2. Egzakt differenciálegyenlet

Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…

létezik egy olyan függvény, hogy

Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:

Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.

Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.

Ezt kétféleképpen is megtehetjük.

Vagy deriválással, vagy integrálással.

Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.

Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .

Ezt integrálással deríthetjük ki.

De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:

(rémes vérfertőzés)

Ezt deriválással ellenőrizhetjük.

Nos, deriválni jobb.

Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,

utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.

Remek terv, lássunk egy feladatot.

Van itt egy egyenlet:

Lássuk, vajon egzakt-e.

Az egyenlet akkor egzakt, ha

Nos úgy tűnik igen.

Az egzakt egyenletek megoldása ahol

A megoldást integrálással kapjuk:

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.

Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.

Most hasonlítsuk össze az eredetivel.

Úgy tűnik, hogy

Hát ez megvolna.

Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,

vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.

Sajnos ez nem mindig sikerül.

De most igen.

Lássunk egy másikat is.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Lássuk most éppen mi lesz.

Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.

Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.

Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.

Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.

Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.

Erről fog szólni a következő képsor.

Van itt ez az egyenlet

ami sajnos nem egzakt, mert

A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.

Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.

Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.

A jelek szerint igen.

Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:

Végül kiderítjük mi lehet a .

Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.

Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.

A válasz most jön.

Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.

Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:

Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.

Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,

vagy a második csak x-et tartalmaz,

nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.

Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.

De a második az jó.

Az integráló tényező megtalálása

Itt jön aztán egy másik egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

Nos nem igazán.

Úgyhogy jön az integráló tényező.

Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…

szóval sajna nem jó.

A második bíztató…

Nos ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.

Na és még itt van ez a is.

Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.

Íme, itt egy egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint nem egzakt.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Némi átalakítás után…

Nos, ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.

Itt jön aztán még egy egyenlet:

Lássuk, egzakt-e.

Hát nem.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Most mindegy melyiket használjuk.

De ez könnyebbnek látszik.

Most pedig jöhet a megoldás.