Másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet

A másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet általános alakja:

\( ay'' + by' + cy = Q(x) \)

A megoldás lépései:

Először megoldjuk a karakterisztikus egyenletet: $ar^2 + br + c = 0$.

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van $r_1$ és $r_2$ akkor $y=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $

Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van akkor $y=C_1 e^{r x} + C_2 x e^{r x} $

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van $r_1=A+Bi$ és $r_2=A-Bi$ akkor $y=e^{Ax} \left( C_1 \cos{Bx} + C_2 \sin{Bx} \right) $

Ezzel megkapjuk a homogén megoldást.

A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel végezzük:

$Q(x)=$ polinom: $y_p = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \dots + A_1 x + A_0$

$Q(x)=$ exponenciális kifejezés: $y_p = Ae^{\alpha x}$

$Q(x)=$ szinusz vagy koszinusz: $y_p = A \cos{\alpha x} + B \sin{ \alpha x}$

Az általános megoldás a homogén megoldás és partikuláris megoldás összege.