Matek 2 DE
A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények.
Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.
Ha ez a bizonyos függvény egyváltozós, akkor a differenciálegyenletet közönséges differenciálegyenletnek nevezzük, ha a függvény többváltozós, akkor parciális differenciálegyenletnek.
A szereposztás a következő
A függvény változója
A függvény
röviden
És itt egy egyenlet
Rend
Azt mondja meg, hogy a függvény maximum hányadik deriváltja szerepel az egyenletben.
Linearitás
Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek az egyenletben, akkor az egyenlet lineáris.
Itt például a rend 2.
Itt például a fokszám 3.
És most térjünk rá a legviccesebb kérdésre, a megoldásra.
A differenciálegyenleteket különböző típusok szerint fogjuk csoportosítani, aztán pedig megnézzük, hogy ezeket a típusokat hogyan kell megoldani.
Végül van itt még egy kis gubanc.
Bizonyos elvetemült fizikusok ugyanis nem x-el jelölik a változót hanem t-vel, és ilyenkor a függvény nem y, hanem x.
Ennek az a magyarázata, hogy a differenciálegyenletek gyakran olyan folyamatokat írnak le, ahol a változó az idő, aminek a jele t.
Ha a változót t-vel jelöljük és a függvényt x-el, nos akkor az egyenlet:
És a deriválás jele ilyenkor pont.
Most pedig lássuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket.
Lássuk mit tehetnénk ezzel.
-t lecseréljük arra, hogy
Beszorzunk dx-el.
Most jön a szétválasztás: minden y-os dolgot a dy-os oldalra viszünk és minden x-eset a dx-es oldalra.
Mindkét oldalt integráljuk és megkapjuk a megoldást.
A +C ilyenkor elég csak az egyik oldalra.
ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:
Ha y konstans nulla, akkor itt nem oszthattunk volna vele.
Lássuk y=0 megoldás-e
Úgy tűnik igen.
PARTIKULÁRIS MEGOLDÁS:
A partikuláris megoldást úgy kapjuk, ha a C-t rögzítjük.
Mondjuk nagyon boldoggá tenne minket egy olyan megoldás, amikor y(0)=666
Van itt aztán egy másik egyenlet, nézzük meg ezt is.
Most pedig, megszabadulunk a logaritmusoktól.
Van egy ilyen, hogy
Így aztán pápá logaritmus.
Itt C valamilyen konstans, így ec egy másik valamilyen konstans, hívjuk D-nek.
Meg kell még néznünk, hogy az y=0 megoldás-e.
Úgy látszik igen.
A partikuláris megoldás most is azt jelenti, hogy D-t rögzítjük valamilyen számnak.
Mondjuk szeretnénk, hogy teljesüljön.
Itt van aztán egy viccesebb ügy.
Van egy ilyen, hogy így aztán pápá tangens.
Hát ez megvolna.
Most pedig lássunk egy újabb differenciálegyenlet-típust.
1.A Homogén fokszámú differenciálegyenlet
Kezdjük azzal, hogy tisztázzuk, mit is jelent a homogén fokszám.
Van itt egy ilyen
nos ez egy polinom, de nem ez az érdekes.
Ha ebben elvégezzük az helyettesítést,
akkor voila, miden tagban megjelenik .
Na ezt a remek adottságot nevezzük homogenitásnak.
Ez a polinom például nem homogén fokszámú:
Ha ugyanis akkor x-nek miden tagban más-más kitevője van.
Hát ennyit a homogén fokszámról és akkor lássuk, hogyan hasznosíthatnánk ezen ismereteinket a differenciálegyenletek megoldásánál.
Oldjuk meg ezt.
Az egyenlet nem szeparábilis, ha ugyanis leosztanánk -el…
akkor oldalán biztosan marad -es tag.
Ez pedig ártalmas a megoldás szempontjából.
Ha viszont nem osztunk le, akkor pedig oldalán marad y.
Szerencsére viszont a fokszám homogén.
A -es résznél is a fokszám kettő…
és a -os résznél is.
helyettesítés, röviden
Ez az egyenlet már szeparábilis, úgyhogy most jöhet a szétválasztás.
Megoldjuk a szeparábilis egyenletet, ahol y helyett most u-ra hajtunk.
És amikor u már megvan, visszacsináljuk y-ra.
Nézzünk meg egy másikat is.
Van egy ilyen, hogy így aztán pápá tangens.
Végülis miért ne néznénk meg még egy homogén fokszámú egyenletet.
Az egyenlet nem szeparábilis, viszont a fokszám homogén.
Úgy tűnik a fokszám 4.
Ez jó jel, jöhet a szokásos helyettesítés.
Most pedig megszabadulunk a logaritmusoktól.
2. Egzakt differenciálegyenlet
Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…
létezik egy olyan függvény, hogy
Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:
Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.
Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.
Ezt kétféleképpen is megtehetjük.
Vagy deriválással, vagy integrálással.
Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.
Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .
Ezt integrálással deríthetjük ki.
De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:
(rémes vérfertőzés)
Ezt deriválással ellenőrizhetjük.
Nos, deriválni jobb.
Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,
utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.
Remek terv, lássunk egy feladatot.
Van itt egy egyenlet:
Lássuk, vajon egzakt-e.
Az egyenlet akkor egzakt, ha
Nos úgy tűnik igen.
Az egzakt egyenletek megoldása ahol
A megoldást integrálással kapjuk:
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.
Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.
Most hasonlítsuk össze az eredetivel.
Úgy tűnik, hogy
Hát ez megvolna.
Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,
vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.
Sajnos ez nem mindig sikerül.
De most igen.
Lássunk egy másikat is.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Lássuk most éppen mi lesz.
Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.
Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.
Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.
Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.
Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.
Erről fog szólni a következő képsor.
Van itt ez az egyenlet
ami sajnos nem egzakt, mert
A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.
Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.
Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.
A jelek szerint igen.
Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:
Végül kiderítjük mi lehet a .
Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.
Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.
A válasz most jön.
Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.
Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:
Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.
Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,
vagy a második csak x-et tartalmaz,
nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.
Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.
De a második az jó.
Az integráló tényező megtalálása
Itt jön aztán egy másik egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
Nos nem igazán.
Úgyhogy jön az integráló tényező.
Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…
szóval sajna nem jó.
A második bíztató…
Nos ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.
Na és még itt van ez a is.
Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.
Íme, itt egy egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint nem egzakt.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Némi átalakítás után…
Nos, ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.
Itt jön aztán még egy egyenlet:
Lássuk, egzakt-e.
Hát nem.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Most mindegy melyiket használjuk.
De ez könnyebbnek látszik.
Most pedig jöhet a megoldás.
2. Egzakt differenciálegyenlet
Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…
létezik egy olyan függvény, hogy
Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:
Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.
Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.
Ezt kétféleképpen is megtehetjük.
Vagy deriválással, vagy integrálással.
Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.
Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .
Ezt integrálással deríthetjük ki.
De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:
(rémes vérfertőzés)
Ezt deriválással ellenőrizhetjük.
Nos, deriválni jobb.
Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,
utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.
Remek terv, lássunk egy feladatot.
Van itt egy egyenlet:
Lássuk, vajon egzakt-e.
Az egyenlet akkor egzakt, ha
Nos úgy tűnik igen.
Az egzakt egyenletek megoldása ahol
A megoldást integrálással kapjuk:
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.
Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.
Most hasonlítsuk össze az eredetivel.
Úgy tűnik, hogy
Hát ez megvolna.
Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,
vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.
Sajnos ez nem mindig sikerül.
De most igen.
Lássunk egy másikat is.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Lássuk most éppen mi lesz.
Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.
Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.
Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.
Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.
Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.
Erről fog szólni a következő képsor.
Van itt ez az egyenlet
ami sajnos nem egzakt, mert
A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.
Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.
Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.
A jelek szerint igen.
Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:
Végül kiderítjük mi lehet a .
Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.
Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.
A válasz most jön.
Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.
Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:
Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.
Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,
vagy a második csak x-et tartalmaz,
nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.
Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.
De a második az jó.
Az integráló tényező megtalálása
Itt jön aztán egy másik egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
Nos nem igazán.
Úgyhogy jön az integráló tényező.
Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…
szóval sajna nem jó.
A második bíztató…
Nos ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.
Na és még itt van ez a is.
Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.
Íme, itt egy egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint nem egzakt.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Némi átalakítás után…
Nos, ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.
Itt jön aztán még egy egyenlet:
Lássuk, egzakt-e.
Hát nem.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Most mindegy melyiket használjuk.
De ez könnyebbnek látszik.
Most pedig jöhet a megoldás.
2. Egzakt differenciálegyenlet
Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…
létezik egy olyan függvény, hogy
Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:
Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.
Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.
Ezt kétféleképpen is megtehetjük.
Vagy deriválással, vagy integrálással.
Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.
Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .
Ezt integrálással deríthetjük ki.
De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:
(rémes vérfertőzés)
Ezt deriválással ellenőrizhetjük.
Nos, deriválni jobb.
Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,
utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.
Remek terv, lássunk egy feladatot.
Van itt egy egyenlet:
Lássuk, vajon egzakt-e.
Az egyenlet akkor egzakt, ha
Nos úgy tűnik igen.
Az egzakt egyenletek megoldása ahol
A megoldást integrálással kapjuk:
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.
Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.
Most hasonlítsuk össze az eredetivel.
Úgy tűnik, hogy
Hát ez megvolna.
Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,
vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.
Sajnos ez nem mindig sikerül.
De most igen.
Lássunk egy másikat is.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Lássuk most éppen mi lesz.
Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.
Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.
Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.
Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.
Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.
Erről fog szólni a következő képsor.
Van itt ez az egyenlet
ami sajnos nem egzakt, mert
A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.
Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.
Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.
A jelek szerint igen.
Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:
Végül kiderítjük mi lehet a .
Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.
Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.
A válasz most jön.
Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.
Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:
Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.
Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,
vagy a második csak x-et tartalmaz,
nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.
Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.
De a második az jó.
Az integráló tényező megtalálása
Itt jön aztán egy másik egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
Nos nem igazán.
Úgyhogy jön az integráló tényező.
Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…
szóval sajna nem jó.
A második bíztató…
Nos ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.
Na és még itt van ez a is.
Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.
Íme, itt egy egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint nem egzakt.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Némi átalakítás után…
Nos, ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.
Itt jön aztán még egy egyenlet:
Lássuk, egzakt-e.
Hát nem.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Most mindegy melyiket használjuk.
De ez könnyebbnek látszik.
Most pedig jöhet a megoldás.
Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet
Az elsőrendű lineáris egyenlet általános alakja úgy néz ki, hogy van benne egy és van benne egy elsőfokú .
Az egyenlet megoldása vicces lesz, egy kis bűvészkedésre lesz szükség.
Beszorozzuk az egyenletet egy függvénnyel,
és ennek hatására, bal oldalon a szorzat függvény deriválási szabályát vizionáljuk.
Egy kis gubanc azért adódik ezzel, az eleje ugyanis stimmel,
de a vége…
nos ahhoz az kell, hogy
Ez egy könnyű szeparábilis egyenlet, amit meg is oldunk.
Válasszuk a pluszosat.
A megoldást tehát úgy kezdjük, hogy beszorozzuk az egyenletet ezzel a bizonyos -el, és így a bal oldalon egy szorzat deriváltja jeleneik meg.
Ez tehát az első lépés.
Kiszámoljuk a függvényt:
Beszorozzuk az egyenletet -el, hogy a bal oldal egy szorzat deriváltja legyen.
Aztán pedig integrálunk.
Végül mindkét oldalt integráljuk.
Lássunk erre egy példát.
Itt jön a függvény:
Lássuk hogyan tudnánk integrálni a –et.
Nos, valahogy így:
Csak van itt egy kis gond, ugyanis
De ezen lehet segíteni.
Válasszuk mondjuk a pluszosat.
Most, hogy végre megvan a függvény, jöhet a beszorzás.
És most álljunk meg egy picit.
Az egyenlet bal oldala hiszen ezen fáradoztunk eddig.
Ez igazán remek, most már csak integrálni kell…
és kész.
Nézzünk meg egy másikat is.
Lássuk -et:
A jelek szerint tehát be kell szorozni x-el.
Nos, így éppen visszakaptuk az eredeti egyenletet, de aggodalomra semmi ok, már jó úton vagyunk.
És most jöhet az integrálás.
Hát ezt is megoldottuk.
Végül itt jön még egy egyenlet.
És most jöhet a beszorzás.
Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet
A most következő típus speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek.
Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a függvény ilyenkor valamilyen konstans.
Erre a speciális esetre nézünk meg egy teljesen új megoldási módszert.
Megoldhatnánk persze az egyenletet úgy is, ahogyan az előző képsorban tettük, de most egy sokkal viccesebb megoldás jön.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Ez egy nagyon egyszerű egyenlet
A homogén egyenlet:
A homogén megoldás:
Az egyenlet általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki egy próbafüggvény módszernek nevezett nagyon vicces eljárással.
A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg:
másodfokú polinom:
exponenciális kifejezés:
szinusz vagy koszinusz:
Van itt ez az egyenlet:
Most elkezdjük keresni a partikuláris megoldást.
Az, hogy pontosan mi is lesz ez a partikuláris megoldás, nos ez mindig a jobb oldali függvénytől függ.
A jelek szerint, most szinusz és koszinusz lesz a partikuláris megoldásban:
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
A partikuláris megoldás most polinom-típusú lesz.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és kiderítjük, hogy mennyi A, B és C.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
Azokban az esetekben, amikor a partikuláris megoldás exponenciális kifejezéseket is tartalmaz, nos olyankor adódhatnak bizonyos problémák.
Erről szól a következő képsor.
Ha a partikuláris megoldás tartalmaz –es tagot, nos akkor a megoldás során adódhatnak bizonyos problémák.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Aztán rátérünk a partikuláris megoldásra.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És most lássuk mi az a rezonancia.
Ez olyankor fordul elő, amikor a partikuláris megoldásban szerepel és a kitevője éppen megegyezik a homogén megoldás kitevőjével.
Jelenleg a kitevők nem egyeznek meg, tehát nincsen rezonancia.
De most már van.
Lássuk, mi történik ilyenkor.
Vagyis éppen megegyezik a homogén megoldással.
Ezt nevezzük rezonanciának.
És ilyenkor bejön ide egy x.
Nézzünk meg egy másikat is.
A homogén megoldás a szokásos:
A partikuláris megoldásban lesz egy elsőfokú kifejezés,
egy
és egy másik ahol rezonancia van.
Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet
A most következő típus speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek.
Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a függvény ilyenkor valamilyen konstans.
Erre a speciális esetre nézünk meg egy teljesen új megoldási módszert.
Megoldhatnánk persze az egyenletet úgy is, ahogyan az előző képsorban tettük, de most egy sokkal viccesebb megoldás jön.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Ez egy nagyon egyszerű egyenlet
A homogén egyenlet:
A homogén megoldás:
Az egyenlet általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki egy próbafüggvény módszernek nevezett nagyon vicces eljárással.
A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg:
másodfokú polinom:
exponenciális kifejezés:
szinusz vagy koszinusz:
Van itt ez az egyenlet:
Most elkezdjük keresni a partikuláris megoldást.
Az, hogy pontosan mi is lesz ez a partikuláris megoldás, nos ez mindig a jobb oldali függvénytől függ.
A jelek szerint, most szinusz és koszinusz lesz a partikuláris megoldásban:
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
A partikuláris megoldás most polinom-típusú lesz.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és kiderítjük, hogy mennyi A, B és C.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
Azokban az esetekben, amikor a partikuláris megoldás exponenciális kifejezéseket is tartalmaz, nos olyankor adódhatnak bizonyos problémák.
Erről szól a következő képsor.
Ha a partikuláris megoldás tartalmaz –es tagot, nos akkor a megoldás során adódhatnak bizonyos problémák.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Aztán rátérünk a partikuláris megoldásra.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És most lássuk mi az a rezonancia.
Ez olyankor fordul elő, amikor a partikuláris megoldásban szerepel és a kitevője éppen megegyezik a homogén megoldás kitevőjével.
Jelenleg a kitevők nem egyeznek meg, tehát nincsen rezonancia.
De most már van.
Lássuk, mi történik ilyenkor.
Vagyis éppen megegyezik a homogén megoldással.
Ezt nevezzük rezonanciának.
És ilyenkor bejön ide egy x.
Nézzünk meg egy másikat is.
A homogén megoldás a szokásos:
A partikuláris megoldásban lesz egy elsőfokú kifejezés,
egy
és egy másik ahol rezonancia van.
Az egyenlet homogén megoldása, Az inhomogén rész megoldása, Próbafüggvény-módszer, Partikuláris megoldás, Az általános megoldás.
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
Íme itt van ez az egyenlet.
Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.
Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.
Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.
De szerencsére ez a típus kivétel.
Lássuk mit kell tenni vele.
Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami
Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.
Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.
A differenciálegyenlet megoldása:
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van
És most lássuk a megoldást.
A karakterisztikus egyenlet:
Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.
Itt jön a karakterisztikus egyenlet:
Hát ez se volt túl nehéz.
Végül nézzük meg a harmadik típust.
Nos itt van egy kis gond.
Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.
Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy
Most pedig lássuk a megoldást.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.
Lássuk, mi történik olyankor.
A homogén egyenlet és megoldása:
Ha két valós megoldása van:
Ha egy valós megoldása van:
Ha két komplex megoldása van:
Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)
Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.
Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,
utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos
karakterisztikus egyenletet.
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.
Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.
De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,
vagy éppen trigonometrikus.
A partikuláris megoldás
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És az általános megoldás:
Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.
Van azonban itt még egy kis bökkenő.
Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.
A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.
Most tehát nincs rezonancia,
de a következő képsorban lesz…
A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.
Van itt ez az egyenlet:
A homogén egyenlet megoldása:
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.
A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.
A konstans szorzó ilyenkor nem számít.
És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.
Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.
Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.
Megjelent a rezonancia.
Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.
Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…
így aztán kell még egy x-es szorzó.
Ezt hívjuk kettős rezonanciának.
A megoldás innentől a szokásos.
Szokásosan unalmas.
Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.
Van itt ez a két egyenlet:
A karakterisztikus egyenletek:
A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy
Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha
És ilyenkor a próbafüggvény:
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
Íme itt van ez az egyenlet.
Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.
Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.
Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.
De szerencsére ez a típus kivétel.
Lássuk mit kell tenni vele.
Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami
Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.
Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.
A differenciálegyenlet megoldása:
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van
És most lássuk a megoldást.
A karakterisztikus egyenlet:
Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.
Itt jön a karakterisztikus egyenlet:
Hát ez se volt túl nehéz.
Végül nézzük meg a harmadik típust.
Nos itt van egy kis gond.
Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.
Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy
Most pedig lássuk a megoldást.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.
Lássuk, mi történik olyankor.
A homogén egyenlet és megoldása:
Ha két valós megoldása van:
Ha egy valós megoldása van:
Ha két komplex megoldása van:
Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)
Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.
Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,
utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos
karakterisztikus egyenletet.
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.
Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.
De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,
vagy éppen trigonometrikus.
A partikuláris megoldás
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És az általános megoldás:
Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.
Van azonban itt még egy kis bökkenő.
Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.
A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.
Most tehát nincs rezonancia,
de a következő képsorban lesz…
A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.
Van itt ez az egyenlet:
A homogén egyenlet megoldása:
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.
A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.
A konstans szorzó ilyenkor nem számít.
És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.
Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.
Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.
Megjelent a rezonancia.
Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.
Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…
így aztán kell még egy x-es szorzó.
Ezt hívjuk kettős rezonanciának.
A megoldás innentől a szokásos.
Szokásosan unalmas.
Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.
Van itt ez a két egyenlet:
A karakterisztikus egyenletek:
A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy
Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha
És ilyenkor a próbafüggvény:
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
Íme itt van ez az egyenlet.
Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.
Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.
Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.
De szerencsére ez a típus kivétel.
Lássuk mit kell tenni vele.
Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami
Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.
Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.
A differenciálegyenlet megoldása:
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van
És most lássuk a megoldást.
A karakterisztikus egyenlet:
Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.
Itt jön a karakterisztikus egyenlet:
Hát ez se volt túl nehéz.
Végül nézzük meg a harmadik típust.
Nos itt van egy kis gond.
Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.
Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy
Most pedig lássuk a megoldást.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.
Lássuk, mi történik olyankor.
A homogén egyenlet és megoldása:
Ha két valós megoldása van:
Ha egy valós megoldása van:
Ha két komplex megoldása van:
Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)
Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.
Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,
utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos
karakterisztikus egyenletet.
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.
Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.
De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,
vagy éppen trigonometrikus.
A partikuláris megoldás
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És az általános megoldás:
Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.
Van azonban itt még egy kis bökkenő.
Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.
A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.
Most tehát nincs rezonancia,
de a következő képsorban lesz…
A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.
Van itt ez az egyenlet:
A homogén egyenlet megoldása:
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.
A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.
A konstans szorzó ilyenkor nem számít.
És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.
Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.
Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.
Megjelent a rezonancia.
Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.
Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…
így aztán kell még egy x-es szorzó.
Ezt hívjuk kettős rezonanciának.
A megoldás innentől a szokásos.
Szokásosan unalmas.
Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.
Van itt ez a két egyenlet:
A karakterisztikus egyenletek:
A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy
Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha
És ilyenkor a próbafüggvény:
Az Atlanti-óceán felett mindig fúj a szél.
A víz felszíne felett a szél sebességét és irányát egy vektormező írja le.
De hogyan lehetséges az,
hogy ide mindig csak befelé áramlik a levegő?
És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?
Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.
De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.
A válasz, a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…
Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.
A térítőknél pedig lefelé.
Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.
A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.
Ezt a szélkörzést hívjuk passzát szélnek.
Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…
Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.
És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.
A többi terület semleges, ott nem tűnik el levegő és nem is kerül elő a semmiből.
Földrajzi értelemben a sárga területek légnyomása teljesen átlagos, itt semmi izgalmas nem történik.
Ezt nullával fogjuk jelölni.
A piros területeken az átlagnál nagyobb a légnyomás…
a zöld területeken pedig az átlagnál kisebb.
A piros területen lévő pontokat forrásnak nevezzük. Itt a „semmiből” levegő áramlik a rendszerbe.
A zöld területen lévő pontokat nyelőnek hívjuk. Ezek a pontok elnyelik a levegőt.
A vektormező divergenciája egy olyan függvény, amely a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.
Nézzünk erre egy példát.
Itt egy vektormező:
Ha valakinek nagyon sok ideje van, és egyesével kiszámolgatja szépen a vektorokat a sík pontjaira…
akkor valami ilyet fog kapni.
A kontinensekre már végülis nincs szükség…
A zöld részen a levegő folyamatosan eltűnik a rendszerből.
Ahogy haladunk balról jobbra, az egyre jobban rövidülő nyilak azt jelentik, hogy itt a levegő folyamatosan csökken.
A piros részen pedig balról jobbra haladva megjelenik.
A divergencia a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.
És éppen itt is jön a képlete:
Nem kell mást tennünk, mint az első koordinátafüggvényt x szerint deriválni…
A második koordinátafüggvényt pedig y szerint.
És voila, meg is van a divergencia.
Vegyünk most egy tetszőleges pontot a vektormezőben.
Itt van például ez.
Ebben a pontban a divergencia…
Ez azt mondja meg, hogy a kiválasztott pontban mennyi levegő áramlik a rendszerbe.
Ha egy másik pontot választunk…
Akkor persze ott is kiszámolhatjuk a divergenciát.
Nem kell túl nagy szakértelem ahhoz, hogy rájöjjünk:
az x=3 egyenletű egyenes minden pontjában 12 lesz a divergencia.
Ha a vektormező minden pontjához hozzárendeljük az adott ponthoz tartozó divergenciát, akkor egy vektor-skalár függvényt kapunk.
A divergencia minden olyan pontban negatív, amelyre x<0.
Ezek a pontok az úgynevezett nyelők a vektormezőn.
Azokban a pontokban, ahol x>0, a divergencia pozitív.
Ezek a pontok források.
Ez nagyszerű, most pedig nézzünk meg egy másik vektormezőt is.
Íme, itt van például ez.
Nézzük, mekkora a divergencia.
A vektormező divergenciája minden pontban nulla.
Ez azt jelenti, hogy egyik pontban sem áramlik levegő befelé a rendszerbe.
Sem pedig kifelé.
A levegő, viszont meglehetősen kavarog.
Ezt az örvénylő mozgást írja le a rotáció.
És épp most jön…A vektormezőkkel kapcsolatban az első és legfontosabb, amit tehetünk, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat.
Maga a vektormező egy teljesen hétköznapi fogalom, éppen itt jön erre egy példa.
Ez itt az Atlanti-óceán, az óceán felett pedig mindig fúj a szél.
Ha az Óceán minden pontjában megadjuk a szél sebességét és irányát, akkor egy vektormezőt kapunk.
Ez egy függvény, ami azt tudja, hogy a sík minden pontjához hozzárendel egy vektort.
Az egyszerűség kedvéért legyen a szél sebessége minden pontban 5 km/h és fújjon nyugat felé.
A függvény tehát minden (x,y) ponthoz ugyanazt a vektort rendeli hozzá.
Na persze a szél nem csak az óceán felszíne felett fúj, hanem magasabban is…
Szükség lesz tehát egy z koordinátára is.
De kezdetnek maradjunk most a síkbeli esetnél.
A síkbeli eset egy vektormező.
Ha a szélirány megváltozik…
akkor egy másik vektormezőt kapunk.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha a szél iránya és sebessége függ az adott pont koordinátájától.
Itt van például ez a vektormező:
Nézzük meg, hogyan néz ki.
Kezdjük az egyenlítővel, amikor y=0.
Ha y=0, akkor a szélsebesség vektor ez.
Ha y=1, akkor a szélsebesség vektor…
Aztán jön az y=2:
És az y=3:
És voila, íme a vektormező.
Na persze, ha túlképzettek vagyunk földrajzból…
Akkor mondhatjuk, hogy a valóságban ez így néz ki.
És ezzel el is érkeztünk a vektormezők vizsgálatának egyik legizgalmasabb pontjához.
Hogyan lehetséges az, hogy ide csak befelé áramlik a levegő?
Vajon mi történik ott vele?
És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?
Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.
De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.
A válasz a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…
Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.
A térítőknél pedig lefelé.
Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.
A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.
Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…
Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.
És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.
Ez lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.
De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…
Íme, itt egy vektormező.
A vektormező divergenciáját már megnéztük.
Ezzel a képlettel számolható ki.
Vagy ha egy vektormezővel van dolgunk, akkor:
Most viszont itt jön valami még izgalmasabb.
A vektormező örvénylését fogjuk megpróbálni valahogyan leírni.
Itt egy vektormező:
A vektormező divergenciája:
Ez a vektormező itt az óramutató járásával megegyező irányba örvénylik.
Ezt hívjuk negatív iránynak.
És itt pedig pozitív irányba örvénylik.
A vektormező örvénylését a rotáció írja le.
Épp itt is jön:
Azokban a pontokban, ahol x=y a rotáció éppen nulla.
Itt nincsen örvénylés.
Ha x>y akkor a rotáció pozitív.
És, ha x<y akkor negatív.
A rotációt úgy érdemes elképzelni, mintha pici kis korongokat tennénk a síkra…
és ezeket a korongokat az áramló levegő megforgatja.
A korong forgástengelye merőleges a síkra.
A forgatás erősségét és irányát pedig a rotáció adja meg.
Ez a korong például áll.
Ha a vektormező minden pontjában megnézzük a kis korongok forgási irányát és a forgás erősségét, akkor megkapjuk a vektormező rotációját.
Hát így néz ki a rotáció az vektormezőknél.
A térbeli örvénylést már egy fokkal nehezebb elképzelni.
Sőt, két fokkal…
Térben nem kis korongok, hanem kis gömbök vannak.
A gömbök forgástengelye pedig minden pontban más és más irányba mutat.
A forgástengely irányát maga a rotáció adja meg.
Mond még valamit az, hogy ?
Ezek a tér bázisvektorai.
Na, és a rotáció…
Itt egy vektormező:
Ennek a vektormezőnek a rotációja:
Mielőtt teljesen kétségbe esnénk, itt jön két dolog.
Az egyik, hogy ez tehát egy ártatlan kis vektor, ami a gömb forgástengelyének irányát adja meg.
A vektor hossza pedig azt mondja meg, hogy milyen gyorsan forog a gömb.
A másik jó hír csak azoknak szól, akik tudják, hogy mi az a determináns:
Ha kifejtjük az első sora szerint…
És voila, íme, itt a rotáció képlete.
Ezeket írjuk föl magunknak.
A vektormező rotációja:
A rotáció képlete megjegyezhető formában:
És jegyezzük meg, hogy az eset így olvasható le.
Most pedig lássunk valami izgalmasat…
Divergencia, rotáció, forrásmentes és örvénymentes vektormezők.
Itt egy vektormező:
Számoljuk ki a divergenciát és a rotációt.
Na, ez a z szerinti deriválás már kezd izgalmas lenni…
Most nézzük, mi van a rotációval.
Ezt eddig vehetjük úgy is, hogy gyakoroljuk egy kicsit a parciális deriválást és közben ilyen tudományos szavakat mondunk, mint divergencia, vagy rotáció.
De azért ez az egész jó is valamire…
Nézzük meg, hogy forrásmentes-e és örvénymentes-e a következő vektormező:
Egy vektormező akkor forrásmentes, ha nincs benne forrás, vagyis nincs benne olyan pont, amelynek pozitív a divergenciája.
Úgy néz ki, ez a vektormező nem forrásmentes.
Sőt, meglehetősen kevés olyan pontja van, ahol a divergencia nulla.
És most lássuk, hogy örvénymentes-e a vektormező.
A rotáció a vektormező minden pontjában nulla.
Vagyis a vektormező örvénymentes.
Azokat a vektormezőket, ahol a rotáció minden pontban nulla, konzervatív vektormezőknek nevezzük.
Legalábbis, egy kis extra feltétel teljesülése esetén.
A konzervatív elnevezés onnan ered, hogy ezeknél a vektormezőknél az energia valamilyen módon konzerválható.
Nézzük meg, hogy hogyan…
Konzervatív vektormezők, potenciálfüggvény
Azokat a vektormezőket, ahol az energia valamilyen módon konzerválható, konzervatív vektormezőnek nevezzük.
Nézzünk erre egy példát.
Áramot nem tudunk nagyobb mennyiségben raktározni. Annyit még igen, amennyi egy telefon működéséhez kell, de annyit, amennyi egy egész városnak kell, na annyit már nem.
A lezúduló víz viszont képes áramot termelni.
Az áramot persze nem maga a víz termeli, hanem az a gravitációs erő, amitől a víz lezúdul.
Ez a gravitációs erőtér egy konzervatív vektormező.
Konzerválja például azt az energiát amivel vizet pumpálunk fel ide...
És amikor éppen szükségünk van rá, vissza tudjuk nyerni.
Van persze némi veszteség a súrlódás meg hasonlók miatt, de ezekért nem a gravitációs erőtér felelős.
Ezt a rendszert szivattyús energiatárolónak nevezzük és az ipari mennyiségű áram raktározására használjuk.
A konzervatív vektormezőknek van néhány fontos tulajdonsága.
Ezeket fogjuk most megnézni.
De mindenekelőtt definiáljuk, hogy mikor konzervatív egy vektormező.
Nos, erre több különböző definíció van forgalomban attól függően, hogy fizikusok vagy matematikusok alkották-e meg magát a definíciót.
Hamarosan látni fogjuk, hogy minden mindennel összefügg.
Az első definíció úgy szól, hogy egy vektormező akkor konzervatív, ha van primitív függvénye.
Ezt a primitív függvényt potenciálfüggvénynek nevezzük.
Na, az meg mi?
Itt egy ártatlan kis függvény:
Ez egy sima háromváltozós függvény.
Amit a szokásos módon tudunk deriválni.
Ha még emlékszünk rá, ezt a derivált-vektort gradiensnek neveztük.
De ez egyúttal egy vektormező.
Ennek a vektormezőnek a primitív függvénye az eredeti F függvény.
És ezt az F függvényt hívjuk potenciál-függvénynek.
A vektormező akkor konzervatív, ha létezik F primitív függvénye.
Ez az F függvény a vektormező potenciál-függvénye.
És a vektormező pedig a potenciál-függvény gradiense.
A potenciál-függvény egy vektor-skalár függvény, és azt tudja, hogy a vektormező minden pontjához hozzárendel egy számot.
Itt például valami olyan számot, hogy mennyi áramot termel 1 liter víz, ha különböző magasságokba pumpáljuk fel.
Most pedig lássuk a konzervatív vektormezők egy másikfajta jellemzését.
Van itt ez a repülő, ami elindul A-ból…
és a B-n keresztül eljut D-be.
A széljárás meglehetősen kedvezőnek mondható, ugyanis szinte végig abba az irányba fúj a szél, amerre a repülő halad.
Ha viszont ezen a másik útvonalon halad a repülő…
nos, akkor a szél nem sokat segít.
Itt ugyanis végig merőlegesen fúj.
Vagyis a vektormező által végzett munka a kétféle útvonalon nem ugyanakkora.
Talán még emlékszünk rá, a vektormező által végzett munkát a görbementi integrállal tudjuk kiszámolni.
Mégpedig ezzel a remek kis képlettel:
Hasonlóan izgalmas körülmények között számoljuk ki a BD szakaszon vett integrált is.
Aki nem hiszi, számolja ki, de ez is 27 lesz.
Aztán itt van az AC szakaszon vett integrál…
ami pont nulla.
És ez is nulla.
Ez a vektormező tehát olyan, hogy el tudunk jutni A-ból D-be úgy, hogy a vektormező által végzett munka nulla…
és úgy is, hogy nem nulla.
Az ilyen vektormezők sohasem lehetnek konzervatívak.
Ha ez egy konzervatív vektormező lenne, akkor a görbementi integrál értéke független lenne az A és D pontok között választott úttól.
A és B pontok között vezető bármely görbén integrálva ugyanazt az értéket kapjuk.
Egy konzervatív vektormezőben az A és B pontok között vezető bármely görbén integrálva ugyanazt az értéket kapjuk.
Ha pedig az egyik görbe irányát megfordítjuk…
A megfordított irányú görbén vett integrál az eredeti mínuszegyszerese lesz.
És így kapjuk, hogy zárt görbén a vektormező integrálja nulla.
Bármilyen zárt görbén.
A zárt görbén vett integrálás jele ez a violinkulcs-szerű izé…
Most pedig lássuk, mire jutottunk.
Mit is jelent az, hogy egy vektormező konzervatív?
#1 A vektormező konzervatív, ha létezik primitív függvénye. Ezt a függvényt potenciál-függvénynek nevezzük, és íme, itt is van:
#2 A vektormező konzervatív, ha tetszőleges A és B pontjára igaz, hogy bármely A és B közti görbén ugyanakkora a vektormező integrálja.
#3 A vektormező konzervatív, ha bármely zárt görbén a vektormező integrálja nulla.
És végül még egy dolog.
Egy tartományt egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha nem lukas.
EGYSZERESEN ÖSSZEFÜGGŐ
NEM EGYSZERESEN ÖSSZEFÜGGŐ
Mindez csak azért érdekes, mert, ha a vektormező egyszeresen összefüggő tartományon van értelmezve, akkor létezik még egy feltétel arra, hogy konzervatív-e vagy sem.
Egy meglehetősen hasznos feltétel.
#0 A egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett vektormező pontosan akkor konzervatív, ha bármely pontjában a rotáció nulla.
Kizárólag azért, hogy teljessé tegyük az élményt, vonultassuk föl a többi állítást is még egyszer…
A potenciálfüggvény kiszámolása
Egy v(x,y,z) vektormező potenciálfüggvénye az F(x,y,z) függvény.
Számítsuk ki a vektormező divergenciáját és rotációját.
Az első dolgunk a vektormező előállítása lesz.
A divergenciát így már nagyon egyszerűen ki tudjuk számolni.
Most lássuk a rotációt.
Sok izgalomra ne számítsunk. Egy olyan vektormezővel van dolgunk, aminek van potenciálfüggvénye.
Vagyis ez egy konzervatív vektormező, és ezért a rotációja nulla.
Az már jóval izgalmasabb, ha mindezt fordítva kell csinálnunk.
Vagyis van egy vektormezőnk, és abból kell kitalálnunk, hogy mi lehet a vektormező potenciálfüggvénye.
Íme, itt a vektormező:
És olyankor létezik potenciálfüggvény, ha a vektormező konzervatív.
Hát, így első ránézésre fogalunk sincs...
Na, ezen a ponton kerül képbe a rotáció.
Ha egy vektormező rotációja minden pontban nulla, akkor a vektormező konzervatív.
Nézzük meg.
Úgy néz ki, ez tényleg nulla.
A jelek szerint tehát van potenciálfüggvény.
A potenciálfüggvényt integrálással tudjuk kiszámolni.
Integrálgatunk egy kicsit x szerint...
Ilyenkor y és z úgy viselkedik, mint egy konstans.
Éppen ezért simán előfordulhat, hogy y és z felbukkan ebben a C-ben is.
Íme, itt van tehát a potenciálfüggvény.
Csak még jó lenne tudni, hogy mi van ezzel itt.
Deriváljuk y szerint, és megnézzük.
A potenciálfüggvény y szerinti deriváltja mindig a vektormező második koordinátafüggvénye.
Ha ezt integráljuk y szerint, akkor éppen visszakapjuk az eredeti C(y,z)-t...
Na persze ez a +C még nyomokban tartalmazhat z-től függő függvényeket is.
És most kezdődik minden előröl ezzel a C(z)-vel.
Megint deriválunk…
Megint megnézzük, hogy minek kéne kijönnie…
Ha ezt z szerint integráljuk, akkor meg is van a C(z).
És voila, meg is van a vektormező potenciálfüggvénye.
http://web.cs.elte.hu/~szzoltan/bmk/bmk25.html
A földrajzi okok a vektormezőknek ez a teljesen lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.
De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…
Most a vektormezők
Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.
A függvény grafikonja egy vonal.
Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.
Vonalintegrál konzervatív vektormezőkön
Egy v(x,y,z) vektormező potenciálfüggvénye az F(x,y,z) függvény.
Számítsuk ki a vektormező divergenciáját, rotációját és integráljuk az r(t)=(3t, t2, t) görbén t=0 és t=2 között.
Az első dolgunk a vektormező előállítása lesz.
A divergenciát így már nagyon egyszerűen ki tudjuk számolni.
A rotáció kiszámolása már kicsit fárasztóbb…
Kivéve most.
Jelenleg ugyanis egy olyan vektormezővel van dolgunk, aminek van potenciálfüggvénye.
Vagyis ez egy konzervatív vektormező, és ezért a rotációja nulla.
Most pedig jöhet a görbementi integrál.
Ehhez szükségünk lesz egy kis hipnózisra, ahol felidézzük a kiszámolásához szükséges képleteket.
Íme, itt is vannak.
Az r görbementén vett integrál:
Az S felületi integrál:
r(t)=(3t, t2, t)
Olyankor, amikor a vektormezőnek van potenciálfüggvénye, ezeket az integrálásokat sokkal egyszerűbben is ki lehet számolni.
A potenciálfüggvény ugyanis a vektormező primitív függvénye.
Az integrál egyszerűen a primitív függvény megváltozása:
Csak éppen bele kell helyettesítenünk a görbét.
Itt jön egy másik vektormező.
És számoljuk ki az integrálját ezen a zárt görbén.
Ha ez egy konzervatív vektormező lenne, akkor minden zárt görbén az integrál nulla.
Nézzük meg, hátha szerencsénk van.
Hát nincs.
A rotáció nem nulla, vagyis a vektormező nem konzervatív.
Nincs mit tenni, el kell kezdeni számolgatni.
Legalább ilyen izgalmas kiszámolni a másik két szakaszra is az integrált.
Legalább ilyen izgalmas kiszámolni a másik két szakaszra is az integrált.
Az integrál értéke azért pozitív, mert a vektormező éppen a görbe irányával megegyező irányban örvénylik.
Ez az integrál a vektormező örvénylését írja le ezen a görbén.
Az örvénylésért a rotáció felel.
Ha ezeket a rotációkat összesítjük a görbe által határolt tartományon…
nos, akkor nagyon meglepő dolgot kapunk.
Erről fog szólni a Green-tétel…
A Green-tételek
Egy vektormező zárt görbén vett vonalintegrálja azt írja le, hogy hogyan örvénylik a vektormező a zárt görbén.
Ezen a zárt görbén például éppen így.
A vektormező örvényléséről szól a rotáció is.
A rotáció egy adott pontban mondja meg az örvénylés nagyságát, a zárt görbén vett integrál pedig a teljes görbére.
Ha a görbét elkezdjük zsugorítani…
akkor, ahogy a görbe hossza tart nullához…
éppen meg kell kapnunk a pontbeli örvénylést, a rotációt.
De van valami, ami még ennél is érdekesebb.
A sok kis rotáció együttesen képes kiadni a zárt görbe örvénylését.
A zárt görbe örvénylését megkaphatjuk úgy…
ha a görbe által határolt tartományon…
a sok kis örvénylést összeadjuk.
Ezt a tétel hívjuk Green-tételnek.
Van egy másik Green-tétel is, de előbb nézzünk erre egy példát.
Itt ez a vektormező:
És számoljuk ki az integrálját ezen a zárt görbén.
Ez egy nagyon kellemetlen görbementi integrálás…
lenne, ha nem volna itt nekünk a Green-tétel.
A Green-tétel nagyon egyszerűvé teszi az életünket.
Ezt a kettősintegrált kell csak kiszámolni:
Apró gubancok még adódhatnak ugyan ezzel a Green-tétellel…
De aggodalomra semmi ok, nagy veszélyben azért nem vagyunk.
Integráljuk például ezt a vektormezőt ezen a zárt görbén.
Íme, a vektormező:
A Green-tétel szerint pedig a görbementi integrál kiszámolásához elegendő a rotációt integrálni….
ezen a tartományon.
És most jönnek az ígért bonyodalmak.
Ha a görbe irányítását megfordítjuk…
attól még ez az integrál ugyanannyi marad.
Ez azonban probléma, mert a vektormező görbementi integrálja ennek hatására előjelet kellene, hogy váltson.
A Green-tétel helyesen tehát így szól.
Ha a zárt görbe pozitív irányban halad, akkor az integrált pozitív előjellel kell venni…
Ha pedig negatív irányban halad a görbe, akkor negatív előjellel.
A példánkban eredetileg így haladt a görbe.
Ezért aztán a megoldás a mínuszos lesz.
A Green-tétel tehát abban az esetben működik, ha a zárt görbe irányítása pozitív.
Ha a görbe irányítása negatív, nos végülis akkor is működik, csak oda kell biggyeszteni egy mínuszjelet.
Hát ezt tudja a Green-tétel.
Legalábbis az egyik…
Mert van egy másik is.
A másik Green-tétel arról szól, hogy ha az elkerített tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját…
Akkor valami olyat kapunk, amit korábban a felületi integrálnál már láthattunk.
Ez a zárt görbére vonatkozó fluxus.
(zárt görbén vett örvénylés)
(zárt görbén vett fluxus)
Az első Green-tétel azt írja le a rotáció segítségével, hogy mekkora egy vektormező örvénylése a zárt görbén.
A második Green-tétel pedig azt írja le a divergencia segítségével, hogy mekkora egy vektormező fluxusa a zárt görbén.
Mindez persze sokkal izgalmasabb térben…
A divergencia-tétel
Itt egy vektormező.
És egy zárt göbe.
Az első Green-tétel azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…
ha a görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező rotációját.
Az második Green-tétel pedig azt mondja, hogy a vektormező fluxusa egy zárt görbén kiszámolható úgy is…
ha a görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját.
Most pedig lássuk, mi a helyzet estben.
Az első Green-tétel térbeli megfelelője azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…
ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját.
Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen.
Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.
A második Green-tétel térbeli változata azt mondja…
hogy egy vektormező integrálja az S kifelé irányított zárt felületen…
egyenlő a divergencia integráljával a felület által határolt D tartományon.
A vektormező integrálja ennek a kockának a felületén azt mondja meg, hogy mennyi többlet levegő áramlik ki a kocka belsejéből.
Nos, pontosan annyi, amennyi ott belül keletkezik.
Vagyis amennyi a kocka belsejében lévő divergenciák összessége.
Ezt a tételt divergencia-tételnek, vagy másként Gauss-Osztrogradszkij-tételnek nevezzük.
Maradjunk a divergencia-tétel elnevezésnél…
Divergencia-tétel
Ha S kifelé irányított zárt felület, és D a felület által határolt tartomány, akkor:
Nézzünk erre egy példát.
Van itt ez a vektormező:
És nézzük, mit tud a divergencia-tétel.
Integráljuk a vektormezőt ennek a kockának a felületén.
Aztán pedig integráljuk a vektormező divergenciáját a kocka belsejében.
A divergencia-tétel szerint a két integrálásnak meg kell egyeznie.
A kocka felületén integrálni sajnos egy kicsit időigényes.
Integrálnunk kell külön-külön mind a hat oldallapon.
Kezdjük, mondjuk ezzel.
A felület paraméterezésébe nem érdemes túl sok energiát fektetni.
Ez jó is lesz:
Most jön az a rész, hogy a felület koordináta-függvényeit behelyettesítjük a vektormező x, y és z koordinátáinak a helyére.
Túl nagy változásra ne számítsunk.
A felület normálvektorát most ránézésre meg tudjuk mondani.
Na persze, ha valaki tudományosan is szeretné…
Végül elvégezzük ezt a kis skaláris szorzatot…
És kész is.
Csodás. Ezzel meg is vagyunk a felület hatodával…
A helyzet azért nem teljesen reménytelen.
Ha most például ezen a felületen kell integrálnunk…
akkor minden pontosan ugyanúgy fog történni.
Leszámítva néhány apróságot.
A felület csak annyiban lesz más, hogy a z koordináta ezúttal nulla.
A normálvektor pedig pontosan ugyanaz, mint az előbb.
Vagy mégse?
A divergencia-tétel úgy szól, hogy a felület kifelé van irányítva.
Vagyis a felület normálvektorai mindig kifelé mutatnak.
Úgyhogy ezt most szépen megfordítjuk.
Ezek a változások két dolgot jelentenek.
Egyrészt z=0 miatt ez most nulla lesz.
Másrészt bejön egy mínuszegyes szorzó a normálvektor megfordítása miatt.
Nézzük, hol is tartunk a számolásban.
Van itt ez a 64/5, ami beáramlik a kockába…
és azért negatív, mert a felület irányításával ellentétesen.
Aztán itt fölül ki is áramlik.
És van ez a 8, ami a kocka belsejében keletkezett…
A kocka tetején pedig kiáramlik.
Mindezt a kocka többi oldalára is hasonlóan izgalmas körülmények között tudjuk kiszámolni.
Ez tehát a vektormező felületi integrálja.
A divergencia-tétel arról szól, hogy mindezt sokkal egyszerűbben is megkaphatjuk.
Mégpedig így.
Integrálnunk kell a kockán a vektormező divergenciáját.
Hát erről szól a divergencia-tétel.
A Stokes-tétel
Az első Green-tétel térbeli megfelelője azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…
ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját.
Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen.
Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.
Itt S egyszeresen összefüggő
sima felület, határgörbéje r(t),
melynek irányítása a felület
normálvektoraival jobbrendszert alkot.
Nézzünk erre egy példát.
Itt van ez a vektormező:
És ez a zárt görbe, ami egyébként egy körvonal.
Integráljuk a vektormezőt ezen a görbén.
Ja és ezen a kúpfelületen pedig integráljuk a vektormező rotációját.
Vagy épp ezen…
A Stokes-tétel szerint a két integrálásnak meg kell egyeznie.
Kezdjük a görbementi integrállal.
Most nézzük, hogy tényleg ugyanez jön-e ki a Stokes-tétellel is.
A felület egy forgáskúp.
Lássuk csak, hogyan is kell paraméterezni egy forgáskúpot.
Hát ezt a forgáskúpot így.
De ez még nem az igazi…
Meg kell fordítani…
és feljeb tolni 1-gyel.
Hát ezt tudja a Stokes-tétel.
A görbementi integrálást egy felületi integrálra cseréli.
Így nem egy rémes integrálást kell elvégeznünk…
hanem egy borzalmasat.
Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.
A függvény grafikonja egy vonal.
Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.
Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.
Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.
Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,
vagy fordítva.
Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál
ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.
Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.
Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.
Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…
és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.
A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.
Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.
x-et integráljuk, pedig csak konstans szorzónak számít.
És is konstans szorzónak számít.
Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.
De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.
Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.
Ezúttal y szerint.
Végül behelyettesítünk.
y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.
Hát ez kész.
Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.
Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…
de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.
Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.
x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.
Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…
Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.
A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .
És most kezdjünk el integrálni.
A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.
Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,
x meg olyan, mintha konstans lenne.
Aztán y helyére behelyettesítünk.
És ezt integráljuk x szerint.
A folytatás még izgalmasabb lesz…
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.
Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.
Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.
Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…
Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .
Vagyis az y szerinti határ egy függvény.
Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.
Nos, legyen mondjuk
Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Először tehát y szerint integrálunk.
Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.
És most jöhet az x szerinti integrálás.
Csak előbb egy kicsit összevonunk.
Nem is olyan kicsit…
Hát ez nem volt túl kellemes.
Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.
Integráljuk a D tartományon az függvényt.
Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.
Itt van például ez a tartomány.
Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.
Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:
Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,
vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.
Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.
Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,
az y szerinti határok pedig két függvény, és .
Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…
vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.
Egy 2 sugarú kört.
Lássuk csak, a kör egyenlete:
És ha , akkor
Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.
Integráljuk ezen a körön az függvényt.
A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.
Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.
A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.
Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.
Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása
Főleg, ha tudjuk, hogy
Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.
Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.
A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,
és a sugarat.
És már kész is van.
A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.
Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.
Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.
Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.
A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:
Lássunk néhány ilyen esetet.
Integráljuk a tartományon a következő függvényt:
Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.
A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.
Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.
A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.
De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,
és már kész is.
Itt jön aztán egy másik.
Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:
Most pedig néhány egészen vicces integrálás következik.
Itt is van az első:
Ebben a trükk az, hogy a belső integrálás x-szerinti, viszont az ilyen sajnos parciális integrálás.
Fenének van kedve parciálisan integrálni, így aztán megcseréljük az integrálás sorrendjét.
Most a belső integrálás y-szerinti, tehát x itt olyan, mintha konstans lenne, úgyhogy csak annyit kell integrálni, hogy …
na jó, valami c-szer
Ja és még itt van ez is, hogy a kitevőben valami a-szor y van.
A következő még viccesebb lesz.
Íme, itt is van:
Na ezzel meg az a probléma, hogy y-szerint nem igazán tudjuk integrálni.
Úgyhogy kénytelenek vagyunk x-szerint.
Úgy nem lesz nehéz, mert x-szerint csak konstansnak számít.
A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…
ami nem maradhat így, ezért egy kis trükkre van szükség.
Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk -ig
és y-szerint x-től -ig.
De mindezt fordítva is nézhetjük.
Aztán itt jön egy még izgalmasabb eset.
Az a helyzet, hogy y-szerint meglehetősen kellemetlen lenne ezt integrálni.
Ezért megint megcseréljük a sorrendet.
A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…
ami nem maradhat így, ezért ismét egy kis trükkre van szükség.
Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk 4-ig
és y-szerint -től 2-ig.
De mindezt fordítva is nézhetjük.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.
Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.
Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.
Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…
Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .
Vagyis az y szerinti határ egy függvény.
Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.
Nos, legyen mondjuk
Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Először tehát y szerint integrálunk.
Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.
És most jöhet az x szerinti integrálás.
Csak előbb egy kicsit összevonunk.
Nem is olyan kicsit…
Hát ez nem volt túl kellemes.
Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.
Integráljuk a D tartományon az függvényt.
Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.
Itt van például ez a tartomány.
Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.
Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:
Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,
vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.
Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.
Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,
az y szerinti határok pedig két függvény, és .
Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…
vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.
Egy 2 sugarú kört.
Lássuk csak, a kör egyenlete:
És ha , akkor
Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.
Integráljuk ezen a körön az függvényt.
A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.
Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.
A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.
Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.
Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása
Főleg, ha tudjuk, hogy
Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.
Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.
A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,
és a sugarat.
És már kész is van.
A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.
Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.
Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.
Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.
A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:
Lássunk néhány ilyen esetet.
Integráljuk a tartományon a következő függvényt:
Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.
A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.
Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.
A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.
De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,
és már kész is.
Itt jön aztán egy másik.
Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.
A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.
Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.
Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.
Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…
Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .
Vagyis az y szerinti határ egy függvény.
Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.
Nos, legyen mondjuk
Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Először tehát y szerint integrálunk.
Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.
És most jöhet az x szerinti integrálás.
Csak előbb egy kicsit összevonunk.
Nem is olyan kicsit…
Hát ez nem volt túl kellemes.
Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.
Integráljuk a D tartományon az függvényt.
Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.
Itt van például ez a tartomány.
Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.
Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:
Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,
vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.
Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.
A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.
A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.
Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,
az y szerinti határok pedig két függvény, és .
Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…
vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.
Egy 2 sugarú kört.
Lássuk csak, a kör egyenlete:
És ha , akkor
Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.
Integráljuk ezen a körön az függvényt.
A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.
Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.
A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.
Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.
Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.
Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.
A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:
A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása
Főleg, ha tudjuk, hogy
Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.
Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.
A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,
és a sugarat.
És már kész is van.
A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.
Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.
Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.
Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.
Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.
A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:
A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:
Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,
0-tól egészen –ig…
az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.
A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.
A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:
Lássunk néhány ilyen esetet.
Integráljuk a tartományon a következő függvényt:
Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.
A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:
Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.
Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.
A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.
De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,
és már kész is.
Itt jön aztán egy másik.
Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:
Az egész az egyváltozós függvények integrálásával kezdődött.
Aztán jött a kettősintegrál, amikor egy síkbeli alakzat felett integráltunk.
És most egy térbeli alakzaton fogunk integrálni.
Hát ez érdekes lesz.
Kezdetnek itt van mondjuk egy ilyen:
Rétegenként integrálgatunk…
Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.
A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le. A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.
Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.
Ha az előző példánkban szereplő függvény az akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.
Lássunk erre egy példát.
Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.
Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.
Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.
A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le. A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.
Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.
Ha az előző példánkban szereplő függvény az akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.
Lássunk erre egy példát.
Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.
Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.
Érdemes megjegyezni, hogy
De azért akadnak izgalmasabb alakzatok is.
Próbáljuk meg például kiszámolni ennek a hengernek a térfogatát.
Az alapkörének egyenlete:
Az ismeretlent tartalmazó határokat belülre tesszük…
Na és itt kezdődnek a bonyodalmak.
Ezt az integrálást ugyanis meglehetősen kellemetlen lenne kiszámolni. Pont ezért vezettük be korábban a polárkoordinátákat.
Itt az ideje, hogy megint használjuk őket. Csak éppen ezúttal már három dimenzióban.
És van még egy harmadik koordináta is, ami marad z.
Ezeket a koordinátákat henger-koordinátáknak nevezzük.
…és ne felejtsük el r-el szorozni.
Ez csodás. Most pedig számoljunk ki valami bonyolultabbat. Integráljunk ezen a hengeren valamilyen függvényt.
A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.
Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…
a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.
Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.
Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.
Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.
És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.
Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:
A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:
Most pedig lássuk az integrálás határait.
A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...
A teljes gömbön integrálunk, így befutja a teljes kört…
És pedig…
Nos csak egy félkört.
Most szerint integrálunk.
Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen ezért ez szempontjából konstansnak számít.
Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.
Nézzük meg ezt is.
Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:
Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…
Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:
És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.
Ez itt például egy gömb.
Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.
Na a másik az már érdekesebb…
Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.
Az egyik a forgásparaboloid…
a másik pedig a forgáskúp.
A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.
Sőt, mindjárt kettővel.
Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.
Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:
Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.
És a teljes körön.
A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.
És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.
Nos, itt is vannak.
Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.
Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.
A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.
Nos, ha még emlékszünk rá:
A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:
Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.
Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.
És most lássuk a mellékszereplőket.
Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.
Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.
y szerint integrálunk,
és x három szektorban lehet.
És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.
Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…
De most sokkal rosszabb lesz.
Mindig a zöld tartományon integrálunk.
Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,
akkor mindig a nullát integráljuk.
Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:
Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.
Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.
Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.
Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.
Először x szerint deriválunk…
aztán y szerint.
A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.
Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…
a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.
Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.
Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.
Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.
És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.
Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:
A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:
Most pedig lássuk az integrálás határait.
A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...
A teljes gömbön integrálunk, így befutja a teljes kört…
És pedig…
Nos csak egy félkört.
Most szerint integrálunk.
Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen ezért ez szempontjából konstansnak számít.
Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.
Nézzük meg ezt is.
Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:
Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…
Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:
És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.
Ez itt például egy gömb.
Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.
Na a másik az már érdekesebb…
Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.
Az egyik a forgásparaboloid…
a másik pedig a forgáskúp.
A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.
Sőt, mindjárt kettővel.
Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.
Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:
Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.
És a teljes körön.
A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.
És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.
Nos, itt is vannak.
Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.
Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.
A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.
Nos, ha még emlékszünk rá:
A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:
Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.
Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.
És most lássuk a mellékszereplőket.
Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.
Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.
y szerint integrálunk,
és x három szektorban lehet.
És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.
Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…
De most sokkal rosszabb lesz.
Mindig a zöld tartományon integrálunk.
Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,
akkor mindig a nullát integráljuk.
Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:
Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.
Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.
Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.
Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.
Először x szerint deriválunk…
aztán y szerint.
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.
Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.
A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy
harmadik koordinátát, egy magasságot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához
hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,
kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-
örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan
tulajdonságok, amik nem.
Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről
ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.
A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.
Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,
míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.
Lássunk néhány kétváltozós függvényt.
LOKÁLIS MINIMUM
NYEREGPONT
LOKÁLIS MAXIUM
A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,
vagy éppen ilyen nyeregpontja.
Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,
itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,
ami kétszer olyan szórakoztató lesz.
Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
Lássuk a parciális deriváltakat.
PARCIÁLIS DERIVÁLTAK
Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans
x szerint deriválunk,
y most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami x-essel, akkor marad
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans
y szerint deriválunk,
x most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad
A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.
Íme.
Mindkét jelölést használni fogjuk.
Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.
ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK
MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK
Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.
Így négy darab második deriváltat kapunk.
Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,
a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.
A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.
Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.
De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.
Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Itt jön egy újabb izgalmas feltételes szélsőérték probléma.
unter der
Megint jön a Lagrange-függvény:
Aztán megoldjuk az egyenletrendszert:
Most csak egy stacionárius pont van.
Itt jönnek a második deriváltak.
Hát, ez pozitív definit, úgyhogy a jelek szerint feltételes minimum van a stacionárius pontban.
Most nézzünk meg erre egy másik megoldást is.
Ehhez nem kell Lagrange, egyszerűen behelyettesítjük szépen a feltételt az eredeti függvénybe.
Innentől ez egy sima egyváltozós függvény.
Ennek kell a minimuma.
Hát, deriváljuk.
Nem kell túl nagy zsenialitás, hogy a derivált előjelét megállapítsuk.
Úgy tűnik, a függvénynek x=6/10-ben minimuma van.
Már csak az y-t kell valahonnan előkeríteni.
Nézzünk meg még egyet.
unter der
És íme, a stacionárius pontok:
Ez itt egy feltételes minimum.
Ez pedig egy feltételes maximum.
Nekünk most csak a minimum kell.
Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.
Az függvényhez a pontban húzott érintő egyenlete:
Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.
A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.
az egyváltozós függvényeknél a Az függvényt a pontban érintő sík egyenlete:
Nos ez az érintősík egyenlete.
Lássunk egy példát.
Itt van mondjuk ez a függvény:
és keressük az érintősíkot a pontban.
Itt jön az érintősík egyenlete,
és ezeket kell kiszámolnunk.
Nos ez az érintősík egyenlete:
Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,
akkor láthatjuk a sík normálvektorát.
És íme a normálvektor:
Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,
a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.
Milyen paraméter esetén halad át a pontban, az
függvényhez húzott érintő az ponton?
Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.
A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT
Az függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort
derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
, röviden .
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani
az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált
azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-
leges irány mentén milyen meredeken emelkedik
a függvény felülete.
Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,
aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a
irányban indul el.
Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.
Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.
Az függvény iránymenti deriváltja az pontban:
(itt egységvektor)
Lássunk erre egy példát!
Számoljuk ki az iránymenti deriváltját a irány szerint az pontban.
A képlet szerint az iránymenti derivált
Itt ez a fura jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is
az iránymenti deriváltra: .
A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.
A derivált-vektor tehát
Eddig jó.
Most lássuk a vektort.
A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.
Mivel azonban most nem egységnyi hosszúságú,
ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.
Elosztjuk saját hosszával:
Az iránymenti derivált tehát:
Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…
erre éppen tudunk válaszolni.
A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.
Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor
irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.
tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.
IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA
Az egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint
Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.
Implicit függvényt kapunk, ha a függvényt elrontjuk, mondjuk így:
sőt még gyököt is vonunk
Na ez egy implicit függvény.
Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.
mellesleg az is, hiszen .
Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.
A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:
És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.
Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott függvény deriváltjára van szükségünk.
Próbáljuk meg kifejezni -t
Nos íme itt van.
Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…
Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.
Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.
Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.
Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.
De itt van például ez.
Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.
Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.
Tehát például egy összetett függvény.
Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:
Külső függvény deriváltja,
szorozva a belső függvény deriváltjával.
Lássuk tehát az implicit deriválást.
Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:
Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:
Aztán kiemeljük -t.
és végül leosztunk:
Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.
Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.
A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.
Azt mondja, hogy ha egy implicit függvény, akkor deriváltja:
Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.
Itt volna az implicit függvény:
amit nullára kell rendezni,
és elkeresztelni F-nek.
Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.
Az és az közötti különbség ugyanis óriási.
Lássuk mi is a különbség!
tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám
nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.
Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.
Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.
Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.
És íme, itt az implicit derivált.
Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,
csak most így sokkal egyszerűbben.
Erre jó az implicit deriválási szabály.
A szabály több változó esetén is működik.
Ha egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:
Ha egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az változó szerint:
Nézzünk erre egy példát!
Ez egy kétváltozós implicit függvény.
Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.
A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy
Z=valami x és y
Deriváljuk akkor most x és y szerint:
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
A leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy
Minden lineáris leképezés valahogy így néz ki:
Ha akkor a lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezzük.
A leképezés a vektoraihoz rendel -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész előáll képként. A -nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és -vel jelöljük.
A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis képe mindig ,
de előfordulhat, hogy más -beli vektorok képe is nullvektor lesz.
Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és -vel jelöljük.
A magtér és a képtér nem csupán részhalmazok -ben és -ben, hanem alterek is. altér -ben és altér -ben.
A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja dimenzióját.
Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:
DIMENZIÓTÉTEL:
mateking.hu
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!
Vegyük például a tengelyes tükrözést.
Ez egy lineáris leképezés.
A tükrözés mátrixát úgy kapjuk,
hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:
Vegyük például a tengelyes tükrözést. Ez egy lineáris leképezés.
Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.
Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát, akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:
A szokásos bázis alapján a tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:
Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.
Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát,
akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:
A transzformáció mátrixa most is úgy keletkezik,
hogy egymás mellé írjuk a bázisvektorok képeit.
Van itt azonban egy izgalmas fordulat.
Addig minden stimmel, hogy a bázisvektorok képe:
Addig minden stimmel, hogy megkaptuk az új bázisvektorok képeit.
Csakhogy itt az új bázisvektorok képeit még mindig a régi bázisban adtuk meg.
Nekünk azonban a bázisvektorok képeit is az új bázisvektorok segítségével kell megadnunk.
Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból,
hogy előálljanak és képei.
Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból, hogy előálljanak és képei.
Ezúttal a szerencse megsegít bennünket, az vektor képe ugyanis
ami úgy tűnik éppen mínuszegyszerese.
Az vektor képe tehát úgy jön ki, hogy -ből 0 darab, -ből pedig -1 darab kell.
Lássuk mi a helyzet az vektor képével. Itt is szerencsénk van.
ami éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1 darab, -ből 0 darab kell.
Lássuk a transzformáció mátrixát ebben az új bázisban!
A tükrözés mátrixa most is
úgy keletkezik, hogy egymás mellé
írjuk a bázisvektorok képeit.
Csakhogy új bázisvektorok képeinek
ezeket az új koordinátáit kell írnunk
a tükrözés mátrixába.
Na ezt kell írnunk a mátrix első oszlopába, ahova az vektor képe kerül.
Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.
Az vektor képe szintén szerencsésen előállítható, ugyanis
ami pedig éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1db és -ből 0db kell.
Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.
Az új bázisban felírt mátrix:
Mindezt egyszerűbben is megkaphatjuk egy remek kis összefüggés segítségével.
ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban. Mit is jelent mindez?
Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez
és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát
RÉGI BÁZIS
ÚJ BÁZIS
A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:
A leképezés mátrixa sokkal többet is tud annál, minthogy egyszerűen leírja magát a leképezést.
Minden vektorról megmondja, hogy mi lesz a vektor képe:
A vektor képe úgy lesz, hogy egyszerűen
megszorozzuk a vektort a leképezés mátrixával.
Nézzük meg például mi lesz a tükrözés során
ebből a remek vektorból:
A tükrözés mátrixa normál bázisban:
A vektor képe:
És tényleg!
Nézzük meg mi történik ugyanezzel a vektorral a másik bázisban.
Az új bázisban koordinátái megváltoznak.
A vektor éppen kétszerese -nek,
ezért az első koordinátája kettő,
a második koordináta pedig nulla.
A tükrözés mátrixa az új bázisban:
vagyis nulla darab -re és
–2 darab -re van szükség
Lássuk a leképezés mátrixának még néhány további izgalmas tulajdonságát.
Ha egy leképezés mátrixa akkor
a leképezés megfordításának mátrixa
A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy,
hogy a leképezés inverze.
A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy, hogy a leképezés inverze.
Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a mátrixnak létezik inverze,
és az inverz leképezés mátrixa:
mátrixa
Ha van két leképezés, mondjuk és a leképezések mátrixa pedig és ,
akkor a leképezés mátrixa lesz.
Nézzünk meg erre egy példát.
Legyen az eddigi tükrözés az x tengelyre,
pedig mondjuk tükrözés az y tengelyre.
Ekkor a két tükrözés egymás utáni
alkalmazása.
A leképezés mátrixa:
Az x tengelyre tükrözés mátrixa:
Az y tengelyre tükrözés mátrixa:
Ez éppen az origó középpontú tükrözés mátrixa.
A leképezések egymás után alkalmazásáról szóló tétel
A leképezés mátrixa:
A leképezés a vektor
A leképezésben minden
vektor képét így kapjuk:
Ha létezik a leképezés
inverze, akkor mátrixa:
mátrixa
Ezek a tételek lehetővé teszik, hogy készítsünk egy remek kis képletet ami leírja, hogy miként változik meg egy leképezés mátrixa az új bázisra való átállásnál.
A leképezés mátrixa új bázisban felírva
ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban.
Lássuk, hogy mit is jelent mindez!
Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez
és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát
és van ez a bizonyos ami annak a leképezés-
nek a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál.
Ez a bizonyos mátrix tehát egyszerűen
úgy keletkezik, hogy fogjuk az új bázis-
vektorokat és leírjuk egymás mellé.
A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:
Ez csodás, így is kijött a tükrözés új mátrixa, kevesebb gondolkodással és több számolással.
Mindezeket foglaljuk össze!
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK MÁTRIXA
A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk:
Ha egy másik bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor
A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:
Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:
Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázisvektorokat
fogjuk és leírjuk egymás mellé.
Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázis
vektorait leírjuk egymás mellé.
Ha és olyan mátrixok, hogy létezik egy mátrix
úgy, hogy
akkor az előző tétel alapján és mindketten
ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak éppen
más-más bázisban felírva.
Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.
Ez elvezet minket néhány nagyon izgalmas összefüggéshez, amik most fognak jönni!
és mátrixok hasonlók, tehát , ha létezik olyan mátrix, amire
Van egy leképezés, amit már réges-régóta ismerünk, mert minden általános iskolában tanítják.
Ez a leképezés a tengelyes tükrözés.
Na persze a tükrözés mátrixát már nem tanítják az általános iskolában…
Az x tengelyre tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy vesszük a bázisvektorok képeit…
És ezeket szépen egymás mellé írjuk egy mátrixba.
Ez a mátrix azt is elárulja, hogy mi lesz egy vektor képe a tükrözés hatására.
Van itt például ez a vektor…
És a tükörképének a koordinátáit úgy kapjuk meg…
hogy a tükrözés mátrixát megszorozzuk a vektorral.
Az y tengelyre tükrözés mátrixa hasonló módon keletkezik…
Itt vannak a bázisvektorok…
És megnézzük, hogy melyikkel mi fog történni.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, hogyha valamilyen ferde tengelyre tükrözünk.
Nézzük meg például ezt…
Amikor az tengelyre tükrözünk, az x és y koordináták helyet cserélnek…
Lássuk, mi történik ezzel a vektorral:
A tükörképét most is úgy kapjuk, hogy megszorozzuk szépen a tükrözés mátrixával…
És íme a tükörkép.
A koordináták itt is szépen fölcserélődtek.
De mi van akkor, ha az egyenesre tükrözünk?
Ez már sokkal izgalmasabb és ránézésre nem is lehet úgy kitalálni, mint az eddigieket.
Azzal kezdjük, hogy kiderítjük mi lehet ennek az egyenesnek a normálvektora.
Most, hogy ez megvan, itt jön egy kis geometriai bűvészkedés.
Kiszámoljuk a vektornak az vektorra eső merőleges vetületét…
egy skaláris szorzat segítségével.
Meg is van.
A dolog olyankor is működik, ha a vektorok szöge egy kicsit nagyobb…
Csak ilyenkor bejön ide ez a mínuszjel.
Hogyha szeretnénk tükrözni a vektort az egyenletű egyenesre…
Akkor egyszerűen csak fogjuk ezt az vektort…
Elosztjuk a saját hosszával, hogy egységnyi hosszú legyen…
Aztán pedig beszorozzuk q-val.
Pontosabban inkább a kétszeresével.
Hogyha ezt a vektort most hozzáadjuk az eredeti -hez…
Akkor meg is kapjuk a tükörképét.
Kizárólag esztétikai okokból ezt még átírjuk így…
Végül kiemeljük a vektort.
Hát igen, hogyha -t sajátmagából emeljük ki, az az egységmátrix lesz…
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Az origón átmenő a normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa:
Hogyha már ennyit szenvedtünk vele, akkor próbáljuk is ki.
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Ezt a mátrixot csak úgy ránézésre már valóban nem találtuk volna ki…
És most lássuk, mi történik ezzel a vektorral, ha tükrözzük az egyenesre.
Már jön is:
Van itt ez a 90o-os forgatás…
Aminek a mátrixát a szokásos módon kapjuk meg.
Vesszük az egyik bázisvektort…
és megnézzük, hogy a forgatás hatására mi lesz belőle.
Aztán vesszük a másikat is…
És meg is van a forgatás mátrixa.
Ha nem 90 fokkal, hanem 180 fokkal forgatunk…
Azt úgy hívjuk, hogy középpontos tükrözés.
A középpontos tükrözés mátrixa:
Ez a mátrix éppen az egységmátrix mínuszegyszerese.
A középpontos tükrözés úgy működik, hogy minden vektornak…
…elkészíti az ellentettjét.
És most nézzük, hogyan néz ki a forgatás mátrixa tetszőleges szögre.
is működik.
Hogyha az első bázisvektort elforgatjuk szöggel…
Akkor a koordinátái…
Hát, igen, az irányszögű egységvektor első koordinátája a koszinusz…
A második pedig a szinusz.
Eddig jó.
A második bázisvektor már izgalmasabb…
És végre kiderül, hogy ez a rengeteg trigonometrikus azonosság…
Még jó is valamire.
Meg is van az
Íme, az szögű forgatás mátrixa.
Most pedig nézzük, hogyan működik mindez térben.
Az origó körüli forgatás térbeli megfelelője egy tengely körüli forgatás lesz.
Hogyha például az x tengely körül forgatunk, akkor a forgatás a másik két koordinátatengely síkjában történik.
Az x, y és z tengelyek körüli forgatások mátrixai:
A forgatások mindhárom esetben egy síkban történnek.
A három tengely közül mindig az egyik tengely az, ami körül forgatunk…
és mindig a másik két tengely által kifeszített síkban.
Ezeket a koordinátasíkokban történő forgatásokat Givens forgatásnak nevezzük.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha mindezt a négydimenziós térben csináljuk…
Az x és y tengelyek síkjában történő szögű forgatás mátrixát már ismerjük.
Éppen itt is van:
Hogyha van egy harmadik koordinátatengely is…
Az mindegy, a harmadik koordinátával a forgatás nem csinál semmit.
Sőt, tulajdonképpen lehet akárhány koordináta…
Egy négydimenziós térben az első két koordinátatengely síkjában történő forgatás mátrixa így néz ki:
És lehet akár ötödik vagy hatodik dimenzió is.
A forgatást pedig bármely két koordinátatengely síkjában végezhetjük…
Ha például a második és a harmadik tengely síkjában forgatunk…
Akkor a mátrix ilyen lesz:
Hogyha pedig a második és a negyedik tengely síkjában…
akkor ilyen.
Ezeket a forgatásokat, amelyeket két tetszőlegesen választott koordinátatengely síkjában végzünk Givens forgatásnak nevezzük.
Givens egyébként egy ember volt…
A Givens forgatások mátrixa tulajdonképpen egy egységmátrix…
Egykét apró módosítással.
Az i és j koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk…
Hogy arra a négy helyre, ahol az egységmátrix i-edik és j-edik sora és oszlopa metszi egymást…
Beírjuk szépen az alfa szögű forgatás mátrixának elemeit.
A Givens forgatásokat arra fogjuk használni, hogy mátrixok bizonyos elemeit kinullázzuk vele.
És hirtelen valamilyen különös vágyat érzünk arra, hogy ez az elem itt nulla legyen.
A Givens forgatásokkal mindez lehetséges…
Az első két koordinátatengely síkjában fogunk forgatni.
Ez pedig itt a forgatás mátrixa:
Egy olyan forgatás kéne, ami ezt a vektort…
szépen elforgatja az x tengely vonalába…
A forgatás szöge .
De van itt még egy kis gond.
A forgatás iránya.
Nekünk éppen az ellenkező irány kéne.
Mondjuk, ezen könnyen lehet segíteni…
Az szöget kicseréljük az ellentettjére, és a forgatás iránya máris megváltozik.
Végül vannak itt ezek az azonosságok…
Az teljesen mindegy, hogy mekkora az szög…
Berakjuk szépen ezeket ide a mátrixba.
És meg is vagyunk.
Hogyha ezt a mátrixot megszorozzuk az A mátrixszal…
Akkor minden álmunk valóra válik.
Ezzel a módszerrel tovább tudjuk folytatni a kinullázást, és az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.
Bizonyos mátrixok esetében ez az eljárás a leghatékonyabb különböző mátrixfelbontások végrehajtásához.
A tengelyes tükrözés térbeli megfelelője a síkra tükrözés.
Hát igen, itt már valódi házakat tükrözünk…
Nézzük meg például az x és y tengelyek által kifeszített síkra tükrözés mátrixát.
Itt vannak a bázisvektorok.
És a tükrözés hatására…
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Ezt még nem volt nehéz kitalálni.
Egy fokkal izgalmasabb kérdés, hogy mi lehet az síkra tükrözés mátrixa.
Ehhez már kicsivel jobb térlátásra van szükség.
A z tengely benne van a síkban…
Így aztán a tükrözés a z tengelyen lévő vektorokkal nem csinál semmit.
Az x és y tengelyt pedig a tükrözés fölcseréli.
És íme, itt a tükrözés mátrixa.
De mi történik akkor, ha egy ferde síkra tükrözünk?
Mondjuk erre a síkra itt:
A síkbeli esetben volt már erre egy kis képletünk…
Éppen itt is van:
Ez volt az origón átmenő normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa a síkban.
Térben minden pontosan ugyanígy fog történni.
Hogyha egy origón átmenő sík normálvektora az vektor…
…akkor az erre a síkra tükrözés mátrixa:
Ezeket a tükrözéseket Householder-tükrözésnek nevezzük.
És most lássuk a tükrözés mátrixát.
Ehhez mindössze a sík normálvektorára van szükség.
Meg egy kis számolásra…
Az origón átmenő normálvektorú síkra történő tükrözés mátrixa:
Householder tükrözés:
Meg is van.
A Householder-tükrözéseket arra tudjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.
Mindjárt meg is látjuk, hogy mindezt hogyan.
Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.
Na, ilyen tükrözés nem lesz, a két vektor ugyanis nem egyforma hosszú…
Ahhoz, hogy a Householder-tükrözéssel egy vektort egy másik vektorba tudjunk transzformálni az kell, hogy a két vektor hossza egyforma legyen.
Hát jó…
Vannak itt ezek az egyforma hosszú vektorok.
Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.
Elkészítjük ezt a vektort:
Ez lesz a tükröző sík normálvektora…
És most jöhet a Householder-mátrix:
Íme, a Householder-mátrix:
Hogyha tükrözzük vele az vektort…
Akkor tényleg a vektort kapjuk.
Ha pedig a vektort tükrözzük…
Akkor az vektor jön ki.
A vektormezőkkel kapcsolatban az első és legfontosabb, amit tehetünk, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat.
Maga a vektormező egy teljesen hétköznapi fogalom, éppen itt jön erre egy példa.
Ez itt az Atlanti-óceán, az óceán felett pedig mindig fúj a szél.
Ha az Óceán minden pontjában megadjuk a szél sebességét és irányát, akkor egy vektormezőt kapunk.
Ez egy függvény, ami azt tudja, hogy a sík minden pontjához hozzárendel egy vektort.
Az egyszerűség kedvéért legyen a szél sebessége minden pontban 5 km/h és fújjon nyugat felé.
A függvény tehát minden (x,y) ponthoz ugyanazt a vektort rendeli hozzá.
Na persze a szél nem csak az óceán felszíne felett fúj, hanem magasabban is…
Szükség lesz tehát egy z koordinátára is.
De kezdetnek maradjunk most a síkbeli esetnél.
A síkbeli eset egy vektormező.
Ha a szélirány megváltozik…
akkor egy másik vektormezőt kapunk.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha a szél iránya és sebessége függ az adott pont koordinátájától.
Itt van például ez a vektormező:
Nézzük meg, hogyan néz ki.
Kezdjük az egyenlítővel, amikor y=0.
Ha y=0, akkor a szélsebesség vektor ez.
Ha y=1, akkor a szélsebesség vektor…
Aztán jön az y=2 eset. Ekkor
És az y=3.
Ilyenkor
És voila, íme a vektormező.
Na persze, ha túlképzettek vagyunk földrajzból…
Akkor mondhatjuk, hogy a valóságban ez így néz ki.
És ezzel el is érkeztünk a vektormezők vizsgálatának egyik legizgalmasabb pontjához.
Hogyan lehetséges az, hogy ide csak befelé áramlik a levegő?
Vajon mi történik ott vele?
És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?
Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.
De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.
A válasz a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…
Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.
A térítőknél pedig lefelé.
Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.
A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.
Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…
Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.
És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.
Ez lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.
De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…
Kolumbusz első útja még ezen az útvonalon át vezetett Amerikába.
De későbbi útjain már megváltoztatta az útvonalat, mert rájött valamire.
Megtanult görbe mentén vektormezőket integrálni.
Na jó, azt azért mégsem.
Arra jött rá, hogy sokkal több nyerhető ki a passzát szél által végzett munkából, ha az útvonal kisebb szöget zár be a széliránnyal.
Ez a munka ugyanis a szélirány-vektor és a hajó sebességvektorának skaláris szorzata.
Minél kisebb ez a szög, a szél annál nagyobb munkát végez.
De kezd túl sok lenni a fizika, úgyhogy menjünk szépen lépésről lépésre.
A passzát szél egy vektormezővel írható le. Íme, itt is van:
Kolumbusz útvonala pedig egy paraméteres görbe.
Ja, mégse.
Ezen a görbén haladva sosem fedezte volna föl Amerikát…
És nem is ez:
Kolumbusz útvonala legyen egy egyszerű vonal A-ból B-be.
Amikor útnak indul, t=0.
És amikor megérkezik, t=8.
A hajókázás x koordinátája tehát:
Az y koordináta pedig…
amikor
amikor
Gondolkodunk…
A szél által végzett munka a szélirány-vektor és a hajó sebességvektorának skaláris szorzata.
A sebességvektor pedig, ha még esetleg emlékszünk rá, a görbe deriváltja.
A szél által végzett munka:
Ezt a hajókázás teljes időtartamára úgy tudjuk kiszámolni, ha ezeket a skaláris szorzatokat a teljes útvonalra összesítjük.
Egy jópofa integrálás segítségével.
Most éppen 0-tól 8-ig.
A vektormezőnek az görbe mentén vett integrálja és között:
Számoljuk ki a görbe menti integrált erre a görbére:
Vektor-vektor függvényt integrálunk egy paraméteres görbén.
Görbe paraméterezése.
Ezen a vektormezőn.
Ha minden jól alakul és kijön valami eredmény, az azt fogja jelenteni, hogy ezen a köríven hajózva Afrikából Dél-Amerikába mennyi munkát végez a passzátszél.
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Van itt ez a vektormező:
És számítsuk ki az integrálját ezen a görbén:
Itt jön a képlet:
És már folytatjuk is újabb remek hajózási tippekkel.
Már az ősi vikingek jelszava is az volt, hogy a legnagyobb kincs a fluxus.
A vikingek egyenesen imádták a fluxust, ez tette lehetővé ugyanis, hogy kedvükre hajókázzanak.
A fluxus azt mondja meg, hogy egy adott felületen mekkora az átáramló anyag vagy energia.
Ez a vikingek esetében a szél volt.
A legtapasztaltabb viking hajósok pedig tudtak még egy fontos dolgot.
A fluxus attól is függ, hogy mekkora szöget zár be a felület az áramlás irányával.
Minél kisebb ez a szög, a fluxus annál kisebb.
A nagyon kis fluxus pedig rossz hatással van a hajó sebességére.
A fluxust a vektormező vektorainak és a felület normálvektorainak skaláris szorzata adja.
Ha ezek egymásra merőlegesek, akkor a fluxus nulla.
És minél inkább párhuzamosak egymással…
a fluxus annál nagyobb.
De van itt még egy dolog.
Ez a felület most jobb kéz felé van irányítva.
Ha a felület irányítását megváltoztatjuk…
akkor a fluxus a mínuszegyszeresére változik.
Ez azt jelenti, hogy amikor fluxust számolunk, mindig tudnunk kell, hogy merre irányítjuk a felületet.
Mindezt már az ősi vikingek is tudták és a következő bölcs mondásban foglalták össze:
Ha szemből fúj a szél, akkor a hajó hátrafelé megy.
Most pedig itt az ideje, hogy megnézzük, hogyan kell mindezt kiszámolni.
A fluxust a vektormező vektorainak és a felület normálvektorainak skaláris szorzata adja.
Ezt az egész felületre összesíthetjük egy remek kis integrálással.
És így kapjuk meg a vektormező felületi integrálját.
Nézzük meg, hogy mekkora lesz a fluxus a vikingeknél.
A szél a vektormező minden pontjában egyenletesen fúj.
Na, a felület leírása már izgalmasabb lesz.
Legyenek, mondjuk ezek a pontok a vitorla sarkai:
És nézzük meg a felület paraméterezését.
Az x koordináta végig ugyanannyi.
Az y koordináta -4 és 4 között mozog.
Kell ide egy u.
A z koordináta pedig 1 és 9 között van.
És most lássuk az integrálást.
A felület x, y és z koordinátáit behelyettesítjük a vektormezőbe.
A felület normálvektorát pedig egy vektoriális szorzattal kapjuk:
A vektoriális szorzat egyik szereplője ez.
A paraméteres felület t szerinti derivált-vektora.
A másik szereplő pedig az u szerinti derivált-vektor.
Talán még emlékszünk rá, hogyan kell két vektor vektoriális szorzatát kiszámolni.
Bár az ember könnyen felejt…
Főleg akkor, ha egy ilyen képletről van szó.
Ha kifejtjük a determinánst az első sora szerint…
Meg is van a vektoriális szorzat.
Itt jön a v(x,y,z) vektormező, amibe a felület koordinátafüggvényeit kell helyettesíteni.
Ez most azért nem látszik, mert a vektormező mindhárom koordinátafüggvénye konstans.
Vagyis nincs benne x, y és z és így most nincs hova helyettesíteni.
Végül már csak a skaláris szorzás van hátra…
Az eredmény azért lett pozitív, mert a vitorla normálvektora a szél irányával megegyező volt.
Ha a normálvektor az ellenkező irányba mutatna, akkor nem 320, hanem -320 lenne az eredmény.
Ami végülis érthető is, hiszen akkor a szél iránya éppen ellentétes lenne a felület irányításával.
Hát, ennyit a hajókázásról.
A v(x,y,z) vektormezőnek az S felületi integrálja
Most pedig lássunk néhány nagyon izgalmas példát.
Integráljuk ezt a vektormezőt az r(t) görbén.
Most tehát nem felületi integrált fogunk számolni, hanem görbementi integrált.
Mégpedig ezen a remek háromdimenziós görbén.
Mondjuk a képletünk csak kétdimenziós görbékről szól.
Úgyhogy itt még lesznek gondok…
Van itt ez a vektormező:
És integráljuk ezen a görbén.
Túl sok izgalomra ne számítsunk…
Most jön a skaláris szorzás…
És végül integrálgatunk egy kicsit.
Itt egy újabb vektormező. Ezúttal háromdimenziós.
És integráljuk ezen a görbén.
Nos, ez egy térbeli görbe…
Így aztán három koordinátája van.
Nem baj, akkor frissítjük képleteinket…
Ha szenvedünk egy kicsit a behelyettesítéssel, akkor azt kapjuk, hogy az integrál pont nulla.
Ez így elsőre talán kicsit furcsának tűnik, de hamarosan sok újabb izgalmas dolog fog még kiderülni…
