor.

A homogén egyenlet és megoldása:

Ha két valós megoldása van:

Ha egy valós megoldása van:

Ha két komplex megoldása van:

Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)

Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.

Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,

utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.

A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos

karakterisztikus egyenletet.

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.

Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.

De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,

vagy éppen trigonometrikus.

A partikuláris megoldás

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

És az általános megoldás:

Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.

Van azonban itt még egy kis bökkenő.

Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.

A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.

Most tehát nincs rezonancia,

de a következő képsorban lesz…

A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.

Van itt ez az egyenlet:

A homogén egyenlet megoldása:

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.

A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.

A konstans szorzó ilyenkor nem számít.

És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.

Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.

Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.

Megjelent a rezonancia.

Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.

Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…

így aztán kell még egy x-es szorzó.

Ezt hívjuk kettős rezonanciának.

A megoldás innentől a szokásos.

Szokásosan unalmas.

Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.

Van itt ez a két egyenlet:

A karakterisztikus egyenletek:

A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy

Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha

És ilyenkor a próbafüggvény:

Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet

Íme itt van ez az egyenlet.

Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.

Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.

Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.

De szerencsére ez a típus kivétel.

Lássuk mit kell tenni vele.

Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami

Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.

Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.

A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.

A differenciálegyenlet megoldása:

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van  és  akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van

És most lássuk a megoldást.

A karakterisztikus egyenlet:

Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.

Itt jön a karakterisztikus egyenlet:

Hát ez se volt túl nehéz.

Végül nézzük meg a harmadik típust.

Nos itt van egy kis gond.

Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.

Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy 

Most pedig lássuk a megoldást.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.

Lássuk, mi történik olyankor.

A homogén egyenlet és megoldása:

Ha két valós megoldása van:

Ha egy valós megoldása van:

Ha két komplex megoldása van:

Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)

Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.

Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,

utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.

A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos

karakterisztikus egyenletet.

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.

Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.

De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,

vagy éppen trigonometrikus.

A partikuláris megoldás

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

És az általános megoldás:

Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.

Van azonban itt még egy kis bökkenő.

Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.

A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.

Most tehát nincs rezonancia,

de a következő képsorban lesz…

A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.

Van itt ez az egyenlet:

A homogén egyenlet megoldása:

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.

A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.

A konstans szorzó ilyenkor nem számít.

És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.

Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.

Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.

Megjelent a rezonancia.

Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.

Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…

így aztán kell még egy x-es szorzó.

Ezt hívjuk kettős rezonanciának.

A megoldás innentől a szokásos.

Szokásosan unalmas.

Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.

Van itt ez a két egyenlet:

A karakterisztikus egyenletek:

A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy

Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha

És ilyenkor a próbafüggvény: