Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet

Az elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet egy speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek. Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a $P(x)$ függvény ilyenkor valamilyen konstans, mondjuk $a$.

\( y' + ay = Q(x) \)

Az általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.

A homogén egyenlet: $y' + ay = 0$

A homogén megoldás: $y_0 = C e^{-ax} $

Az általános megoldás: homogén megoldás + partikuláris megoldás

A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg. Az, hogy mi is lesz a partikuláris megoldás, ez mindig a jobb oldali függvénytől függ:

$Q(x)=$ másodfokú polinom: $y_p = Ax^2 + Bx + C$

$Q(x)=$ harmadfokú polinom: $y_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$

$Q(x)=$ exponenciális kifejezés: $y_p = Ae^{\alpha x}$

$Q(x)=$ szinusz vagy koszinusz: $y_p = A \cos{\alpha x} + B \sin{\alpha x}$